2019年天津市南开区中考数学二模试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)计算2﹣(﹣3)×4的结果是( )
A.10 B.﹣20 C.﹣10 D.14
2.(3分)2cos30°的值等于( )
A. B. C. D.
3.(3分)我区围绕培育和践行社会主义核心价值观为主线,扎实推进《天津市文明行为促进条例》宣传贯彻,与《天津日报》联合刊发《文明南开社区读本》文明条例宣传专刊40000份.将“40000”用科学记数法表示为( )
A.4×105 B.4×104 C.0.4×105 D.40×103
4.(3分)观察下列图形,是轴对称图形但不是中心对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.(3分)如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形,它的三视图是( )
A. B.
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C. D.
6.(3分)实数a、b、c、d在数轴上的对应点的位置如图所示,在这四个数中,绝对值最小的数是( )
A.a B.b C.c D.d
7.(3分)方程组的解是( )
A. B. C. D.
8.(3分)反比例函数y=的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1>x2,x1x2>0,则y1﹣y2的值是( )
A.正数 B.负数 C.0 D.非负数
9.(3分)如图,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C,CB′与AB相交于点D,连接AA′,则∠B′A′A的度数为( )
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A.10° B.15° C.20° D.30°
10.(3分)如图所示的“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成,若圆的半径为2,则图中阴影部分的面积为( )
A. B.3 C.6 D.4
11.(3分)如图,正△ABC的边长为2,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A′BC′关于直线l对称,D为线段BC′上一动点,则AD+CD的最小值是( )
A.4 B.3 C.2 D.2+
12.(3分)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(﹣1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点).有下列结论:①当x>3时,y<0;②n=c﹣a;③3a+b>0;④﹣1<a<﹣.其中正确的结论有( )
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A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)计算:(﹣3a)2a3= .
14.(3分)化简:()÷的结果是 .
15.(3分)已知直线y=kx+1经过第一、二、四象限,该直线解析式可以是 .
16.(3分)如图在圆形靶中,AC与BD是⊙O的两条直径,首尾顺次连接点A、B、C、D,得到四边形ABCD,且∠BAC=30°,则射击到靶中阴影部分的概率是 .
17.(3分)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E、F分别在AD、DC上,AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为 .
18.(3分)如图,在边长都是1的小正方形组成的网格中,A、B、C、D均为格点,线段CD相交于点O.
(Ⅰ)线段CD的长等于 ;
(Ⅱ)请你借助网格,使用无刻度的直尺画出以A为一个顶点的矩形ARST,满足点O为其对角线的交点,并简要说明这个矩形是怎么画的(不要求证明) .
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
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19.解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)解不等式①,得 ;
(Ⅱ)解不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20.在某中学举行的一次知识竞赛活动中,每个班参加竞赛的人数都相同.成绩分别为A、B、C、D四个等级,四个等级对应的分数依次为100分、90分、80分、70分,现九年级一班和二班的成绩整理并绘制出如下的统计图.
请根据以上提供的信息,解答下列问题:
(Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为 ;
(Ⅱ)二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%,则m= ;
(Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数;
(Ⅳ)求二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数.
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21.已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,点P是射线OA上的一点(点A除外),直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交射线OA于点E.
(Ⅰ)如图①,点P在线段OA上,若∠AQE=28°,求∠OBQ的大小;
(Ⅱ)如图②,点P在OA的延长线上,若∠AQE=28°,求∠OBQ的大小.
22.在一次海上救援中,两艘专业救助船A,B同时收到有关可疑漂浮物的讯息,可疑漂浮物P在救助船A的北偏西36.8°方向上,在救助船B的西南方向上,船B在船A正北方向150海里处.
(Ⅰ)求可疑漂浮物P到A,B两船所在直线的距离;
(Ⅱ)若救助船A,B分别以40海里/时,30海里/时的速度同时出发,匀速直线前往P处搜救,试通过计算判断哪艘船先到达P处.(参考数据:sin36.8°≈0.6,cos36.8°≈0.8,tan36.8°≈0.75,结果保留整数
23.甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品.“五一”节期间两家商场都让利酬宾,在甲商场按累计购物金额的85%收费;在乙商场累计购物金额超过400元后,超出400元的部分按75%收费,设小红在同一商场累计购物金额为x元,其中x>400.
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(Ⅰ)根据题意,填写如表(单位:元):
累计购物实际花费
500
700
……
x
在甲商场
425
…
在乙商场
625
…
(Ⅱ)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?
(Ⅲ)“五一”节期间,小红如何选择这两家商场去购物更省钱?
24.如图1,已知▱ABCD,AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1,﹣4),点D的坐标为(﹣3,4),点B在第四象限,点P是▱ABCD边上的一个动点.
(1)若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标.
(2)若点P在边AB,AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x﹣1上,求点P的坐标.
(3)若点P在边AB,AD,CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标.(直接写出答案)
25.如图所示,Rt△ABO的两直角边OA,OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A,B两点的坐标分别为(﹣3,0),(0,4),抛物线y=+bx+c经过点B,且顶点在直线x=3上.
(Ⅰ)求抛物线对应的函数关系式;
(Ⅱ)若把△ABO沿x轴向右平移得到△DCE,点A,B,O的对应点分别是D、C,E,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由;
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(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,连接BD.已知在对称轴上存在一点P,使得△PBD的周长最小.若点M是线段OB上的一个动点(点M与点O,B不重合),过点M作MN∥BD交x轴于点N,连接PM,PN,设OM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.是否存在最大值?若存在,求出最大值和此时M点的坐标;若不存在,请说明理由.
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2019年天津市南开区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.【分析】原式先计算乘法运算,再计算减法运算即可求出值.
【解答】解:原式=2﹣(﹣12)=2+12=14,
故选:D.
【点评】此题考查了有理数的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
2.【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可.
【解答】解:2cos30°=2×.
故选:B.
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值,是需要识记的内容.
3.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:将40000用科学记数法表示为:4×104.
故选:B.
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
4.【分析】根据轴对称图形的概念先求出图形中轴对称图形,再根据中心对称图形的概念得出其中不是中心对称的图形.
【解答】解:第1个,是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项正确;
第2个,不是轴对称图形,是中心对称图形.故本选项错误;
第3个,是轴对称图形,也是中心对称图形.故本选项错误;
第4个,是轴对称图形,不是中心对称图形.故本选项正确.
故选:B.
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形;
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中心对称图形:在同一平面内,如果把一个图形绕某一点旋转180°,旋转后的图形能和原图形完全重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
5.【分析】找到从正面、左面、上看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在视图中.
【解答】解:此几何体的主视图有两排,从上往下分别有1,3个正方形;
左视图有二列,从左往右分别有2,1个正方形;
俯视图有三列,从上往下分别有3,1个正方形,
故选:A.
【点评】本题考查了三视图的知识,关键是掌握三视图所看的位置.
6.【分析】根据数轴上某个数与原点的距离的大小确定结论.
【解答】解:由图可知:c到原点O的距离最短,
所以在这四个数中,绝对值最小的数是c;
故选:C.
【点评】本题考查了绝对值的定义、实数大小比较问题,熟练掌握绝对值最小的数就是到原点距离最小的数.
7.【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
【解答】解:,
①×3+②×2得:19x=114,
解得:x=6,
把x=6代入①得:y=﹣,
则方程组的解为,
故选:C.
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
8.【分析】先根据k>0、x1>x2,x1x2>0,判断出反比例函数所在的象限,再根据反比例函数的性质判断出y1、y2的大小.
【解答】解:∵k>0.
∴图象分别位于第一、三象限,
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又∵在每个象限内y随x的增大而减小,x1>x2,x1x2>0,
故y1<y2,
∴y1﹣y2的值为负数.
故选:B.
【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征,理解反比例函数图象上点的特点是解答此题的关键.
9.【分析】由旋转的性质可得AC=A'C,∠ACA'=40°,∠BAC=∠B'A'C=90°,由等腰三角形的性质可得∠AA'C=70°=∠A'AC,即可求解.
【解答】解:∵将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△A′B′C,
∴△ABC≌△A'B'C
∴AC=A'C,∠ACA'=40°,∠BAC=∠B'A'C=90°
∴∠AA'C=70°=∠A'AC
∴∠B'A'A=∠B'A'C﹣∠AA'C=20°
故选:C.
【点评】本题考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,熟练运用旋转的性质是本题的关键.
10.【分析】根据题意得到图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE,代入数据即可得到结论.
【解答】解:如图,∵“六芒星”图标是由圆的六等分点连接而成,
∴△ABC与△ADE是等边三角形,
∵圆的半径为2,
∴AH=3,BC=AB=2,
∴AE=,AF=1,
∴图中阴影部分的面积=S△ABC+3S△ADE=×2×3+××1×3=4,
故选:D.
【点评】
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本题考查了正多边形与圆,等边三角形的性质,熟记正多边形与圆的性质是解题的关键.
11.【分析】连接CC′,根据△ABC、△A′BC′均为正三角形即可得出四边形A′BCC′为菱形,进而得出点C关于BC'对称的点是A',以此确定当点D与点B重合时,AD+CD的值最小,代入数据即可得出结论.
【解答】解:连接CC′,如图所示.
∵△ABC、△A′BC′均为正三角形,
∴∠ABC=∠A′=60°,A′B=BC=A′C′,
∴A′C′∥BC,
∴四边形A′BCC′为菱形,
∴点C关于BC'对称的点是A',
∴当点D与点B重合时,AD+CD取最小值,
此时AD+CD=2+2=4.
故选:A.
【点评】本题考查了轴对称中的最短线路问题以及等边三角形的性质,找出点C关于BC'对称的点是A'是解题的关键.
12.【分析】由抛物线与x轴的交于点A(﹣1,0)且对称轴为x=1,知函数图象与x轴的另一个交点为(3,0),结合图象可判断①;由对称轴为x=﹣=1得b=﹣2a,将其代入n=a+b+c可判断②;由开口方向知a<0,将b=﹣2a代入3a+b即可判断③;由图象过(﹣1,0)知a﹣b+c=0,将b=﹣2a代入可得c=﹣3a,结合抛物线与y轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点)得2<c<3,即2<﹣3a<3,从而判断④.
【解答】解:∵函数图象与x轴交于点A(﹣1,0),且对称轴为x=1,
则函数图象与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x>3时,y<0,故①正确;
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∵抛物线的对称轴为x=﹣=1,
∴b=﹣2a,
∵顶点坐标为(1,n),
∴n=a+b+c=a﹣2a+c,即n=c﹣a,故②正确;
∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∵b=﹣2a,
∴3a+b=3a﹣2a=a<0,故③错误;
∵函数图象过点(﹣1,0),即x=﹣1时,y=0,
∴a﹣b+c=0,
∵b=﹣2a,
∴a+2a+c=0,即c=﹣3a,
∵抛物线与y轴的交点在(0,2)和(0,3)之间(不包括端点),
∴2<c<3,即2<﹣3a<3,
解得:﹣1,故④正确;
综上,①②④正确,
故选:C.
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系,掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.③常数项c决定抛物线与y轴交点.④抛物线与x轴交点个数取决于b2﹣4ac的值是解题的关键
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.【分析】直接利用积的乘方运算法则计算,再利用单项式乘以单项式计算得出答案.
【解答】解:(﹣3a)2a3=9a2•a3
=9a5.
故答案为:9a5.
【点评】此题主要考查了积的乘方运算和单项式乘以单项式,正确掌握运算法则是解题关键.
14.【分析】
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分式的加减运算中,如果是同分母分式,那么分母不变,把分子直接相加减即可,如果是异分母分式,则必须先通分,把异分母分式化为同分母分式,然后再相加减.
【解答】解:原式=
=×
=.
【点评】此题的关键是明白除法运算可以转化成乘法运算来计算.
15.【分析】根据一次函数y=kx+b的系数与图象的关系解答.
【解答】解:∵直线y=kx+1经过第一、二、四象限,
∴k<0.
∴该直线解析式可以是y=﹣x+1.
故答案是:y=﹣x+1(答案不唯一)
【点评】考查了一次函数的性质.k>0,该函数图象经过第一、三象限;k<0,该函数图象经过第二、四象限.
16.【分析】先利用圆周角定理证四边形ABCD是矩形,据此可得阴影部分面积=S扇形AOD+S扇形BOC,设⊙O半径为r,则射击到靶中阴影部分的概率是,从而得出答案.
【解答】解:∵AC是直径,
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,
∴四边形ABCD是矩形,
则S△COD=S△AOD,S△AOB=S△BOC,
∴阴影部分面积=S扇形AOD+S扇形BOC,
∵∠BAC=30°,
∴∠BOC=∠AOD=60°,
设⊙O半径为r,
则射击到靶中阴影部分的概率是=,
故答案为:.
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【点评】本题考查了几何概率;本题将概率的求解设置于黑白两色的正三角形和弓形中,考查学生对简单几何概型的掌握情况,既避免了单纯依靠公式机械计算的做法,又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用,体现了数学学科的基础性.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
17.【分析】根据正方形的四条边都相等可得AB=AD,每一个角都是直角可得∠BAE=∠D=90°,然后利用“边角边”证明△ABE≌△DAF得∠ABE=∠DAF,进一步得∠AGE=∠BGF=90°,从而知GH=BF,利用勾股定理求出BF的长即可得出答案.
【解答】解:∵四边形ABCD为正方形,
∴∠BAE=∠D=90°,AB=AD,
在△ABE和△DAF中,
∵,
∴△ABE≌△DAF(SAS),
∴∠ABE=∠DAF,
∵∠ABE+∠BEA=90°,
∴∠DAF+∠BEA=90°,
∴∠AGE=∠BGF=90°,
∵点H为BF的中点,
∴GH=BF,
∵BC=5、CF=CD﹣DF=5﹣2=3,
∴BF==,
∴GH=BF=,
故答案为:.
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,直角三角形两锐角互余等知识,掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键.
18.【分析】(Ⅰ)由勾股定理求解可得.
(Ⅱ)1、以O为圆心、OA为半径作⊙O;
2、借助网格作AE⊥OA;
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3、过点O作RT∥AE,交⊙O于点R、T;
4、延长AB交⊙O于点S,顺次连接A、R、S、T,
则矩形ARST即为所求.
【解答】解:(Ⅰ)CD==2.
故答案为:2;
(Ⅱ)如图,
1、以O为圆心、OA为半径作⊙O;
2、借助网格作AE⊥OA;
3、过点O作RT∥AE,交⊙O于点R、T;
4、延长AB交⊙O于点S,顺次连接A、R、S、T,
则矩形ARST即为所求.
答案为:1、以O为圆心、OA为半径作⊙O;
2、借助网格作AE⊥OA;
3、过点O作RT∥AE,交⊙O于点R、T;
4、延长AB交⊙O于点S,顺次连接A、R、S、T,
则矩形ARST即为所求.
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图,解题的关键是掌握勾股定理、圆周角定理、矩形的判定与性质等知识点.
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
19.【分析】(I)根据不等式的性质求出不等式的解集即可;
(II)根据不等式的性质求出不等式的解集即可;
(III)在数轴上表示出来即可;
(IV)根据数轴得出即可.
【解答】解:(I)解不等式①得:x<3,
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故答案为:x<3;
(II)解不等式②得:x≥1,
故答案为:x≥1;
(III)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为:
;
(IV)原不等式组的解集为1≤x<3,
故答案为:1≤x<3.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用,能根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集是解此题的关键.
20.【分析】(Ⅰ)根据一班的成绩,利用条形统计图的信息解决问题即可.
(Ⅱ)根据百分比之和为100%,计算即可.
(Ⅲ)根据平均数的定义计算即可.
(Ⅳ)根据众数,中位数的定义判断即可.
【解答】解:(Ⅰ)每个班参加竞赛的学生人数为5+10+2+3=20(人);
故答案为20人.
(Ⅱ)二班成绩为B等级的学生占比赛人数的m%,则m=100﹣25﹣35﹣30=10;
故答案为10.
(Ⅲ)求一班参加竞赛学生成绩的平均数==88.5.
(Ⅳ)二班参加竞赛学生成绩的众数和中位数分别为100分,80分.
【点评】本题考查众数,加权平均数,众数,中位数等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
21.【分析】(Ⅰ)连接OQ,根据圆周角定理求出∠BQA,根据切线的性质得到∠OQE=90°,结合图形计算,得到答案;
(Ⅱ)连接OQ,根据切线的性质得到∠OQE=90°
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,根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算即可.
【解答】解:(Ⅰ)如图①,连接OQ,
∵OA⊥OB,
∴∠BOA=90°,
由圆周角定理得,∠BQA=∠BOA=45°,
∵QE为⊙O的切线,
∴∠OQE=90°,
∴∠OQB=90°﹣∠BQA﹣∠AQE=17°,
∵OB=OQ,
∴∠OBQ=∠OQB=17°;
(Ⅱ)如图②,连接OQ,
∵QE为⊙O的切线,
∴∠OQE=90°,
∴∠OQA=90°﹣∠AQE=62°,
∵OA=OQ,
∴∠OAQ=∠OQA=62°,
∴∠AOQ=180°﹣62°×2=56°,
∵OA⊥OB,
∴∠BOA=90°,
∴∠BOQ=90°﹣56°=34°,
∴∠OBQ=(180°﹣34°)÷2=73°.
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【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键.
22.【分析】(Ⅰ)过点P作PE⊥AB于点E,在Rt△APE中解出PE即可;
(Ⅱ)分别求出PA、PB的长,根据两船航行速度,计算出两艘船到达P点时各自所需要的时间,即可作出判断.
【解答】解:(Ⅰ)过点P作PE⊥AB于点E,
由题意得,∠BPE=36.8°,∠EPA=45°,
设PE为x海里,则AE=PE=x海里,
∵AB=150海里,
∴BE=(150﹣x)海里,
在Rt△PBE中,,
即:
解得:x≈64,
∴可疑漂浮物P到A、B两船所在直线的距离约为64海里;
(Ⅱ)在Rt△PBE中,PE=64海里,∠EPA=45°,
则AP=PE=64≈110.5海里,
A船需要的时间为:110.5÷40≈2.76小时,
在Rt△BAE中,,
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∴BP=PE÷cos∠BPE=64÷0.8=80海里,
∴B船需要的时间为:80÷30≈2.67小时,
∵2.76>2.67,
∴B船先到达.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是理解方位角的定义,能利用三角函数值计算有关线段,难度一般.
23.【分析】(Ⅰ)根据两种购买方案即可求解;
(Ⅱ)小红在甲、乙两商场的实际花费相同即可列方程求解;
(Ⅲ)利用(1)所得代数式,分两种情况列不等式求解.
【解答】解:(Ⅰ)700×85%=595(元),在甲商场购买x元的金额时,实际花费是0.85x(元);
400+(500﹣400)×75%=475(元),在甲商场购买x元的金额时,实际花费是400+(x﹣400)×75%=0.75x+100.
故答案是:595;0.85x;475;0.75x+100;
(Ⅱ)根据题意,有0.85x=0.75x+100,解得x=1000,
∴当x=1000时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同.
(Ⅲ)由0.85x<0.75x+100,解得x<1000.
由0.85x>0.75x+100,解得x>1000.
∴当小红累计购物的金额超过1000时,在乙商场购物更省钱;
当小红累计购物的金额不超过1000元时,在甲商场购物更省钱.
【点评】本题考查一元一次方程的应用,将现实生活中的事件与数学思想联系起来,读懂题意,列出方程或不等式,进行求解.
24.【分析】(1)由题意点P与点C重合,可得点P坐标为(3,4);
(2)分两种情形①当点P在边AD上时,②当点P在边AB上时,分别列出方程即可解决问题;
(3)分三种情形①如图1中,当点P在线段CD上时.②如图2中,当点P在AB上时.③如图3中,当点P在线段AD上时.分别求解即可;
【解答】解:(1)∵CD=6,
∴点P与点C重合,
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∴点P坐标为(3,4).
(2)①当点P在边AD上时,
∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2,
设P(a,﹣2a﹣2),且﹣3≤a≤1,
若点P关于x轴的对称点Q1(a,2a+2)在直线y=x﹣1上,
∴2a+2=a﹣1,
解得a=﹣3,
此时P(﹣3,4).
若点P关于y轴的对称点Q3(﹣a,﹣2a﹣2)在直线y=x﹣1上时,
∴﹣2a﹣2=﹣a﹣1,解得a=﹣1,此时P(﹣1,0)
②当点P在边AB上时,设P(a,﹣4)且1≤a≤7,
若等P关于x轴的对称点Q2(a,4)在直线y=x﹣1上,
∴4=a﹣1,解得a=5,此时P(5,﹣4),
若点P关于y轴的对称点Q4(﹣a,﹣4)在直线y=x﹣1上,
∴﹣4=﹣a﹣1,
解得a=3,此时P(3,﹣4),
综上所述,点P的坐标为(﹣3,4)或(﹣1,0)或(5,﹣4)或(3,﹣4).
(3)①如图1中,当点P在线段CD上时,设P(m,4).
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在Rt△PNM′中,∵PM=PM′=6,PN=4,
∴NM′==2,
在Rt△OGM′中,∵OG2+OM′2=GM′2,
∴22+(2+m)2=m2,
解得m=﹣,
∴P(﹣,4)
根据对称性可知,P(,4)也满足条件.
②如图2中,当点P在AB上时,易知四边形PMGM′是正方形,边长为2,此时P(2,﹣4).
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③如图3中,当点P在线段AD上时,设AD交x轴于R.易证∠M′RG=∠M′GR,推出M′R=M′G=GM,设M′R=M′G=GM=x.
∵直线AD的解析式为y=﹣2x﹣2,
∴R(﹣1,0),
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在Rt△OGM′中,有x2=22+(x﹣1)2,解得x=,
∴P(﹣,3).
点P坐标为(2,﹣4)或(﹣,3)或(﹣,4)或(,4).
【点评】本题考查一次函数综合题、平行四边形的性质、翻折变换、勾股定理、正方形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会构建方程解决问题,属于中考压轴题.
25.【分析】(I)利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质,可求出b,c的值,进而可得出抛物线对应的函数关系式;
(II)由点A,B的坐标利用勾股定理可求出AB的长,结合菱形的性质可得出点D,C的坐标,再利用二次函数图象上点的坐标特征可得出:点C不在该抛物线上,点D在该抛物线上;
(III)过点B作BB′∥x轴,交抛物线于点B′,连接B′D交抛物线对称轴于点P,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,由点B的坐标结合抛物线的对称性可得出点B′的坐标,由点B′,D的坐标利用待定系数法可求出直线B′D的函数关系式,利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点P的坐标,由MN∥BD可得出ON=t,利用三角形的面积公式结合S△PMN=S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ,可得出S关于t的函数关系式,再利用二次函数的性质即可解决最值问题.
【解答】解:(I)∵抛物线y=+bx+c经过点B(0,4),且顶点在直线x=3上,
∴,解得:,
∴抛物线对应的函数关系式为y=x2﹣3x+4.
(II)点C不在该抛物线上,点D在该抛物线上,理由如下:
∵点A的坐标为(﹣3,0),点B的坐标为(0,4),
∴OA=3,OB=4,
∴AB==5.
∵四边形ABCD是菱形,
∴点D的坐标为(2,0),点C的坐标为(5,4).
当x=2时,y=x2﹣3x+4=0,
∴点D在该抛物线上;
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当x=5时,y=x2﹣3x+4=≠4,
∴点C不在该抛物线上.
(III)过点B作BB′∥x轴,交抛物线于点B′,连接B′D交抛物线对称轴于点P,设抛物线对称轴与x轴交于点Q,如图2所示.
∵点B的坐标为(0,4),抛物线的对称轴为直线x=3,
∴点B′的坐标为(6,4).
设直线B′D的函数关系式为y=kx+a(k≠0),
将B′(6,4),D(2,0)代入y=kx+a,得:
,解得:,
∴直线B′D的函数关系式为y=x﹣2.
当x=3时,y=x﹣2=1,
∴点P的坐标为(3,1).
∵MN∥BD,
∴==,
∴ON=OM=t.
∴S△PMN=S梯形MOQP﹣S△OMN﹣S△PNQ,
=(OM+PQ)•OQ﹣OM•ON﹣PQ•NQ,
=(t+1)×3﹣•t•t﹣×1×(3﹣t),
=﹣t2+t,
∴S=﹣t2+t(0<t<4).
∵S=﹣t2+t=﹣(t﹣)2+,﹣<0,
∴当t=时,S取得最大值,最大值为,此时点M的坐标为(0,).
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【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、勾股定理、菱形的性质、平行线分线段成比例以及三角形的面积,解题的关键是:(I)利用二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质,求出b,c的值;(II)利用菱形的性质,求出点C,D的坐标;(III)利用分割图形求面积法,找出S关于t的函数关系式.
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