天津南开区2019年中考数学二模试题(带解析)
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资料简介
‎2019年天津市南开区中考数学二模试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.(3分)计算2﹣(﹣3)×4的结果是(  )‎ A.10 B.﹣20 C.﹣10 D.14‎ ‎2.(3分)2cos30°的值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.(3分)我区围绕培育和践行社会主义核心价值观为主线,扎实推进《天津市文明行为促进条例》宣传贯彻,与《天津日报》联合刊发《文明南开社区读本》文明条例宣传专刊40000份.将“40000”用科学记数法表示为(  )‎ A.4×105 B.4×104 C.0.4×105 D.40×103‎ ‎4.(3分)观察下列图形,是轴对称图形但不是中心对称图形的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 ‎5.(3分)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的三视图是(  )‎ A. B.‎ 26‎ ‎ ‎ C. D.‎ ‎6.(3分)实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示,在这四个数中,绝对值最小的数是(  )‎ A.a B.b C.c D.d ‎7.(3分)方程组的解是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(3分)反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1>x2,x1x2>0,则y1﹣y2的值是(  )‎ A.正数 B.负数 C.0 D.非负数 ‎9.(3分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C,CB′与AB相交于点D,连接AA′,则∠B′A′A的度数为(  )‎ 26‎ A.10° B.15° C.20° D.30°‎ ‎10.(3分)如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成,若圆的半径为2,则图中阴影部分的面积为(  )‎ A. B.3 C.6 D.4‎ ‎11.(3分)如图,正△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.2+‎ ‎12.(3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点).有下列结论:①当x>3时,y<0;②n=c﹣a;③3a+b>0;④﹣1<a<﹣.其中正确的结论有(  )‎ 26‎ A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎13.(3分)计算:(﹣3a)2a3=   .‎ ‎14.(3分)化简:()÷的结果是   .‎ ‎15.(3分)已知直线y=kx+1经过第一、二、四象限,该直线解析式可以是   .‎ ‎16.(3分)如图在圆形靶中,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A、B、C、D,得到四边形ABCD,且∠BAC=30°,则射击到靶中阴影部分的概率是   .‎ ‎17.(3分)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为   .‎ ‎18.(3分)如图,在边长都是1的小正方形组成的网格中,A、B、C、D均为格点,线段CD相交于点O.‎ ‎(Ⅰ)线段CD的长等于   ;‎ ‎(Ⅱ)请你借助网格,使用无刻度的直尺画出以A为一个顶点的矩形ARST,满足点O为其对角线的交点,并简要说明这个矩形是怎么画的(不要求证明)   .‎ 三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)‎ 26‎ ‎19.解不等式组 请结合题意填空,完成本题的解答.‎ ‎(Ⅰ)解不等式①,得   ;‎ ‎(Ⅱ)解不等式②,得   ;‎ ‎(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:‎ ‎(Ⅳ)原不等式组的解集为   .‎ ‎20.在某中学举行的一次知识竞赛活动中,每个班参加竞赛的人数都相同.成绩分别为A、B、C、D四个等级,四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分,现九年级一班和二班的成绩整理并绘制出如下的统计图.‎ 请根据以上提供的信息,解答下列问题:‎ ‎(Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为   ;‎ ‎(Ⅱ)二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%,则m=   ;‎ ‎(Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数;‎ ‎(Ⅳ)求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数.‎ 26‎ ‎21.已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,点P是射线OA上的一点(点A除外),直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交射线OA于点E.‎ ‎(Ⅰ)如图①,点P在线段OA上,若∠AQE=28°,求∠OBQ的大小;‎ ‎(Ⅱ)如图②,点P在OA的延长线上,若∠AQE=28°,求∠OBQ的大小.‎ ‎22.在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上,在救助船B的西南方向上,船B在船A正北方向150海里处.‎ ‎(Ⅰ)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;‎ ‎(Ⅱ)若救助船A,B分别以40海里/时,30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.(参考数据:sin36.8°≈0.6,cos36.8°≈0.8,tan36.8°≈0.75,结果保留整数 ‎23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.“五一”节期间两家商场都让利酬宾,在甲商场按累计购物金额的85%收费;在乙商场累计购物金额超过400元后,超出400元的部分按75%收费,设小红在同一商场累计购物金额为x元,其中x>400.‎ 26‎ ‎(Ⅰ)根据题意,填写如表(单位:元):‎ 累计购物实际花费 ‎500‎ ‎700‎ ‎……‎ x 在甲商场 ‎425‎ ‎   ‎ ‎…‎ ‎   ‎ 在乙商场 ‎   ‎ ‎625‎ ‎…‎ ‎   ‎ ‎(Ⅱ)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?‎ ‎(Ⅲ)“五一”节期间,小红如何选择这两家商场去购物更省钱?‎ ‎24.如图1,已知▱ABCD,AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1,﹣4),点D的坐标为(﹣3,4),点B在第四象限,点P是▱ABCD边上的一个动点.‎ ‎(1)若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标.‎ ‎(2)若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上,求点P的坐标.‎ ‎(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标.(直接写出答案)‎ ‎25.如图所示,Rt△ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(﹣3,0),(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线x=3上.‎ ‎(Ⅰ)求抛物线对应的函数关系式;‎ ‎(Ⅱ)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A,B,O的对应点分别是D、C,E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;‎ 26‎ ‎(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,连接BD.已知在对称轴上存在一点P,使得△PBD的周长最小.若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O,B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连接PM,PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 26‎ ‎2019年天津市南开区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.【分析】原式先计算乘法运算,再计算减法运算即可求出值.‎ ‎【解答】解:原式=2﹣(﹣12)=2+12=14,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎2.【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可.‎ ‎【解答】解:2cos30°=2×.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,是需要识记的内容.‎ ‎3.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.‎ ‎【解答】解:将40000用科学记数法表示为:4×104.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.‎ ‎4.【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形,再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形.‎ ‎【解答】解:第1个,是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项正确;‎ 第2个,不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误;‎ 第3个,是轴对称图形,也是中心对称图形.故本选项错误;‎ 第4个,是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项正确.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形;‎ 26‎ 中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.‎ ‎5.【分析】找到从正面、左面、上看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在视图中.‎ ‎【解答】解:此几何体的主视图有两排,从上往下分别有1,3个正方形;‎ 左视图有二列,从左往右分别有2,1个正方形;‎ 俯视图有三列,从上往下分别有3,1个正方形,‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识,关键是掌握三视图所看的位置.‎ ‎6.【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论.‎ ‎【解答】解:由图可知:c到原点O的距离最短,‎ 所以在这四个数中,绝对值最小的数是c;‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题,熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数.‎ ‎7.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.‎ ‎【解答】解:,‎ ‎①×3+②×2得:19x=114,‎ 解得:x=6,‎ 把x=6代入①得:y=﹣,‎ 则方程组的解为,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎8.【分析】先根据k>0、x1>x2,x1x2>0,判断出反比例函数所在的象限,再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小.‎ ‎【解答】解:∵k>0.‎ ‎∴图象分别位于第一、三象限,‎ 26‎ 又∵在每个象限内y随x的增大而减小,x1>x2,x1x2>0,‎ 故y1<y2,‎ ‎∴y1﹣y2的值为负数.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征,理解反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键.‎ ‎9.【分析】由旋转的性质可得AC=A'C,∠ACA'=40°,∠BAC=∠B'A'C=90°,由等腰三角形的性质可得∠AA'C=70°=∠A'AC,即可求解.‎ ‎【解答】解:∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C,‎ ‎∴△ABC≌△A'B'C ‎∴AC=A'C,∠ACA'=40°,∠BAC=∠B'A'C=90°‎ ‎∴∠AA'C=70°=∠A'AC ‎∴∠B'A'A=∠B'A'C﹣∠AA'C=20°‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,熟练运用旋转的性质是本题的关键.‎ ‎10.【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE,代入数据即可得到结论.‎ ‎【解答】解:如图,∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成,‎ ‎∴△ABC与△ADE是等边三角形,‎ ‎∵圆的半径为2,‎ ‎∴AH=3,BC=AB=2,‎ ‎∴AE=,AF=1,‎ ‎∴图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE=×2×3+××1×3=4,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】‎ 26‎ 本题考查了正多边形与圆,等边三角形的性质,熟记正多边形与圆的性质是解题的关键.‎ ‎11.【分析】连接CC′,根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形,进而得出点C关于BC'对称的点是A',以此确定当点D与点B重合时,AD+CD的值最小,代入数据即可得出结论.‎ ‎【解答】解:连接CC′,如图所示.‎ ‎∵△ABC、△A′BC′均为正三角形,‎ ‎∴∠ABC=∠A′=60°,A′B=BC=A′C′,‎ ‎∴A′C′∥BC,‎ ‎∴四边形A′BCC′为菱形,‎ ‎∴点C关于BC'对称的点是A',‎ ‎∴当点D与点B重合时,AD+CD取最小值,‎ 此时AD+CD=2+2=4.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质,找出点C关于BC'对称的点是A'是解题的关键.‎ ‎12.【分析】由抛物线与x轴的交于点A(﹣1,0)且对称轴为x=1,知函数图象与x轴的另一个交点为(3,0),结合图象可判断①;由对称轴为x=﹣=1得b=﹣2a,将其代入n=a+b+c可判断②;由开口方向知a<0,将b=﹣2a代入3a+b即可判断③;由图象过(﹣1,0)知a﹣b+c=0,将b=﹣2a代入可得c=﹣3a,结合抛物线与y轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点)得2<c<3,即2<﹣3a<3,从而判断④.‎ ‎【解答】解:∵函数图象与x轴交于点A(﹣1,0),且对称轴为x=1,‎ 则函数图象与x轴的另一个交点为(3,0),‎ ‎∴当x>3时,y<0,故①正确;‎ 26‎ ‎∵抛物线的对称轴为x=﹣=1,‎ ‎∴b=﹣2a,‎ ‎∵顶点坐标为(1,n),‎ ‎∴n=a+b+c=a﹣2a+c,即n=c﹣a,故②正确;‎ ‎∵抛物线的开口向下,‎ ‎∴a<0,‎ ‎∵b=﹣2a,‎ ‎∴3a+b=3a﹣2a=a<0,故③错误;‎ ‎∵函数图象过点(﹣1,0),即x=﹣1时,y=0,‎ ‎∴a﹣b+c=0,‎ ‎∵b=﹣2a,‎ ‎∴a+2a+c=0,即c=﹣3a,‎ ‎∵抛物线与y轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点),‎ ‎∴2<c<3,即2<﹣3a<3,‎ 解得:﹣1,故④正确;‎ 综上,①②④正确,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.③常数项c决定抛物线与y轴交点.④抛物线与x轴交点个数取决于b2﹣4ac的值是解题的关键 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)‎ ‎13.【分析】直接利用积的乘方运算法则计算,再利用单项式乘以单项式计算得出答案.‎ ‎【解答】解:(﹣3a)2a3=9a2•a3‎ ‎=9a5.‎ 故答案为:9a5.‎ ‎【点评】此题主要考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式,正确掌握运算法则是解题关键.‎ ‎14.【分析】‎ 26‎ 分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可,如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.‎ ‎【解答】解:原式=‎ ‎=×‎ ‎=.‎ ‎【点评】此题的关键是明白除法运算可以转化成乘法运算来计算.‎ ‎15.【分析】根据一次函数y=kx+b的系数与图象的关系解答.‎ ‎【解答】解:∵直线y=kx+1经过第一、二、四象限,‎ ‎∴k<0.‎ ‎∴该直线解析式可以是y=﹣x+1.‎ 故答案是:y=﹣x+1(答案不唯一)‎ ‎【点评】考查了一次函数的性质.k>0,该函数图象经过第一、三象限;k<0,该函数图象经过第二、四象限.‎ ‎16.【分析】先利用圆周角定理证四边形ABCD是矩形,据此可得阴影部分面积=S扇形AOD+S扇形BOC,设⊙O半径为r,则射击到靶中阴影部分的概率是,从而得出答案.‎ ‎【解答】解:∵AC是直径,‎ ‎∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,‎ ‎∴四边形ABCD是矩形,‎ 则S△COD=S△AOD,S△AOB=S△BOC,‎ ‎∴阴影部分面积=S扇形AOD+S扇形BOC,‎ ‎∵∠BAC=30°,‎ ‎∴∠BOC=∠AOD=60°,‎ 设⊙O半径为r,‎ 则射击到靶中阴影部分的概率是=,‎ 故答案为:.‎ 26‎ ‎【点评】本题考查了几何概率;本题将概率的求解设置于黑白两色的正三角形和弓形中,考查学生对简单几何概型的掌握情况,既避免了单纯依靠公式机械计算的做法,又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,体现了数学学科的基础性.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.‎ ‎17.【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD,‎ 在△ABE和△DAF中,‎ ‎∵,‎ ‎∴△ABE≌△DAF(SAS),‎ ‎∴∠ABE=∠DAF,‎ ‎∵∠ABE+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠DAF+∠BEA=90°,‎ ‎∴∠AGE=∠BGF=90°,‎ ‎∵点H为BF的中点,‎ ‎∴GH=BF,‎ ‎∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3,‎ ‎∴BF==,‎ ‎∴GH=BF=,‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形两锐角互余等知识,掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键.‎ ‎18.【分析】(Ⅰ)由勾股定理求解可得.‎ ‎(Ⅱ)1、以O为圆心、OA为半径作⊙O;‎ ‎2、借助网格作AE⊥OA;‎ 26‎ ‎3、过点O作RT∥AE,交⊙O于点R、T;‎ ‎4、延长AB交⊙O于点S,顺次连接A、R、S、T,‎ 则矩形ARST即为所求.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)CD==2.‎ 故答案为:2;‎ ‎(Ⅱ)如图,‎ ‎1、以O为圆心、OA为半径作⊙O;‎ ‎2、借助网格作AE⊥OA;‎ ‎3、过点O作RT∥AE,交⊙O于点R、T;‎ ‎4、延长AB交⊙O于点S,顺次连接A、R、S、T,‎ 则矩形ARST即为所求.‎ 答案为:1、以O为圆心、OA为半径作⊙O;‎ ‎2、借助网格作AE⊥OA;‎ ‎3、过点O作RT∥AE,交⊙O于点R、T;‎ ‎4、延长AB交⊙O于点S,顺次连接A、R、S、T,‎ 则矩形ARST即为所求.‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图,解题的关键是掌握勾股定理、圆周角定理、矩形的判定与性质等知识点.‎ 三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)‎ ‎19.【分析】(I)根据不等式的性质求出不等式的解集即可;‎ ‎(II)根据不等式的性质求出不等式的解集即可;‎ ‎(III)在数轴上表示出来即可;‎ ‎(IV)根据数轴得出即可.‎ ‎【解答】解:(I)解不等式①得:x<3,‎ 26‎ 故答案为:x<3;‎ ‎(II)解不等式②得:x≥1,‎ 故答案为:x≥1;‎ ‎(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为:‎ ‎;‎ ‎(IV)原不等式组的解集为1≤x<3,‎ 故答案为:1≤x<3.‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用,能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键.‎ ‎20.【分析】(Ⅰ)根据一班的成绩,利用条形统计图的信息解决问题即可.‎ ‎(Ⅱ)根据百分比之和为100%,计算即可.‎ ‎(Ⅲ)根据平均数的定义计算即可.‎ ‎(Ⅳ)根据众数,中位数的定义判断即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为5+10+2+3=20(人);‎ 故答案为20人.‎ ‎(Ⅱ)二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%,则m=100﹣25﹣35﹣30=10;‎ 故答案为10.‎ ‎(Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数==88.5.‎ ‎(Ⅳ)二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数分别为100分,80分.‎ ‎【点评】本题考查众数,加权平均数,众数,中位数等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.‎ ‎21.【分析】(Ⅰ)连接OQ,根据圆周角定理求出∠BQA,根据切线的性质得到∠OQE=90°,结合图形计算,得到答案;‎ ‎(Ⅱ)连接OQ,根据切线的性质得到∠OQE=90°‎ 26‎ ‎,根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)如图①,连接OQ,‎ ‎∵OA⊥OB,‎ ‎∴∠BOA=90°,‎ 由圆周角定理得,∠BQA=∠BOA=45°,‎ ‎∵QE为⊙O的切线,‎ ‎∴∠OQE=90°,‎ ‎∴∠OQB=90°﹣∠BQA﹣∠AQE=17°,‎ ‎∵OB=OQ,‎ ‎∴∠OBQ=∠OQB=17°;‎ ‎(Ⅱ)如图②,连接OQ,‎ ‎∵QE为⊙O的切线,‎ ‎∴∠OQE=90°,‎ ‎∴∠OQA=90°﹣∠AQE=62°,‎ ‎∵OA=OQ,‎ ‎∴∠OAQ=∠OQA=62°,‎ ‎∴∠AOQ=180°﹣62°×2=56°,‎ ‎∵OA⊥OB,‎ ‎∴∠BOA=90°,‎ ‎∴∠BOQ=90°﹣56°=34°,‎ ‎∴∠OBQ=(180°﹣34°)÷2=73°.‎ 26‎ ‎【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.‎ ‎22.【分析】(Ⅰ)过点P作PE⊥AB于点E,在Rt△APE中解出PE即可;‎ ‎(Ⅱ)分别求出PA、PB的长,根据两船航行速度,计算出两艘船到达P点时各自所需要的时间,即可作出判断.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)过点P作PE⊥AB于点E,‎ 由题意得,∠BPE=36.8°,∠EPA=45°,‎ 设PE为x海里,则AE=PE=x海里,‎ ‎∵AB=150海里,‎ ‎∴BE=(150﹣x)海里,‎ 在Rt△PBE中,,‎ 即:‎ 解得:x≈64,‎ ‎∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离约为64海里;‎ ‎(Ⅱ)在Rt△PBE中,PE=64海里,∠EPA=45°,‎ 则AP=PE=64≈110.5海里,‎ A船需要的时间为:110.5÷40≈2.76小时,‎ 在Rt△BAE中,,‎ 26‎ ‎∴BP=PE÷cos∠BPE=64÷0.8=80海里,‎ ‎∴B船需要的时间为:80÷30≈2.67小时,‎ ‎∵2.76>2.67,‎ ‎∴B船先到达.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是理解方位角的定义,能利用三角函数值计算有关线段,难度一般.‎ ‎23.【分析】(Ⅰ)根据两种购买方案即可求解;‎ ‎(Ⅱ)小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解;‎ ‎(Ⅲ)利用(1)所得代数式,分两种情况列不等式求解.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)700×85%=595(元),在甲商场购买x元的金额时,实际花费是0.85x(元);‎ ‎400+(500﹣400)×75%=475(元),在甲商场购买x元的金额时,实际花费是400+(x﹣400)×75%=0.75x+100.‎ 故答案是:595;0.85x;475;0.75x+100;‎ ‎(Ⅱ)根据题意,有0.85x=0.75x+100,解得x=1000,‎ ‎∴当x=1000时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同.‎ ‎(Ⅲ)由0.85x<0.75x+100,解得x<1000.‎ 由0.85x>0.75x+100,解得x>1000.‎ ‎∴当小红累计购物的金额超过1000时,在乙商场购物更省钱;‎ 当小红累计购物的金额不超过1000元时,在甲商场购物更省钱.‎ ‎【点评】本题考查一元一次方程的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题意,列出方程或不等式,进行求解.‎ ‎24.【分析】(1)由题意点P与点C重合,可得点P坐标为(3,4);‎ ‎(2)分两种情形①当点P在边AD上时,②当点P在边AB上时,分别列出方程即可解决问题;‎ ‎(3)分三种情形①如图1中,当点P在线段CD上时.②如图2中,当点P在AB上时.③如图3中,当点P在线段AD上时.分别求解即可;‎ ‎【解答】解:(1)∵CD=6,‎ ‎∴点P与点C重合,‎ 26‎ ‎∴点P坐标为(3,4).‎ ‎(2)①当点P在边AD上时,‎ ‎∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2,‎ 设P(a,﹣2a﹣2),且﹣3≤a≤1,‎ 若点P关于x轴的对称点Q1(a,2a+2)在直线y=x﹣1上,‎ ‎∴2a+2=a﹣1,‎ 解得a=﹣3,‎ 此时P(﹣3,4).‎ 若点P关于y轴的对称点Q3(﹣a,﹣2a﹣2)在直线y=x﹣1上时,‎ ‎∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1,解得a=﹣1,此时P(﹣1,0)‎ ‎②当点P在边AB上时,设P(a,﹣4)且1≤a≤7,‎ 若等P关于x轴的对称点Q2(a,4)在直线y=x﹣1上,‎ ‎∴4=a﹣1,解得a=5,此时P(5,﹣4),‎ 若点P关于y轴的对称点Q4(﹣a,﹣4)在直线y=x﹣1上,‎ ‎∴﹣4=﹣a﹣1,‎ 解得a=3,此时P(3,﹣4),‎ 综上所述,点P的坐标为(﹣3,4)或(﹣1,0)或(5,﹣4)或(3,﹣4).‎ ‎(3)①如图1中,当点P在线段CD上时,设P(m,4).‎ 26‎ 在Rt△PNM′中,∵PM=PM′=6,PN=4,‎ ‎∴NM′==2,‎ 在Rt△OGM′中,∵OG2+OM′2=GM′2,‎ ‎∴22+(2+m)2=m2,‎ 解得m=﹣,‎ ‎∴P(﹣,4)‎ 根据对称性可知,P(,4)也满足条件.‎ ‎②如图2中,当点P在AB上时,易知四边形PMGM′是正方形,边长为2,此时P(2,﹣4).‎ 26‎ ‎③如图3中,当点P在线段AD上时,设AD交x轴于R.易证∠M′RG=∠M′GR,推出M′R=M′G=GM,设M′R=M′G=GM=x.‎ ‎∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2,‎ ‎∴R(﹣1,0),‎ 26‎ 在Rt△OGM′中,有x2=22+(x﹣1)2,解得x=,‎ ‎∴P(﹣,3).‎ 点P坐标为(2,﹣4)或(﹣,3)或(﹣,4)或(,4).‎ ‎【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会构建方程解决问题,属于中考压轴题.‎ ‎25.【分析】(I)利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质,可求出b,c的值,进而可得出抛物线对应的函数关系式;‎ ‎(II)由点A,B的坐标利用勾股定理可求出AB的长,结合菱形的性质可得出点D,C的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出:点C不在该抛物线上,点D在该抛物线上;‎ ‎(III)过点B作BB′∥x轴,交抛物线于点B′,连接B′D交抛物线对称轴于点P,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,由点B的坐标结合抛物线的对称性可得出点B′的坐标,由点B′,D的坐标利用待定系数法可求出直线B′D的函数关系式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标,由MN∥BD可得出ON=t,利用三角形的面积公式结合S△PMN=S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ,可得出S关于t的函数关系式,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.‎ ‎【解答】解:(I)∵抛物线y=+bx+c经过点B(0,4),且顶点在直线x=3上,‎ ‎∴,解得:,‎ ‎∴抛物线对应的函数关系式为y=x2﹣3x+4.‎ ‎(II)点C不在该抛物线上,点D在该抛物线上,理由如下:‎ ‎∵点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(0,4),‎ ‎∴OA=3,OB=4,‎ ‎∴AB==5.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴点D的坐标为(2,0),点C的坐标为(5,4).‎ 当x=2时,y=x2﹣3x+4=0,‎ ‎∴点D在该抛物线上;‎ 26‎ 当x=5时,y=x2﹣3x+4=≠4,‎ ‎∴点C不在该抛物线上.‎ ‎(III)过点B作BB′∥x轴,交抛物线于点B′,连接B′D交抛物线对称轴于点P,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,如图2所示.‎ ‎∵点B的坐标为(0,4),抛物线的对称轴为直线x=3,‎ ‎∴点B′的坐标为(6,4).‎ 设直线B′D的函数关系式为y=kx+a(k≠0),‎ 将B′(6,4),D(2,0)代入y=kx+a,得:‎ ‎,解得:,‎ ‎∴直线B′D的函数关系式为y=x﹣2.‎ 当x=3时,y=x﹣2=1,‎ ‎∴点P的坐标为(3,1).‎ ‎∵MN∥BD,‎ ‎∴==,‎ ‎∴ON=OM=t.‎ ‎∴S△PMN=S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ,‎ ‎=(OM+PQ)•OQ﹣OM•ON﹣PQ•NQ,‎ ‎=(t+1)×3﹣•t•t﹣×1×(3﹣t),‎ ‎=﹣t2+t,‎ ‎∴S=﹣t2+t(0<t<4).‎ ‎∵S=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,﹣<0,‎ ‎∴当t=时,S取得最大值,最大值为,此时点M的坐标为(0,).‎ 26‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、勾股定理、菱形的性质、平行线分线段成比例以及三角形的面积,解题的关键是:(I)利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质,求出b,c的值;(II)利用菱形的性质,求出点C,D的坐标;(III)利用分割图形求面积法,找出S关于t的函数关系式.‎ 26‎

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