1
第 3 课时 盈亏与体积问题
知识点 1 盈亏问题
1．几个人打算合买一件物品，每人出 7 元，还少 4 元；每人出 8 元，就多 3 元，则总
人数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
2．某幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人 3 个还差 3 个，如果每人 2 个又多 2 个，
则共有小朋友( )
A．4 人 B．5 人
C．10 人 D．12 人
3．2017 年“地球停电一小时”活动的某地区烛光晚餐中，设座位有 x 排，每排坐 30
人，则有 8 人无座位；每排坐 31 人，则空 26 个座位，则下列方程正确的是( )
A．30x－8＝31x＋26 B．30x＋8＝31x＋26
C．30x－8＝31x－26 D．30x＋8＝31x－26
4．某班同学去划船，若每船坐 7 人，则余下 5 人没有座位；若每船坐 8 人，则又空出 2
个座位．这个班参加划船的同学人数和船数分别是( )
A．47，6 B．46，6 C．54，7 D．61，8
5．2017·南京联合体二模某小组计划做一批中国结，如果每人做 6 个，那么比计划多
做了 9 个；如果每人做 4 个，那么比计划少做了 7 个．设计划做 x 个中国结，可列方程
______________．2
6．小明根据方程 5x＋2＝6x－8 编写了一道应用题，请你把空缺的部分补充完整：某手
工小组计划教师节前做一批手工品送给老师，如果每人做 5 个，那么就比计划少 2 个；
________________________________________________________________________.
手工小组有几人？(设手工小组有 x 人)
7．教材练一练第 3 题变式现有若干辆汽车装运一批货物，每辆装 3.5t，这批货物就有
2 t 不能运走；每辆装 4 t，那么这批货物装完后，还可以装其他货物 1 t．汽车有多少辆？
这批货物有多少吨？
8．把一些图书分给某班学生阅读，若每人分 3 本，则剩余 20 本；若每人分 4 本，则还
缺 25 本．这个班有多少学生？
知识点 2 图形面积(体积)问题
9．2016·苏州期末如图 4－3－2，在周长为 10 m 的长方形窗户上钉一块宽为 1 m 的长
方形遮阳布，使透光部分正好是一正方形，则钉好后透光面积为( )3
图 4－3－2
A．4 m2 B．9 m2
C．16 m2 D．25 m2
10．把一个直径为 12 cm 的圆柱形茶壶中的水倒入一个直径为 6 cm，高为 12 cm 的圆柱
形茶杯，茶杯中水满后，茶壶中水的高度下降了______cm.
11．如图 4－3－3，长方形纸片的长是 15 cm，长、宽上各剪去一个宽为 3 cm 的长条，
剩下的面积是原面积的
3
5.求长方形的原面积．
图 4－3－3
12．如图 4－3－4 所示，将底面半径为 200 mm 的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部
长、宽、高分别为 300 mm、300 mm、80 mm 的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的高(π
取 3.14，精确到 1 mm)．
图 4－3－44
13．有 m 辆客车及 n 个人，若每辆客车乘 40 人，则还有 10 人不能上车；若每辆客车乘 43
人，则还有 1 人不能上车．有下列四个方程：
①40m＋10＝43m－1; ②
m＋10
40 ＝
n＋1
43 ；③
n－10
40 ＝
n－1
43 ； ④40m＋10＝43m＋1.
其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
14．如图 4－3－5①是边长为 30 cm 的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②
所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的 2 倍，则它的体积是________cm3.
图 4－3－5
15．有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天 3 名一级技工粉刷 8 个房间，结果还有 50
平方米没有刷完；同样时间 5 名二级技工粉刷完 10 个房间外，还多刷了另外的 40 平方
米．已知每名一级技工比二级技工一天多刷 10 平方米，求每个房间需要粉刷的墙面面积．5
16．有若干张完全相同的小长方形纸片，已知小长方形纸片的长与宽的和等于 6 cm.茗
茗用 6 张这样的纸片拼出了如图 4－3－6①所示的大长方形；墨墨用 4 张这样的纸片拼出了
如图②所示的大正方形．
求：(1)茗茗所拼大长方形的周长；
(2)墨墨所拼大正方形中间的小正方形的面积．
图 4－3－6
17．学校综合实践活动小组的同学们乘车到天池山农科所进行社会调查，可供租用的车
辆有两种：第一种可乘 8 人，第二种可乘 4 人．若只租用第一种车若干辆，则空 4 个座位；
若只租用第二种车，则比租用第一种车多 3 辆，且刚好坐满．
(1)参加本次社会调查的同学共有多少人？
(2)已知第一种车租金为 300 元/天，第二种车租金为 200 元/天．要使每个同学都有座
位，并且租车费最少，应该怎样租车？67
1．B [解析] 设出总人数，利用买物品的总钱数不变，列出方程进行求解．
2．B [解析] 设有 x 个小朋友．由题意，得 3x－3＝2x＋2，解得 x＝5.故选 B.
3．D [解析] 找到不变的量建立等量关系：因为人数是确定不变的，每排坐 30 人，则
有 8 人无座位，所以人数为 30x＋8；每排坐 31 人，则空 26 个座位，所以人数为 31x－26，
因此 30x＋8＝31x－26.故选 D.
4．C [解析] 设船数为 x 只．
根据题意，得 7x＋5＝8x－2，解得 x＝7，
故 7x＋5＝7×7＋5＝54(人)．
故这个班参加划船的同学人数和船数分别是 54，7.
5.
x＋9
6 ＝
x－7
4
6．如果每人做 6 个，那么就比计划多 8 个
7．[解析] 这个问题中有两个数量关系：如果每辆装 3.5 t，这批货物就有 2 t 不能运
走；每辆装 4 t，还可装其他货物 1 t．设汽车有 x 辆，可以画出如图所示的线形示意图．
由示意图可以看出其相等关系．
解：设汽车有 x 辆，则这批货物有(3.5x＋2)吨或(4x－1)吨．根据题意，得 3.5x＋2＝
4x－1，
解得 x＝6.则 4x－1＝23.
答：汽车有 6 辆，这批货物有 23 吨．
8．解：设这个班有 x 名学生，
根据题意，得 3x＋20＝4x－25，解得 x＝45.
答：这个班有 45 名学生．
9．A [解析] 设正方形的边长为a m，根据题意，得 2a＋2(a＋1)＝10，解得 a＝2，故
正方形的面积为 4 m2，即透光面积为 4 m2.故选 A.8
10．3 [解析] 设茶壶中水的高度下降了 x cm.根据题意，得(
6
2)2π×12＝(
12
2 )2π×x，
解得 x＝3，所以茶壶中水的高度下降了 3 cm.
11．解：设长方形纸片的宽是 x cm，则原面积是 15x cm2.根据题意，得 15x·
3
5＝12·(x
－3)，解得 x＝12.则长方形的原面积是 15×12＝180(cm2)．
12．解：设圆柱形水桶的高为 x mm.
依题意得 π·2002·x＝300×300×80，
解得 x≈57.
答：圆柱形水桶的高约为 57 mm.
13．D [解析] 根据总人数列方程，应是 40m＋10＝43m＋1，①错误，④正确；根据客
车辆数列方程，应该为
n－10
40 ＝
n－1
43 ，②错误，③正确，所以正确的是③④.故选 D.
14．1000 [解析] 设长方体的高为 x cm，则其宽为(30－4x)cm，根据题意，得 30－4x
＝2x，解得 x＝5，故长方体的宽为 10 cm，长为 20 cm，长方体的体积为 5×10×20＝
1000(cm3)．
15． 解：设每一个房间需要粉刷的墙面面积为 x 平方米，则一级技工每天刷
8x－50
3 平
方米，二级技工每天刷
10x＋40
5 平方米．
由题意列方程，得
8x－50
3 －
10x＋40
5 ＝10，解得 x＝52.
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为 52 平方米．
16．解：(1)设小长方形的长为 x cm，则宽为(6－x)cm.
由题意，得 x＝2(6－x)，解得 x＝4，
所以小长方形的宽为 2 cm.
即茗茗所拼大长方形的周长为(4＋4)×2＋(4＋2)×2＝28(cm)．
(2)因为小长方形的长为 4 cm，宽为 2 cm，
所以大正方形的边长为 4＋2＝6(cm)，
大正方形的面积为 6×6＝36(cm2)．9
小正方形的面积为 36－4×(2×4)＝4(cm2)．
即墨墨所拼大正方形中间的小正方形的面积为 4 cm2.
17．解：(1)设参加本次社会调查的同学共有 x 人，则 3＋
x＋4
8 ＝
x
4，
解得 x＝28.
答：参加本次社会调查的同学共有 28 人．
(2)其租车方案有以下五种：
①第一种车 4 辆，第二种车 0 辆，费用为 1200 元；
②第一种车 3 辆，第二种车 1 辆，费用为 1100 元；
③第一种车 2 辆，第二种车 3 辆，费用为 1200 元；
④第一种车 1 辆，第二种车 5 辆，费用为 1300 元；
⑤第一种车 0 辆，第二种车 7 辆，费用为 1400 元．
比较后知：租第一种车 3 辆，第二种车 1 辆时费用最少．
微信/支付宝扫码支付