北京市2019年中考数学押题卷2（含解析）.doc

‎ 北京市中考数学押题卷 2‎ 学校 姓名 准考证号 ‎ 考生须知 1. 本试卷共 8页，共三道大题，28道小题．满分 100分，考试时间 120分钟．‎ 2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．‎ 3. 试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上， 选择题、作图题用 2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．‎ 4. 考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 评卷人 得 分 一、选择题(本题共 16 分，每小题 2 分)‎ 下面各题均有四个选项，其中只有一．个．是符合题意的 1. 如图，一个有盖的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的形状不可能是（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎【解析】根据圆柱体的截面图形可得．‎ ‎【解答】解：将这杯水斜着放可得到 A 选项的形状， 将水杯倒着放可得到 B 选项的形状，‎ 将水杯正着放可得到 D 选项的形状， 不能得到三角形的形状，‎ 故选：C．‎ ‎【说明】本题主要考查认识几何体，解题的关键是掌握圆柱体的截面形状．‎ 2. 实数a、b在数轴上的位置如图，则化简|a|+|b|的结果为（ ）‎ A．a﹣b B．a+b C．﹣a+b D．﹣a﹣b ‎【解析】根据数轴判断出 a、b 的正负情况，然后去掉绝对值号即可．‎ ‎【解答】解：由图可知，a＜0，b＞0， 所以，|a|+|b|＝﹣a+b．‎ 故选：C．‎ ‎【说明】本题考查了实数与数轴，准确识图判断出 a、b 的正负情况是解题的关键．‎ 1. 若x，y满足方程组，则x+y 的值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【解析】直接把两式相加即可得出结论．‎ ‎【解答】解： ，‎ ‎①+②得，6x+6y＝18，解得 x+y＝3． 故选：A．‎ ‎【说明】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键．‎ 2. 十九大报告指出，我国目前经济保持了中高速增长，在世界主要国家中名列前茅，国内生产总值从 54万亿元增长 80万亿元，稳居世界第二，其中 80万亿用科学记数法表示为 ‎（ ）‎ A．8×1012 B．8×1013 C．8×1014 D．0.8×1013‎ ‎【解析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．‎ ‎【解答】解：80 万亿用科学记数法表示为 8×1013．‎ 故选：B．‎ ‎【说明】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．‎ 3. 一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【解析】设多边形的边数为 n，根据多边形的内角和公式列方程求出 n，再根据从一点引对角线的条数公式（n﹣3）解答．‎ ‎【解答】解：设多边形的边数为 n， 由题意得，（n﹣2）•180°＝900°，解得 n＝7，‎ 所以，从一点引对角线的条数＝7﹣3＝4． 故选：B．‎ ‎【说明】本题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记公式是解题的关键．‎ 1. 如果a﹣b＝5，那么代数式（﹣2）•的值是（ ）‎ A．﹣B．C．﹣5 D．5‎ ‎【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果， 把已知等式代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵a﹣b＝5，‎ ‎∴原式＝•＝•＝a﹣b＝5， 故选：D．‎ ‎【说明】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 2. 某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门的地面宽度为8m，两侧距离地面 ‎4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为 6m，则校门的高（精确到 ‎0.1m，水泥建筑物的厚度不计）为（ ）‎ A．8.1m B．9.1m C．10.1m D．12.1m ‎【解析】假设抛物线方程为：y＝ax2+bx+c，根据图形，我们建立坐标轴，那么抛物线过：‎ ‎（﹣40）、（40）、（﹣34）、（34）这四个坐标，则利用这四个点坐标直接代到抛物线方程可以求 c，而这个 c 刚好就是我们要求的那个高了．‎ ‎【解答】解：已知如图所示建立平面直角坐标系：‎ 设抛物线的方程为y＝ax2+bx+c，又已知抛物线经过（﹣4，0），（4，0），（﹣3，4），（3，‎ ‎4），‎ 可得 ，‎ 求出a＝﹣，b＝0，c＝， 故y＝﹣x2+，‎ 当 x＝0 时，y≈9.1 米． 故选：B．‎ ‎【说明】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．‎ 1. 如图，已知校门的坐标为（1，1），那么下列对于实验楼位置的叙述正确的有 ‎①实验楼的坐标是3；②实验楼的坐标是（3，3）；③实验楼的坐标为（4，4）；④实验楼在校门的东北方向上．（ ）‎ A．1 个 B．2个 C．3个 D．4 个 ‎【解析】根据图形明确所建的平面直角坐标系，然后判断各点的位置．‎ ‎【解答】解：由校门的坐标为（1，1）可建立如图所示坐标系：‎ 由坐标系知实验楼的坐标是（3，3）、实验楼在校门的东北方向上，所以正确的是②、④，‎ 故选：B．‎ ‎【说明】本题考查类比点的坐标及学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．‎ 二、填空题(本题共 16 分，每小题 2 分)‎ 1. 已知45°＜α＜90°，则sinα cosα．（填不等号）‎ ‎【解析】根据锐角的正弦函数随着角度的增大而增大，余弦函数随着角度的增大而减小分别写出取值范围，然后判断出大小即可．‎ ‎【解答】解：∵45°＜α＜90°，‎ ‎∴＜sinα＜1，‎ ‎0＜cosα＜，‎ ‎∴sinα＞cosα． 故答案为：＞．‎ ‎【说明】本题考查了锐角三角函数的增减性，要求掌握锐角三角函数值的变化规律．‎ 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．‎ ‎【解析】直接利用二次根式的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，‎ ‎∴x﹣2019≥0， 解得：x≥2019．‎ 故答案为：x≥2019．‎ ‎【说明】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．‎ 1. 已知命题“对于非零实数a，关于x的一元二次方程ax2+4x﹣1＝0必有实数根”，能说明这个命题是假命题的一个反例是 ．‎ ‎【解析】把 a＝﹣5 代入方程，根据一元二次方程根的判别式计算，判断即可．‎ ‎【解答】解：当 a＝﹣5 时，方程为﹣5x2+4x﹣1＝0，‎ ‎△＝42﹣4×（﹣5）×（﹣1）＝16﹣20＝﹣4＜0， 则一元二次方程 ax2+4x﹣1＝0无实数根，‎ 故答案为：a＝﹣5．‎ ‎【说明】本题考查的是命题和定理，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题， 只需举出一个反例即可．‎ 2. 如图，A，B，C，D 是⊙O上的四个点， ＝，若∠AOB＝56°，则∠BDC＝ 度．‎ ‎【解析】如图，连接 OC．根据圆周角定理即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，连接 OC．‎ ‎∵＝，‎ ‎∴∠AOB＝∠BOC＝56°，‎ ‎∴∠BDC＝∠BOC＝28°， 故答案为 28．‎ ‎【说明】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ 1. 如图，AC，BD是四边形 ABCD的对角线，AD⊥BD，点 E为 AB的中点，连接 DE交 AC于点F，AF＝CF，DF＝DE．若BC＝12，则AB长为 ．‎ ‎【解析】利用三角形中位线定理求出EF，再根据DF＝DE，求出DF，利用直角三角形斜边中线定理求出 AB即可；‎ ‎【解答】解：∵AD⊥BD，‎ ‎∴∠ADB＝90°，‎ ‎∵AE＝EB，‎ ‎∴AB＝2DE，‎ ‎∵AF＝FC，AE＝EB，‎ ‎∴EF＝BC＝6，‎ ‎∵DF＝DE，‎ ‎∴DF＝EF＝3，‎ ‎∴DE＝9，‎ ‎∴AB＝2DE＝18， 故答案为 18．‎ ‎【说明】本题考查直角三角形斜边中线定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ 2. 如图，从 A地到 C地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中．从 A地到 B地有 ‎2条水路、2条陆路，从B地到C地有3条陆路可供选择，则从A地到C地可供选择的方案有 种．‎ ‎【解析】从 A 间接到 C 的走法：从 A 到 B 有 4 种走法，从 B 到 C 有 3 种走法，那么共有 4×3 种走法，那么加上直接到达的那一条路线即可．‎ ‎【解答】解：从 A 直接到 C 有 1 中，从 A 到 B 再到 C，有 4×3＝12 种，故从 A 地到 C 地可供选择的方案有 12+1＝13 种． 故答案为：13．‎ ‎【说明】本题考事件的可能情况，关键是列齐所有的可能情况．‎ 1. 在如图所示的运算程序中，若输出的数y＝7，则输入的数x＝ ．‎ ‎【解析】分 x 为偶数与奇数两种情况，利用计算程序即可得出 x 的值．‎ ‎【解答】解：若 x 为偶数，根据题意得：x÷2＝7，即 x＝14； 若x为奇数，根据题意得：（x﹣1）÷2＝7，即x＝15，‎ 则 x＝14 或 15． 故答案为：14 或 15‎ ‎【说明】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 2. 在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）‎ 称为点P的“倒影点”．若点A在x轴的下方，且点A的“倒影点”A′与点A是同一个点，则点A的坐标为 ．‎ ‎【解析】根据不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′（，）称为点P的 ‎“倒影点”，可得答案．‎ ‎【解答】解：若点 A 在 x 轴的下方，且点 A 的“倒影点”A′与点 A 是同一个点， 则点A的坐标为（1，﹣1），（﹣1，﹣1），‎ 故答案为：（1，﹣1），（﹣1，﹣1）．‎ ‎【说明】本题考查了点的坐标，利用不在坐标轴上的任意一点P（x，y），我们把点P′‎ ‎（ ， ）称为点 P 的“倒影点”是解题关键．‎ 三、解答题(本题共 68 分，第 17-22 题，每小题 5 分，第 23-26 题，每小题 6 分，第 27、28‎ 题，每小题 7 分)解答应写出文字说明、验算步骤或证明过程。‎ 1. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程． 已知：如图 1，直线 l和直线 l外一点 P．‎ 求作：直线 l 的平行直线，使它经过点 P． 作法：如图 2．‎ （1） 过点 P作直线 m与直线 l交于点 O；‎ （2） 在直线m上取一点A（OA＜OP），以点O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点 B；‎ （3） 以点 P为圆心，OA长为半径画弧，交直线 m于点 C，以点 C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点 D；‎ （4） 作直线 PD．‎ 所以直线 PD 就是所求作的平行线．‎ 请回答：该作图的依据是 ．‎ ‎【解析】利用作法得 OA＝OB＝PD＝PC，CD＝AB，原式可判断△OAB≌△PCD，则∠ AOB＝∠CPD，然后根据平行线的判定方法可判断 PD∥l．‎ ‎【解答】解：如图 2，由作法得 OA＝OB＝PD＝PC，CD＝AB，则△OAB≌△PCD， 所以∠AOB＝∠CPD，‎ 所以 PD∥l．‎ 故答案为三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；同位角相等，两直线平行．‎ ‎【说明】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．‎ ‎18．计算：（﹣1）2018+|﹣|﹣（﹣π）0﹣2sin60°．‎ ‎【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×‎ ‎＝1+﹣1﹣‎ ‎＝0．‎ ‎【说明】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ 19. 解不等式组：‎ ‎【解析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解： ，‎ ‎∵解不等式①得：x≤﹣1， 解不等式②得：x＞﹣7，‎ ‎∴原不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1．‎ ‎【说明】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集得出不等式组的解集是解此题的关键．‎ 20. 已知关于 x的一元二次方程 x2﹣（n+3）x+3n＝0．‎ （1） 求证：此方程总有两个实数根；‎ （2） 若此方程有两个不相等的整数根，请选择一个合适的 n值，写出这个方程并求出此 时方程的根．‎ ‎【解析】（1）计算判别式的值得到△＝（n﹣3）2，然后利用非负数的性质得到△≥0， 从而根据判别式的意义可得到结论；‎ ‎（2）n 可取 0，方程化为 x2﹣3x＝0，然后利用因式分解法解方程．‎ ‎【解答】（1）证明：∵△＝（n+3）2﹣12m＝（n﹣3）2，‎ ‎∵（n﹣3）2≥0，‎ ‎∴方程有两个实数根；‎ ‎（2）解：∵方程有两个不相等的实根 ‎∴n 可取 0，则方程化为 x2﹣3x＝0， 因式分解为 x（x﹣3）＝0‎ ‎∴x1＝0，x2＝3．‎ ‎【说明】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0 时，方程无实数根．‎ 19. 如图，四边形 ABCD中，BD垂直平分 AC，垂足为点 F，E为四边形 ABCD外一点， 且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC （1） 求证：四边形 ABDE是平行四边形；‎ （2） 如果 DA 平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求 AC的长．‎ ‎【解析】（1）由平行四边形的判定定理：两组对边分别平行得到结论；‎ ‎（2）由角平分线、等量代换得到角相等，由等角对等边得到 BD＝AB＝5，根据勾股定理列方程求解．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，‎ ‎∴AB∥DE，‎ ‎∵AE⊥AC，BD⊥AC，‎ AE∥BD，‎ ‎∴四边形 ABDE 是平行四边形；‎ ‎（2）解：∵DA 平分∠BDE，‎ ‎∴∠AED＝∠BDA，‎ ‎∴∠BAD＝∠BDA，‎ ‎∴BD＝AB＝5，‎ 设 BF＝x，则 DF＝5﹣x，‎ ‎∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，‎ ‎∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，‎ ‎∴x＝，‎ ‎∴AF＝＝，‎ ‎∴AC＝2AF＝．‎ ‎【说明】本题考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程．‎ 19. 如图，AB是⊙O直径，点 C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与 BC 相交于点 E，与⊙O 相切于点 F，连接 BF．‎ （1） 求证：BD＝BE；‎ （2） 若DE＝2，BD＝2，求AE 的长．‎ ‎【解析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，再根据切线的性质得∠ABD＝90°， 则∠BAD+∠D＝90°，然后利用等量代换证明∠BED＝∠D，从而判断 BD＝BE；‎ ‎（2）利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，则根据等腰三角形的性质DF＝EF＝DE＝1， 再证明△DFB∽△DBA，利用相似比求出 AD 的长，然后计算 AD﹣DE 即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠CAE+∠CEA＝90°‎ 而∠BED＝∠CEA，‎ ‎∴∠CAE+∠BED＝90°，‎ ‎∵BD 是⊙O 的切线，‎ ‎∴BD⊥AB，‎ ‎∴∠ABD＝90°‎ ‎∴∠BAD+∠D＝90°， 又∵AF 平分∠CAB，‎ ‎∴∠CAE＝∠BAD，‎ ‎∴∠BED＝∠D，‎ ‎∴BD＝BE；‎ ‎（2）解：∵AB 为直径，‎ ‎∴∠AFB＝90°，且 BE＝BD，‎ ‎∴DF＝EF＝DE＝1，‎ ‎∵∠FDB＝∠BDA，‎ ‎∴△DFB∽△DBA，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴DA＝2×2＝20，‎ ‎∴AE＝AD﹣DE＝20﹣2＝18．‎ ‎【说明】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．‎ 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（m≠0） 的图象交于点A（3，1），且过点B（0，﹣2）．‎ （1） 求反比例函数和一次函数的表达式；‎ （2） 如果点 P是 x轴上的一点，且△ABP的面积是 3，求点 P的坐标；‎ （3） 若 P是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，直接写出点 P的坐标．‎ ‎【解析】（1）将点A（3，1）代入y＝，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再将点 A（3，1）和 B（0，﹣2）代入 y＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；‎ （2） 首先求得 AB与 x轴的交点 C的坐标，然后根据 S△ABP＝S△ACP+S△BCP 即可列方程求得 P 的横坐标；‎ （3） 分两种情况进行讨论：①点 P在 x轴上；②点 P在 y轴上．根据 PA＝OA，利用等腰三角形的对称性求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（m≠0）的图象过点A（3，1），‎ ‎∴3＝，解得m＝3．‎ ‎∴反比例函数的表达式为y＝．‎ ‎∴‎ ‎，‎ 解得：‎ ‎，‎ ‎∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（3，1）和B（0，﹣2），‎ ‎∴一次函数的表达式为 y＝x﹣2；‎ （2） 如图，设一次函数 y＝x﹣2的图象与 x轴的交点为 C． 令 y＝0，则 x﹣2＝0，x＝2，‎ ‎∴点C的坐标为（2，0）．‎ ‎∵S△ABP＝S△ACP+S△BCP＝3，‎ ‎∴PC×1+PC×2＝3，‎ ‎∴PC＝2，‎ ‎∴点P的坐标为（0，0）、（4，0）；‎ （2） 若 P是坐标轴上一点，且满足 PA＝OA，则 P点的位置可分两种情况：‎ ‎①如果点 P 在 x 轴上，那么 O与 P关于直线 x＝3 对称， 所以点P的坐标为（6，0）；‎ ‎②如果点 P 在 y 轴上，那么 O与 P关于直线 y＝1 对称， 所以点P的坐标为（0，2）．‎ 综上可知，点P的坐标为（6，0）或（0，2）．‎ ‎【说明】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式， 三角形面积的计算以及等腰三角形的性质，正确求出函数的解析式是关键．‎ 19. 如图 1，正方形 ABCD中，AB＝4cm，点 G在边 CD上，点 E、F同时从点 G出发，点E沿 GA以 1cm/s的速度运动，点 F沿 G→C→B的路线以 2cm/s的速度运动，当点 F运动到点 B时，点 E、F同时停止运动．设运动时间为 xs，E、F两点运动路线与线段 EF 所围成图形的面积为S（cm2），图2是S关于x的函数图象（其中0≤x≤，≤x≤m时，函数的解析式不同）．‎ （1） 请直接写出CG＝ cm；‎ （1） 求 S关于 x 的函数关系式，并写出 x的取值范围．‎ ‎【解析】（1）利用图象信息，寻找特殊点解决问题即可；‎ ‎（2）分两种情形分别求解即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）由图象可知，x＝时，图象变化趋势改变，则此时，点F到达C点 ‎∴GC＝1‎ 故答案为：1‎ ‎（2）①当0＜x≤时，如图1 中，作EH⊥CD于H．‎ 在Rt△ADG中，AG＝＝5，‎ ‎∵GF＝2x，EG＝x，‎ ‎∵EH∥AD，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴EH＝x，HG＝x，‎ ‎∴S＝•GF•EH＝x2．‎ ‎②如图 2 中，当 ＜x≤2.5 时，‎ S＝S△GCE+S△CFE＝×1×x+（•2x﹣1）•（1+x）＝x2+x﹣．‎ ‎【说明】本题考查动点问题函数图象，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ 19. 某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有 300名，为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下：‎ ‎①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取 10名学生，进行英语单词测试， 测试成绩（百分制）如下：‎ 南校 92 100 86 89 73 98 54 95 98 85‎ 北校 100 100 94 83 74 86 75 100 73 75‎ ‎②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据：‎ 成绩 x 人数部门 ‎50≤x≤59‎ ‎60≤x≤69‎ ‎70≤x≤79‎ ‎80≤x≤89‎ ‎90≤x≤100‎ 南校 ‎1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ 北校 ‎0‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎（说明：成绩 90 分及以上为优秀，80～89 分分为良好，60～79 分为合格，60 分以下为不合格）‎ 校区 平均数 中位数 众数 方差 南校 ‎87‎ ‎90.5‎ ‎ 98 ‎ ‎179.4‎ ‎③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：‎ 北校 ‎86‎ ‎ 84.5 ‎ ‎ 100 ‎ ‎121.6‎ ‎④得出结论．‎ 结合上述统计全过程，回答下列问题：‎ （1） 补全③中的表格．‎ （2） 请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数．‎ （3） 你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）‎ ‎【解析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依据已知条件即可补全③中的表格；‎ （2） 依据×300，即可得到北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数；‎ （3） 依据每个校区的英语测试的成绩的平均数以及中位线的高低，即可得到哪个校区 的九年级学生英语单词掌握得比较好．‎ ‎【解答】解：（1）由题可得，南校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩的众数为98，北校区的九年级随机抽取的 10 名学生的成绩为：73、74、75、75、83、86、94、100、100、100，‎ ‎∴北校区的九年级随机抽取的 10 名学生的成绩的中位数为：84.5；而众数为 100； 故答案为：98，84.5，100；‎ （2） 北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为：×300＝120（人）．‎ （3） 我认为南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好，理由如下：‎ ‎①南校区的九年级学生在英语单词测试中，平均数较高，表示南校区的九年级学生的英语单词掌握情况较好；‎ ‎②南校区的九年级学生在英语单词测试中，中位数较高，表示南校区英语单词掌握优秀的学生较多．（答案不唯一）‎ ‎【说明】本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键．‎ 19. 如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝x+4与 x轴、y轴分别交于点 A，B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过 A、B两点，D（m，m+4）为直线 AB上一动点，过点 D作 x轴的垂线，垂足为点 C，CD的延长线交抛物线于点 E，连接 BE．‎ （1） 点A的坐标为（ ， ），点B的坐标为（ ， ）．抛物线的解析式为y ‎＝ ；‎ （2） 若点 D 只在线段 AB上运动，且△DBE与△DAC 相似，求 m的值；‎ （3） 若以点 E、D、O、B 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出 D点的坐标．‎ ‎【解析】（1）首先求出点 A、B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；‎ （2） 由于△ACD为等腰直角三角形，而△DBE和△DAC相似，则△DBE必为等腰直角三角形．分两种情况讨论，要点是求出点 E的坐标，由于点 E在抛物线上，则可以由此列出方程求出未知数；‎ （3） 设点C坐标为（m，0）（m＜0），根据已知条件求出点E坐标为（m，8+m）；由于点 E在抛物线上，则可以列出方程求出 m 的值，进而得出点 D 的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）在直线解析式y＝x+4中，令x＝0，得y＝4；令y＝0，得x＝﹣4，‎ ‎∴A（﹣4，0），B（0，4）．‎ ‎∵点A（﹣4，0），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，‎ ‎∴，‎ 解得：b＝﹣3，c＝4，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣3x+4， 故答案为：﹣4；0；0；4；﹣x2﹣3x+4；‎ ‎（2）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，CD＝AC＝4+m，BD＝OC＝﹣m，则D（m，4+m），‎ ‎∵△ACD 为等腰直角三角形，△DBE 和△DAC 相似，‎ ‎∴△DBE 必为等腰直角三角形，‎ （i） 若∠BED＝90°，则 BE＝DE，‎ ‎∵BE＝OC＝﹣m，‎ ‎∴DE＝BE＝﹣m，‎ ‎∴CE＝4+m﹣m＝4，‎ ‎∴E（m，4），‎ ‎∵点 E 在抛物线 y＝﹣x2﹣3x+4 上，‎ ‎∴4＝﹣m2﹣3m+4，解得 m＝0（不合题意，舍去）或 m＝﹣3，‎ （ii） 若∠EBD＝90°，则BE＝BD＝﹣m， 在等腰直角三角形EBD中，DE＝BD＝﹣2m，‎ ‎∴CE＝4+m﹣2m＝4﹣m，‎ ‎∴E（m，4﹣m）．‎ ‎∵点 E 在抛物线 y＝﹣x2﹣3x+4 上，‎ ‎∴4﹣m＝﹣m2﹣3m+4，解得 m＝0（不合题意，舍去）或 m＝﹣2，‎ 综上所述，存在点 D，使得△DBE 和△DAC 相似，m 的值为﹣2 或﹣3；‎ ‎（3）设点C坐标为（m，0）（m＜0），则OC＝﹣m，AC＝4+m．‎ ‎∵OA＝OB＝4，∴∠BAC＝45°，‎ ‎∴△ACD 为等腰直角三角形，‎ ‎∴CD＝AC＝4+m，‎ ‎∴CE＝CD+DE＝4+m+4＝8+m，‎ ‎∴点E坐标为（m，8+m），‎ ‎∵点 E 在抛物线 y＝﹣x2﹣3x+4 上，‎ ‎∴8+m＝﹣m2﹣3m+4，解得 m1＝m2＝﹣2．‎ ‎∴D（﹣2，2）．‎ ‎【说明】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、函数图象上点的坐标特征、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形等重要知识点．第（2）问需要分类讨论，这是本题的难点．‎ 19. 如图，在矩形 ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点 E是 AB 边上一动点（不与点 A， B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．‎ （1） 求证：△ADE∽△CDF；‎ （2） 求∠DEF的度数；‎ （3） 设 BE的长为 x，△BEF的面积为 y．‎ ‎①求 y 关于 x 的函数关系式，并求出当 x 为何值时，y 有最大值；‎ ‎②当 y 为最大值时，连接 BG，请判断此时四边形 BGDE 的形状，并说明理由．‎ ‎【解析】（1）根据平行四边形的性质得到∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；‎ （2） 解直角三角形得到CD＝，根据矩形的性质得到AD＝BC＝1．AB＝CD＝，‎ 根据相似三角形的性质得到＝，根据三角函数的定义即可得到结论；‎ （3） ‎①根据相似三角形的性质得到CF＝3﹣x，根据三角形的面积公式得到函数的解 析式，根据二次函数的顶点坐标即可得到结论；②根据当x为时，y有最大值，得到BE＝，CF＝1，BF＝2，根据相似三角形的性质得到CG＝，于是得到BE＝ DG，由于 BE∥DG，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）在矩形ABCD中，‎ ‎∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠DCF＝90°，‎ ‎∵DF⊥DE，‎ ‎∴∠A＝∠EDF＝90°，‎ ‎∴∠ADE＝∠CDF，‎ ‎∴△ADE∽△CDF；‎ ‎（2）∵BC＝1，∠DBC＝60°，‎ ‎∴CD＝，‎ 在矩形 ABCD 中，‎ ‎∵AD＝BC＝1．AB＝CD＝，‎ ‎∵△ADE∽△CDF，‎ ‎∴＝，‎ ‎∵tan∠DEF＝，‎ ‎∴＝ ，‎ ‎∴∠DEF＝60°；‎ ‎（3）①∵BE＝x，‎ ‎∴AE＝﹣x，‎ ‎∵△ADE∽△CDF，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴CF＝3﹣x，‎ ‎∴BF＝BC+CF＝4﹣x，‎ ‎∴y＝BE•BF＝x（4﹣ x）＝﹣x2+2x，‎ ‎∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+，‎ ‎∴当x为时，y有最大值；‎ ‎②y 为最大值时，此时四边形 BGDE 是菱形，‎ ‎∵当x为时，y有最大值，‎ ‎∴BE＝，CF＝1，BF＝2，‎ ‎∵CG∥BE，‎ ‎∴△CFG∽△BFE，‎ ‎∴，‎ ‎∴CG＝，‎ ‎∴DG＝，‎ ‎∴BG＝＝，‎ ‎∴BE＝DG＝BG，∵BE∥DG，‎ ‎∴四边形 BGDE 是菱形．‎ ‎【说明】本题考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，二次函数的最大值， 平行四边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．‎ 19. 在平面直角坐标系 xOy中的图形 M，N，给出如下定义：P为图形 M上任意一点，Q为图形 N上任意一点，如果 P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形 M，N 间的“距离”，记作d（M，N）．特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．‎ （1） 如图 1，⊙O的半径为 2，‎ ‎①点A（0，1），B（4，3），则d（A，⊙O）＝ ，d（B，⊙O）＝ ．‎ ‎②已知直线l：y＝﹣x+b与⊙O的“距离”d（l，⊙O）＝，求b的值．‎ ‎（2）已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．⊙M的圆心为M（m，0），半径为1．若d（⊙M，△ABC）＝1，请直接写出m的取值范围 ．‎ ‎【解析】（1）①根据图形 M，N 间的“距离”的定义即可解决问题；‎ ‎②设直线l交x 轴，y 轴于点P，Q，作OH⊥PQ于H，OH交⊙O于G．根据y＝﹣x+b 与⊙O的“距离”d（l，⊙O）＝，构建方程即可解决问题；‎ （2） 如图 2中，设 AC交 x轴于 E．分四种情形分别求解即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）①如图1中，连接OB交⊙O于点E，设⊙O交y轴于点F．‎ 由题意：d（A，⊙O）＝AF＝2﹣1＝1，d（B，⊙O）＝BE＝OB﹣OE＝5﹣2＝3， 故答案为 1，3．‎ ‎②如图 1 中，设直线 l 交 x 轴，y 轴于点 P，Q，作 OH⊥PQ 于 H，OH 交⊙O 于 G．‎ 由题意：P（b，0），Q（0，b），‎ ‎∴OP＝|b|，OQ＝|b|，PQ＝|b|，‎ ‎∵S△POQ＝•OP•OQ＝•PQ•OH，‎ ‎∴OH＝|b|，‎ ‎∵直线l：y＝﹣x+b与⊙O的“距离”d（l，⊙O）＝，‎ ‎∴|b|﹣2＝，‎ ‎∴b＝±5．‎ ‎（2）如图 2 中，设 AC 交 x 轴于 E．‎ ‎∵d（⊙M，△ABC）＝1，‎ ‎∴当 m＝﹣4 时，⊙M1 满足条件， 当 m＝0 时，⊙M2 满足条件，‎ 假设⊙M3 满足条件，作 M3H⊥AC， 由题意 HM3＝HE＝2，‎ ‎∴EM2＝2，‎ ‎∴M3（4﹣2，0），‎ ‎∴m＝4﹣2．‎ 观察图象可知：当0≤m≤4﹣2时，⊙M满足条件， 假设⊙M4满足条件，作 M4G⊥AC于 G，‎ 由题意；GM4＝GE＝2，‎ ‎∴EM4＝2，‎ ‎∴M4（4+2，0），‎ ‎∴m＝4+2，‎ 综上所述，满足条件的m的值为4或0≤m≤4﹣2或4+2． 故答案为4或0≤m≤4﹣2或4+2．‎ ‎【说明】本题属于一次函数综合题，考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系， 图形 M，N 间的“距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．‎