南宁三中2018～2019学年度上学期高三月考（一）
文科数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知,集合,则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是虚数单位，则复数（ ）
A. B. C. D.
3. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 若双曲线方程为，则其渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 在等差数列中，若，则该数列的前13项之和为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知程序框图如图所示，该程序运行后，为使输出的值为16，则循环体的判断框内①处应填（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 函数的图象大致为（ ）
8. 中国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.已知某“堑堵”的正视图和俯视图如右图所示，则该“堑堵”的左视图的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（ ）
A. 关于点对称 B. 关于直线对称
C. 关于点对称 D. 关于直线对称
11. 已知抛物线的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则（ ）
A. B. C. D.
12. 设直线，分别是函数图象上点，处的切线，与垂直相交于点，且，分别与轴相交于点，则的面积的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 已知满足约束条件，则的最大值是_______.
14. 已知均为单位向量，其夹角为，则_______.
15. 等比数列的各项均为实数，其前项和为，已知，，则______.
16. 已知三棱锥中，. 若平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
在中，内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若，求的值.
18. （12分）
某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质产品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组
[90,94）
[94,98）
[98,102）
[102, 106）
[106,110）
频数
8
20
42
22
8
B配方的频数分布表
指标值分组
[90,94）
[94,98）
[98,102）
[102,106）
[106,110）
频数
4
12
42
32
10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润（单位：元）与其质量指标值的关系式为
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润.
19. （12分）
在如图所示的多面体中，四边形和都为矩形.
（1）若，证明：平面；
（2）设D，E分别是线段BC，的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得直线平面？请证明你的结论.
20.（12分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB的斜率为0时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求的取值范围.
21.（12分）
设
（1）令，求的单调区间；
（2）已知在处取得极大值，求实数的取值范围.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为
（1）把曲线的参数方程化为极坐标方程；
（2）曲线与曲线交于点、，与曲线交于点、，求.
23. [选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
（1）解不等式；
（2）记的最小值是，正实数满足，求的最小值.
高三月考（一）文科数学试题 参考答案
1．C
2．D
3．A【解析】甲不输的概率为.
4. B【解析】由题可得∴渐近线方程为.
5．B【解析】
6．C【解析】由程序框图知的变化情况依次为2，4，16；对应的变化情况依次为2，3，4，当时判断框①不成立，输出，所以①处应填.
7．D【解析】∵函数为奇函数，∴图象关于原点对称，排除B；当时，，当时，，排除A和C.故正确的选项为D.
8．C【解析】直三棱柱底面直角三角形斜边的高为，该“堑堵”的左视图的面积为.
9．B【解析】由题意：，且，，结合函数的单调性有：.
10．A【解析】由知，∴函数.函数的对称轴满足，解得；函数的对称中心的横坐标满足，解得；故选A.
11．D【解析】设与x轴的交点为M，过Q向准线作垂线，垂足为N，∵，∴，又，∴，∵
12．A【解析】设，，（不妨设，），则切线，的斜率分别为.由已知得，∴，.切线的方程为，切线的方程为，即
.分别令，得A(0，，.又与的交点为.∵，∴，∴.
13. 5 【解析】作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，
由，得.作出直线并平移，易知当直线经过点时，的值最大.故.
14. 0【解析】
15. 32 【解析】由题意可得，∴，两式相除得，解得，代入得.
16. 【解析】∵是正三角形.又∵，是直角三角形.取BD的中点M，连接AM，CM，则.又∵平面平面，平面.∴外接球的球心为的中心，∵，∴外接球的半径为，∴外接球的表面积.
17.【解析】（1）在中，由，可得，
又由，得，
∴，得.
（2）由，可得，则
.
18. 【解析】（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为，∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3.
用B配方生产的产品中优质品的频率为，∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42.
（2）由题意知，用B配方生产的一件产品，当其质量指标值时，产品的利润大于0.
由实验结果知，的频率为0.96，∴用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率为0.96.
用B配方生产上述100件产品平均一件的利润为（元）.
19. 【解析】（1）∵四边形和都是矩形，∴
又∵，
∵，
又平面.
（2）取线段AB的中点M，连接
设O为的中点，连接,
则
∴四边形MDEO为平行四边形，
又
20. 【解析】（1）由题意知，，∴
当直线AB的斜率为0时， .
解得得.∴椭圆的方程为.
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知.
②当两弦斜率均存在且不为0时，由（1）知，，
设直线AB的方程为，则直线CD的方程为.
将直线AB的方程代入椭圆方程，整理得，
解得，..
同理,.
.
令，则，.
设
.
综合①与②可知，的取值范围是
21. 【解析】（1）由，
可得，；则；
当时， ，函数在单调递增；
当时，时，，函数单调递增；
时，，函数单调递减.
综上所述，当时， 的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由（1）知，；
①当时，单调递增，∴当时，，单调递减，
当时，，单调递增，∴在处取得极小值，不合题意.
②当即时，在内递增，∴当时，，递减；当时，，单调递增，∴在处取得极小值，不合题意.
③当即时，，在单调递减，不合题意.
④当即时，在内单调递减，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴在处取得极大值，符合题意.
综上可知，实数的取值范围为.
22.【解析】（1）曲线的普通方程为，即.
由，得，∴曲线的极坐标方程为.
（2）设点A的极坐标为，点B的极坐标为，则，，∴.
23.【解析】（1）当时，，由解得，综合得；
当时，，显然不成立；
当时，，由解得，综合得.
∴的解集是.
（2）即的最小值.
∵由可得（当且仅当
时取等号），解得（负值舍去），∴的最小值为.
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