2019年北京市门头沟区中考数学模拟试卷
一.选择题(满分16分,每小题2分)
1.下列说法不正确的是( )
A.三角形的三条高线交于一点
B.直角三角形有三条高
C.三角形的三条角平分线交于一点
D.三角形的三条中线交于一点
2.若代数式有意义,则x的取值范围是( )
A.x>﹣1且 x≠1 B.x≥﹣1 C.x≠1 D.x≥﹣1且 x≠1
3.如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体,从正面看到的平面图形是( )
A. B.
C. D.
4.如图,直线AB∥CD,则下列结论正确的是( )
A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠1+∠3=180° D.∠3+∠4=180°
5.下列所给的汽车标志图案中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A. B.
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C. D.
6.如图,数轴上表示实数的点可能是( )
A.点P B.点Q C.点R D.点S
7.甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示,下面结论不正确的是( )
A.甲超市的利润逐月减少
B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加
C.8月份两家超市利润相同
D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市
8.小明从家步行到校车站台,等候坐校车去学校,图中的折线表示这一过程中小明的路程S(km)与所花时间t(min)间的函数关系;下列说法:①他步行了1km到校车站台;②他步行的速度是100m/min;③他在校车站台等了6min;④校车运行的速度是200m/min;其中正确的个数是( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题(满分16分,每小题2分)
9.若△ABC∽△DEF,请写出 2 个不同类型的正确的结论______、_______.
10.把两个同样大小的含45°
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角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=_________.
11.化简:=_______ .
12.你喜欢足球吗?下面是对某学校七年级学生的调查结果:
男同学
女同学
喜欢的人数
75
24
不喜欢的人数
15
36
则男同学中喜欢足球的人数占全体同学的百分比是________.
13.如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上的点,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A=32°,则∠D=___________度.
14.A,B两市相距200千米,甲车从A市到B市,乙车从B市到A市,两车同时出发,已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时,且甲车比乙车早半小时到达目的地.若设乙车的速度是x千米/小时,则根据题意,可列方程___________.
15.如图,线段AB=4,M为AB的中点,动点P到点M的距离是1,连接PB,线段
PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是________.
16.阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
尺规作图:作Rt△ABC,使其斜边AB=c,一条直角边BC=a.
22
已知线段a,c如图.
小芸的作法如下:
①取AB=c,作AB的垂直平分线交AB于点O;
②以点O为圆心,OB长为半径画圆;
③以点B为圆心,a长为半径画弧,与⊙O交于点C;
④连接BC,AC.
则Rt△ABC即为所求.
老师说:“小芸的作法正确.”
请回答:小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是______________.
三.解答题(共12小题,满分68分)
17.(5分)计算:()﹣2﹣+(﹣4)0﹣cos45°.
18.(5分)解不等式组
19.(5分)如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=62°,CE平分∠ACB.
(1)求∠ACE;
(2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°,证明:△CFD是直角三角形.
20.(5分)如图,已知反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1,4),点B(﹣4,n).
(1)求n和b的值;
(2)求△OAB的面积;
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(3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围.
21.(5分)如图,已知AC是矩形ABCD的对角线,AC的垂直平分线EF分别交BC.AD于点E和F,EF交AC于点O.
(1)求证:四边形AECF是菱形;
(2)若AC=8,EF=6,求BC的长.
22.(5分)已知关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)当m为正整数时,求方程的根.
23.(5分)如图,AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,经过点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC交EC的延长线于点D,AD交⊙O于F,FM⊥AB于H,分别交⊙O、AC于M、N,连接MB,BC.
(1)求证:AC平分∠DAE;
(2)若cosM=,BE=1,①求⊙O的半径;②求FN的长.
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24.(5分)某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额(单位:万元)如下:
甲
7.29.69.67.89.3 4 6.58.59.99.6
乙
5.89.79.76.89.96.98.26.78.69.7
根据上面的数据,将下表补充完整:
4.0≤x≤4.9
5.0≤x≤5.9
6.0≤x≤6.9
7.0≤x≤7.9
8.0≤x≤8.9
9.0≤x≤10.0
甲
1
0
1
2
1
5
乙
(说明:月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金,7.0~7.9万元为良好,6.0~6.9万元为合格,6.0万元以下为不合格)
两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示:
人员
平均数(万元)
中位数(万元)
众数(万元)
甲
8.2
8.9
9.6
乙
8.2
8.4
9.7
结论 (1)估计乙业务员能获得奖金的月份有________个;
(2)可以推断出____-业务员的销售业绩好,理由为______.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
25.(6分)如图,在△ABC中,∠C=60°,BC=3厘米,AC=4厘米,点P从点B出发,沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A.设点P的运动时间为x秒,B.P两点间的距离为y厘米.
小新根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小新的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x(s)
0
1
2
3
4
5
6
7
y(cm)
0
1.0
2.0
3.0
2.7
2.7
m
3.6
经测量m的值是______(保留一位小数).
(2)建立平面直角坐标系,描出表格中所有各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:在曲线部分的最低点时,在△
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ABC中画出点P所在的位置.
26.(7分)有一个二次函数满足以下条件:①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,y2)(点B在点A的右侧);②对称轴是x=3;③该函数有最小值是﹣2.
(1)请根据以上信息求出二次函数表达式;
(2)将该函数图象中x>x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,试结合图象分析:平行于x轴的直线y=m与图象“G”的交点的个数情况.
27.(7分)在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°),得△A1BC1,交AC于点E,AC分别交A1C1.BC于D.F两点.
(1)如图①,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图②,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由;
(3)在(2)的情况下,求ED的长.
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28.(8分)如图,已知一次函数y=x+4 与x轴交于点A,与y轴交于点C,一次函数y=﹣x+b经过点C与x轴交于点B.
(1)求直线BC的解析式;
(2)点P为x轴上方直线BC上一点,点G为线段BP的中点,点F为线段AB的中点,连接GF,取GF的中点M,射线PM交x轴于点H,点 D 为线段PH的中点,点E为线段AH的中点,连接DE,求证:DE=GF;
(3)在(2)的条件下,延长 PH 至 Q,使 PM=MQ,连接 AQ、BM,若∠BAQ+∠BMQ=∠DEB,求点 P 的坐标.
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参考答案
一.选择题
1.解:A.三角形的三条高线所在的直线交于一点,错误;
B.直角三角形有三条高,正确;
C.三角形的三条角平分线交于一点,正确;
D.三角形的三条中线交于一点,正确;
故选:A.
2.解:由题意得:x+1≥0,且x﹣1≠0,
解得:x≥﹣1,且x≠1,
故选:D.
3.解:从正面看第一层是三个小正方形,第二层在中间位置一个小正方形,故D符合题意,
故选:D.
4.解:如图,∵AB∥CD,
∴∠3+∠5=180°,
又∵∠5=∠4,
∴∠3+∠4=180°,
故选:D.
5.解:A.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
B.既是轴对称图形,又是中心对称图形,故本选项正确;
C.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误;
D.是轴对称图形,不是中心对称图形,故本选项错误.
故选:B.
6.解:∵2<<3,
∴数轴上表示实数的点可能是点Q.
故选:B.
7.解:A.甲超市的利润逐月减少,此选项正确;
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B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加,此选项正确;
C.8月份两家超市利润相同,此选项正确;
D.乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市,此选项错误;
故选:D.
8.解:根据题意得:
小明用了10分钟步行了1km到校站台,
即小明步行了1km到校车站台,①正确,
1000÷10=100m/min,
即他步行的速度是100m/min,②正确,
小明在校车站台从第10min等到第16min,
即他在校车站台等了6min,③正确,
小明用了14min的时间坐校车,走了7km的路程,
7000÷14=500m/min,
即校车运行的速度是500m/min,④不正确,
即正确的是①②③,
故选:C.
二.填空题(共8小题,满分16分,每小题2分)
9.解:∵△ABC∽△DEF,
∴∠ABC=∠DEF,==,
故答案为:∠ABC=∠DEF;==.
10.解:如图,过点A作AF⊥BC于F,
在Rt△ABC中,∠B=45°,
∴BC=AB=2,BF=AF=AB=1,
∵两个同样大小的含45°角的三角尺,
∴AD=BC=2,
在Rt△ADF中,根据勾股定理得,DF==
∴CD=BF+DF﹣BC=1+﹣2=﹣1,
故答案为:﹣1.
22
11.解:原式==,
故答案为:.
12.解:由题可得,男同学中喜欢足球的人数占全体同学的百分比是:
×100%=50%,
故答案为:50%.
13.解:连接OC,
由圆周角定理得,∠COD=2∠A=64°,
∵CD为⊙O的切线,
∴OC⊥CD,
∴∠D=90°﹣∠COD=26°,
故答案为:26.
14.解:设乙车的速度是x千米/小时,则根据题意,可列方程:
﹣=.
故答案为:﹣=.
15.解:如图所示:过点C作CD⊥y轴,垂足为D,过点P作PE⊥DC,垂足为E,延长EP交x轴于点F.
∵AB=4,O为AB的中点,
22
∴A(﹣2,0),B(2,0).
设点P的坐标为(x,y),则x2+y2=1.
∵∠EPC+∠BPF=90°,∠EPC+∠ECP=90°,
∴∠ECP=∠FPB.
由旋转的性质可知:PC=PB.
在△ECP和△FPB中,
,
∴△ECP≌△FPB.
∴EC=PF=y,FB=EP=2﹣x.
∴C(x+y,y+2﹣x).
∵AB=4,O为AB的中点,
∴AC==.
∵x2+y2=1,
∴AC=.
∵﹣1≤y≤1,
∴当y=1时,AC有最大值,AC的最大值为=3.
故答案为:3.
16.解:小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是直径所对的圆周角为直角.
故答案为直径所对的圆周角为直角.
三.解答题(共12小题,满分68分)
17.解:原式=4﹣3+1﹣×
=2﹣1
=1.
18.解:解不等式2x+1≥﹣1,得:x≥﹣1,
解不等式x+1>4(x﹣2),得:x<3,
则不等式组的解集为﹣1≤x<3.
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19.解:(1)∵∠A=30°,∠B=62°,
∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=88°,
∵CE平分∠ACB,
∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=44°;
(2)∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
∴∠BCD=90°﹣∠B=28°,
∴∠FCD=∠ECB﹣∠BCD=16°,
∵∠CDF=74°,
∴∠CFD=180°﹣∠FCD﹣∠CDF=90°,
∴△CFD是直角三角形.
20.解:(1)把A点(1,4)分别代入反比例函数y=,一次函数y=x+b,
得k=1×4,1+b=4,
解得k=4,b=3,
∵点B(﹣4,n)也在反比例函数y=的图象上,
∴n==﹣1;
(2)如图,设直线y=x+3与y轴的交点为C,
∵当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=7.5;
(3)∵B(﹣4,﹣1),A(1,4),
∴根据图象可知:当x>1或﹣4<x<0时,一次函数值大于反比例函数值.
22
21.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,
∵EF垂直平分AC,
∴AF=FC,AE=EC,
∴∠FAC=∠FCA,
∴∠FCA=∠ACB,
∵∠FCA+∠CFE=90°,∠ACB+∠CEF=90°,
∴∠CFE=∠CEF,
∴CE=CF,
∴AF=FC=CE=AE,
∴四边形AECF是菱形.
证法二:∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB,∠AFO=∠CEO,
∵EF垂直平分AC,
∴OA=OC,
∴△AOF≌△COE,
∴OE=OF,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵AC⊥EF,
∴四边形AECF是菱形.
(2)解:∵四边形AECF是菱形
22
∴OC=AC=4,OE=EF=3
∴CE===5,
∵∠COE=∠ABC=90,∠OCE=∠BCA,
∴△COE∽△CBA,
∴=,
∴=,
∴BC=.
22.解:(1)∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2=0有两个不相等的实数根,
∴△=(﹣2m)2﹣4(m2+m﹣2)>0.
解得m<2;
(2)由(1)知,m<2.
有m为正整数,
∴m=1,
将m=1代入原方程,得
x2﹣2x=0
x(x﹣2)=0,
解得x1=0,x2=2.
23.(1)证明:连接OC,如图,
∵直线DE与⊙O相切于点C,
∴OC⊥DE,
又∵AD⊥DE,
∴OC∥AD.
∴∠1=∠3
22
∵OA=OC,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
∴AC平方∠DAE;
(2)解:①∵AB为直径,
∴∠AFB=90°,
而DE⊥AD,
∴BF∥DE,
∴OC⊥BF,
∴=,
∴∠COE=∠FAB,
而∠FAB=∠M,
∴∠COE=∠M,
设⊙O的半径为r,
在Rt△OCE中,cos∠COE==,即=,解得r=4,
即⊙O的半径为4;
②连接BF,如图,
在Rt△AFB中,cos∠FAB=,
∴AF=8×=
在Rt△OCE中,OE=5,OC=4,
∴CE=3,
∵AB⊥FM,
∴,
∴∠5=∠4,
∵FB∥DE,
∴∠5=∠E=∠4,
∵=,
∴∠1=∠2,
22
∴△AFN∽△AEC,
∴=,即=,
∴FN=.
24.解:如图,
销售额
数量
x
人员
4.0≤x≤4.9
5.0≤x≤5.9
6.0≤x≤6.9
7.0≤x≤7.9
8.0≤x≤8.9
9.0≤x≤10.0
乙
0
1
3
0
2
4
(1)估计乙业务员能获得奖金的月份有6个;
(2)可以推断出甲业务员的销售业绩好,理由为:甲的销售额的中位数较大,并且甲月销售额在9万元以上的月份多.
故答案为0,1,3,0,2,4;6;甲,甲的销售额的中位数较大,并且甲月销售额在9万元以上的月份多.
25.解:(1)经测量,当t=6时,BP=3.0.
(当t=6时,CP=6﹣BC=3,
∴BC=CP.
∵∠C=60°,
∴当t=6时,△BCP为等边三角形.)
故答案为:3.0.
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(2)描点、连线,画出图象,如图1所示.
(3)在曲线部分的最低点时,BP⊥AC,如图2所示.
26.解:(1)由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为:(3,﹣2),
设二次函数的表达式为:y=a(x﹣3)2﹣2.
∵该函数图象经过点A(1,0),
∴0=a(x﹣3)2﹣2,
解得a=
∴二次函数解析式为:y=(x﹣3)2﹣2.
(2)如图所示:
当m>0时,直线y=m与G有一个交点;
当m=0时,直线y=m与G有两个交点;
当﹣2<m<0时,直线y=m与G有三个交点;
当m=﹣2时,直线y=m与G有两个交点;
当m<﹣2时,直线y=m与G有一个交点.
27.解:(1)EA1=FC.理由如下:
∵AB=BC,∴∠A=∠C,
22
∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△A1BC1,
∴∠ABE=∠C1BF,AB=BC=A1B=BC1,
在△ABE和△C1BF中,,
∴△ABE≌△C1BF(ASA),
∴BE=BF,
∴A1B﹣BE=BC﹣BF,
即EA1=FC;
(2)四边形BC1DA是菱形.理由如下:
∵旋转角α=30°,
∠ABC=120°,
∴∠ABC1=∠ABC+α
=120°+30°=150°,
∵∠ABC=120°,AB=BC,
∴∠A=∠C=(180°﹣120°)=30°,
∴∠ABC1+∠C1=150°+30°=180°,
∠ABC1+∠A=150°+30°=180°,
∴AB∥C1D,AD∥BC1,
∴四边形BC1DA是平行四边形,
又∵AB=BC1,
∴四边形BC1DA是菱形;
(3)过点E作EG⊥AB,
∵∠A=∠ABA1=30°,
∴AG=BG=AB=1,
在Rt△AEG中,AE===,
由(2)知AD=AB=2,
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∴DE=AD﹣AE=2﹣.
28.(1)解:∵一次函数y=x+4 与x轴交于点A,与y轴交于点C,
∴C(0,4),A(﹣5,0).
∵一次函数y=﹣x+b经过点C,
∴b=4,
∴一次函数解析式为y=﹣x+4.
(2)证明:如图1中,连接AP.
在△APB中,∵PG=GB,AF=FB,
∴FG=AP,
在△APH中,∵AE=EH,PD=DH,
∴DE=AP,
∴FG=DE.
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(3)解:如图2中,延长GF交AQ于K,连接PE.
∵GM=MF,∠PMG=∠QMF,PM=MQ,
∴△PGM≌△QFM,
∴QF=PG=GB,∴∠FQM=∠MPG,
∴QF∥PB,
∴四边形FGBQ是平行四边形,
∴BQ=FG=DE,BQ∥DE,可得△DEH≌△QBH,
∴EH=HB=AE,
∴H(1,0),设GM=a,则MF=a,PA=4a,
∵GK∥AP,PM=MQ,
∴AK=KQ,
∴MK=2a,FK=a,
∴FM=FK,∠MFB=∠AFK,BF=AF,
∴△AFK≌△BFM,
∴∠FAK=∠MBF,
∴BM∥AQ,
∴∠BAQ=∠ABM,
∵∠BAQ+∠BMQ=∠DEB=∠PAB,
∴∠ABM+∠BMQ=∠PAB=∠PHA,
∴PA=PH,∵AE=EH,
∴PE⊥AH,
设AE=EH=x,
则EO=x﹣1,EO=OA﹣AE=5﹣x,
∴5﹣x=x﹣1,
22
∴x=3,
∴PE=EB=6,EO=2,
∴P(﹣2,6).
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