2018-2019 学年下学期高二期末考试模拟卷
理 科 数 学（B）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形
码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．[2019·雅安诊断]当 时，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．[2019·龙泉中学]已知全集 ，集合 ， ，
则集合 ( )
A． B． C． D．
3．[2019·泉州质检]函数 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．[2019·汉中质检]已知向量 、 的夹角为 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．[2019·江淮十校]甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 ，再由乙猜甲刚才所想
的数字，把乙猜的数字记为 ，其中 ，若 ，就称甲乙“心有灵
犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．[2019·福建质检]已知双曲线 C 的中心在坐标原点，一个焦点 到渐近线的距离等于 2，
则 C 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．[2019·汕尾质检]在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ， ，
，则 （ ）
A． B． C． D． 或
8．[2019·汕尾质检]《数书九章》是我国宋代数学家秦九韶的著作，其中给出了求多项式的值的
秦九韶算法，如图所示的程序框图给出了一个利用秦九韶算法求某多项式值的实例，若输入的
，输出的 ，则判断框“ ”中应填入的是（ ）
A． B． C． D．
9．[2019·九江二模]已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面
都相切，则球与圆锥的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．[2019 湛江模拟]把函数 的图像向左平移 个单位长度，再把所得的图像上每个点的横、
纵坐标都变为原来的 2 倍，得到函数 的图像，并且 的图像如图所示，则 的表达式可
1m < ( )2 1 im+ −
U = R
a b 2=a 1=b − =a b
11
25
12
25
13
25
14
25
1
2y x= ± 2
3y x= ± 3
2y x= ± 2y x= ±
ABC△
π
3A =
3π
4
π
6
π
4
π
4
3π
4
2
3
4
9
2 6
9
8
27
( )y f x= 2π
3
( )g x ( )g x ( )f x
此 卷 只 装 订 不 密 封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 以为（ ）
A． B．
C． D．
11．[2019·四川质检]已知椭圆 C 的方程为 ，焦距为 ，直线 与
椭圆 C 相交于 A，B 两点，若 ，则椭圆 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．[2019·郴州质检]已知函数 为 上的奇函数，且图象关于点 对称，且当 时，
，则函数 在区间 上的（ ）
A．最小值为 B．最小值为 C．最大值为 0 D．最大值为
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．[2019·赣州摸底]设曲线 在点 处的切线方程为 ，则 ____．
14．[2019·上饶联考]若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_______．
15．[2019·四川质检]已知 ， _______．
16．[2019·湛江模拟]圆锥 的底面半径为 ，母线长为 ．正四棱柱 的上底面的顶点
均在圆锥 的侧面上，棱柱下底面在圆锥 的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为
_____．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．（12 分）[2019·乌鲁木齐质检]记公差不为零的等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ，
是 与 的等比中项．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 n 项和 ．
18．（12 分）[2019·湛江质检]某小区为了调查居民的生活水平，随机从小区住户中抽取 6 个家庭，
得到数据如下：
家庭编号 1 2 3 4 5 6
月收入 x（千元） 20 30 35 40 48 55
月支出 y（千元） 4 5 6 8 8 11
参考公式：回归直线的方程是： ，其中， ，
．
( ) 2sin π
6f x x = +
( ) sin 4 π
6f x x = +
( ) sin 4 π
6f x x = −
( ) 2sin 4 π
6f x x = −
( )2 2
2 2 1 0x y a b
a b
+ = > > 2: 4l y x=
3
2
3
4
1
2
1
4
R
( ) 1 12
x
f x = −
3
4
− 7
8
− 7
8
x y
2 2 0
1 0
0
x y
x y
y
− − ≤
− + ≥
≤
1
5
yz x
−= +
tan 24
πα + = −
2sin2 cosα α+ =则
1
nS
( )( )
( )
1 1
2 2 2
1 1
ˆ
n n
i i i i
i i
n n
i i
i i
x x y y x y nxy
b
x x x nx
= =
= =
− − −
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑（1）据题中数据，求月支出 （千元）关于月收入 （千元）的线性回归方程（保留一位小数）；
（2）从这 个家庭中随机抽取 个，记月支出超过 千家庭个数为 ，求 的分布列与数学期望．
19．（12 分）[2019·延安模拟]如图，在几何体 中，四边形 是矩形， 平面 ，
， ， ， 分别是线段 ， 的中点．
（1）求证： 平面 ；
（1）求平面 与平面 所成角的余弦值．
20．（12 分）[2019·石景山期末]已知抛物线 经过点 ，其焦点为 F．M 为抛物线上
除了原点外的任一点，过 M 的直线 l 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B．
（1）求抛物线 C 的方程以及焦点坐标；
（2）若△BMF 与△ABF 的面积相等，求证：直线 l 是抛物线 C 的切线．
GF∥
( )1,2P21．（12 分）[2019·郑州一中]设函数 ．
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若当 时， 恒成立，求实数 a 的取值范围．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】
[2019·兰州模拟]在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为
极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程；
（2）已知曲线 的极坐标方程为 ， ， ，点 是曲线 与 的交点，点 是
曲线 与 的交点，且 ， 均异于原点 ，且 ，求实数 的值．
23．（10 分）【选修 4-5：不等式选讲】
[2019·兰州二诊]已知 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若不等式 的解集为实数集 ，求实数 的取值范围．
( ) ( ) 2e 1xf x x ax= − −
1
2a = ( )f x
0x > ( ) 0f x ≥
2cos
2 2sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
ρ ∈R
( ) 22 2 1f x x x a= + − +
R2018-2019 学年下学期高二期末考试模拟卷
理 科 数 学（B）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，
∴复数 在复平面内对应的点 位于第四象限，故选 D．
2．【答案】A
【解析】由 ，可得 或 ，故
，
由 ，解得 ，∴ ，∴ ，故选 A．
3．【答案】C
【解析】当 时， ，故排除选项 B； ，故排除 D；
，令 ，得 或 ，
则当 变化时， 的变化情况如下表：
0 0
单调递减 极小值 单调递增 单调递增
又因为 ，故 在 的切线为 轴，故排除选项 A，所以选 C．
4．【答案】A
【解析】 ，因此本题选 A．
5．【答案】C
【解析】甲乙两人猜数字时互不影响，故各有 5 种可能，故基本事件是 种，“心有灵犀”的
情况包括： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
， ， 共 13 种，
故他们“心有灵犀”概率为 ，故选 ．
6．【答案】D
【解析】设双曲线的方程为 ，其渐近线方程为 ，
依题意可知 ，解得 ，
∴双曲线 C 的渐近线方程为 ，故选 D．
7．【答案】C
【解析】 ， ， ，
由余弦定理可得： ，
由正弦定理可得： ，
为锐角， ．故选 C．
8．【答案】C
【解析】模拟程序的运行过程如下，
输入 ，
，
，
，
此时不满足循环条件，输出 ，
则判断框中应填入的是 ．故选 C．
9．【答案】B
【解析】设圆锥底面圆半径为 R，球的半径为 r，
1m < 1 0m − <
( )2 1 im+ − ( )2, 1m −
( )1 e 1f = >
( ) ( )3 23 exf x x x= +′ 3x = −
( ), 3−∞ − 3− ( )3,0−
( )3f −
( )2 2 22 4 2 cos60 1 3− = − = − ⋅ + = − ⋅ ° + =a b a b a a b b a b
13
25
2 2
2 2 1x y
a b
− = by xa
= ±
2 2
2 2
5
5 2
a b
b
a b
+ =
=
+
3 1c = + 2b = π
3A =
∴
∴
32sin 22sin 26
b AB a
×⋅= = =
π
4B∴ =
1 1 41 1 13 3 3x k y= = = × + =， ，
4 1 132 13 3 9k y= = × + =，
13 1 403 19 3 27k y= = × + =，
40 1 1214 127 3 81k y= = × + =，
121
81y =由题意知，圆锥的轴截面是边长为 2R 的等边三角形，球的大圆是该等边三角形的内切圆，
所以 ， ，
，所以球与圆锥的表面积之比为 ，故选 B．
10．【答案】B
【解析】∵ ，即 ，
∴ 或 , （舍去），则 ，
又 ， ， ，当 ， ，
即 ，
把函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，得到 ，
再把纵坐标缩短到原来的 ，得到 ，
再把所得曲线向右平移 个单位长度得到函数 的图象，
即 ，
故选 B．
11．【答案】A
【解析】设直线与椭圆在第一象限内的交点为 ，则 ，
由 ，可知 ，即 ，解得 ，
所以 ，
把点 代入椭圆方程得到 ，
整理得 ，即 ，
因 ，所以可得 ，故选 A 项．
12．【答案】A
【解析】因为函数 的图象关于点 对称，所以 ．
又函数 为奇函数，所以 ，所以函数 是周期为 6 的周期函数，
又函数 的定义域为 ，且为奇函数，故 ， ，
依次类推， ．作出函数的大致图象，如图所示，
根据周期性可知，函数 在区间 上的图象与在区间 上的图象完全一样，
可知函数 在 上单调递减，且 ，
所以函数 在区间 上的最小值为 ．选 A．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．【答案】
【解析】因为曲线 ，所以 ，
因为曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以 ， ．
14．【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
3
3r R=
2
2 23 4π4π 4π 3 3S r R R
= ⋅ =
=
球的表面积
2 2π 2 π 3πS R R R R= ⋅ + =圆锥表面积
2
2
4π
43
93π
R
R
=
( )0 2sin 1g ϕ= = 1sin 2
ϕ =
5π 2 π6 kϕ = + 2 ππ
6 kϕ = + k ∈Z ( ) 5π2sin 6g x xω = +
7π 5π 2 π12 6 kω + = k ∈Z 5 122 6 7kω ∴ = − × 1k = 2ω =
( ) 5π2sin 2 6g x x = +
( )g x 1
2
5π2sin 4 6y x = +
1
2
5πsin 4 6y x = +
2π
3
( )f x
( ) 2π 5π 8π 5π 11π πsin 4 sin 4 sin 4 sin 43 6 3 6 6 6f x x x x x
= − + = − + = − = +
2
4y x=
2
2 2
4x x c
+ =
2 2
3x c=
2 2 1,3 3A c c
2 2
2 2
2 2 1
3 3 1
c c
a b
+ =
3
2e =
R ( ) ( )3 3 0f f− = =
( )3 0f − =
3
4
−
1−
( ) 1 1
af x x
= − +
′
( )0 1 1 21
af a= − = − =′ 1a = −
4−目标函数其几何意义表示点 与可行域内的点连线的斜率，
据此可知目标函数在点 A 处取得最小值，
联立直线方程 ，可得点的坐标为 ，
据此可知目标函数的最小值为 ，故答案为 ．
15．【答案】
【解析】 ，
所以 ．
16．【答案】
【解析】
设正四棱柱的底面边长为 x，设棱柱的高 h，
根据相似性可得： ，解得 ，（其中 ）．
∴此正四棱柱体积为 ， ，
令 ，解得 ，
易得： 在 上递增，在 上递减，
所以此正四棱柱体积的最大值为 ．
三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 个 大 题 ， 共 70 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步
骤．
17．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）由已知 ，得 ，
又 ，解得 ， ．
（2）由（1）得， ，
，
．
18．【答案】（1） ；（2）见解析．
【解析】（1） ， ，
，
，
所以月支出 关于 月收入的线性回归方程是： ．
（2） 的可能取值为 ，
， ，
， ，
故 的分布列为：
0 1 2 3
P
数学期望 ．
19．【答案】（1）见证明；（2） ．
( )5,1P −
2 2 0
1 0
x y
x y
− − =
− + =
( )4, 3A − −
min
3 1 44 5z
− −= = −− + 4−
7
10
tan tan 2 14 4tan tan 34 4 1 21 tan tan4 4
π π
π π
π π
α
α α
α
+ − − − = + − = = = − + +
2
2
2 2 2 2
2sin cos cos 2tan 1 2 3 1 7sin2 cos = 10sin cos tan 1 3 1
α α α αα α
α α α
+ + × ++ = = =
+ + +
64 3
27
2
2 32
2 2 3
x h−= 4 3 6
2
xh
−= 0 2 2x< <
2 2 4 3 6
2
xV x h x
−= = ⋅
28 3 3 6
2
x xV
−′ =
0V ′ = 4 2
3x =
2 4 3 6
2
xV x
−= ⋅ 4 20, 3
4 2 ,2 23
64 3
27
1n
nT n
= +
( ) ( )1 22 12n
n nS n n n
− ×= + = +
( )
1 1 1 1
1 1nS n n n n
∴ = = −+ +
1 1 1 1 1 11 12 2 3 1 1 1n
nT n n n n
∴ = − + − + + − = − = + + +
0.2 .6ˆ 0y x= −
20 30 35 40 48 55 386x
+ + + + += = 4 5 6 8 8 11 76y
+ + + + += =
( )
2 2 2 2 2 2 2
20 4 30 5 35 6 40 8 48 8 55 11 6 38 7 0.2
20 30 35 40 48 55 6 38
ˆb
× + × + × + × + × + × − × ×= ≈
+ + + + + − ×
0.2 .6ˆ 0y x= −
( ) 3 0
3 3
3
6
C C 10 20C
P ξ ⋅= = = ( ) 2 1
3 3
3
6
C C 91 20C
P ξ ⋅= = =
( ) 1 2
3 3
3
6
C C 92 20C
P ξ ⋅= = = ( ) 0 3
3 3
3
6
C C 13 20P
C
ξ ⋅= = =
1
20
9
20
9
20
1
20
( ) 1 9 9 10 1 2 3 1.520 20 20 20E ξ = × + × + × + × =
2
3【解析】（1）如图，取 的中点 连接 ， ，
又 是 的中点，所以 ，且 ，
又 是 中点，所以 ，
由四边形 是矩形得， ， ，
所以 且 ．
从而四边形 是平行四边形，所以 ，
∵DH⊂平面 ADE，GF⊄平面 ADE，∴GF∥平面 ADE．
（2）如图，在平面 内，过点 作 ，
因为 ，所以 ．
又 平面 ，所以 ， ．
以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 轴， 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，
设 ，则 ， ， ， ．
因为 平面 ，所以 为平面 的法向量，
设 为平面 的法向量．
又 ， ，
，即 ，取 ，
，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 ．
20．【答案】（1）抛物线 C 的方程为 ，焦点 F 点坐标为 ；（2）见解析．
【解析】（1）因为抛物线 经过点 ，
所以 ．
所以抛物线 C 的方程为 ，焦点 F 点坐标为 ．
（2）证明：因为△BMF 与△ABF 的面积相等，
所以 ，所以 B 为 AM 的中点．
设 （ ），则 ．
所以直线 l 的方程为 ，
与抛物线 联立得 ，
，
所以直线 l 是抛物线 C 的切线．
21．【答案】（1） 在 ， 上单调递增，在 上单调递减；（2） ．
【解析】（1） 时， ，
，
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
故 在 ， 上单调递增，在 上单调递减．
（2） ．
HG AB∥ 1
2HG AB=
1
2DF CD=
AB CD∥
GH DF∥
GF DH∥
BQ EC∥
BE BQ BA
( )0,0,4BA =
( ), ,x y z=n
( )4,0, 4AE = − ( )4,4, 2AF = −
0
0
n AE
n AF
⋅ =
⋅ =
4 4 0
4 4 2 0
x z
x y z
− =
+ − =
( )2, 1,2= −n
2 4 2cos 4 3, 3
BABA
BA
〉 ⋅ ×∴ 〈 = = =×
nn
n
2
3
( )1,0
( )1,2P
( )1,0
BM AB=
( )0 0,M x y 0 0 0x y ≠ ( )0 0,A x−
( )0
0
02
yy x xx
= +
2 0
0
0
8 4 0xy y xy
− + =
2 2
0 0
0 02
00
64 6416 16 04
x xΔ x xxy
= − = − =
( )f x ( ), 1−∞ − ( )0,+∞ ( )1,0− ( ],1−∞
1
2a = ( ) ( ) 211 2exf x x x= − −
( ) ( )( )1 1 1ee ex x xf x x x x′ = − + − = − +
( ), 1x∈ −∞ − ( ) 0f x′ >
( )1,0x∈ − ( ) 0f x′ <
( )0,x∈ +∞ ( ) 0f x′ >
( )f x ( ), 1−∞ − ( )0,+∞ ( )1,0−
( ) ( ) ( )2 e1 1ex xf x x ax x ax= − − = − −令 ，则 ，
若 ，则当 时， ， 为增函数，而 ，
从而当 时， ，即 ．
若 ，则当 时， ， 为减函数，而 ，
从而当 时， ，即 ．
综上可得 a 的取值范围是 ．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ；
（2） ．
【解析】（1）由曲线 的参数方程为 （ 为参数），
消去参数得曲线 的普通方程为 ，
因为曲线 的极坐标方程为 ，所以 ，
所以 的直角坐标方程为 ，整理得 ．
（2） ： 化为极坐标方程 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ．
23．【答案】（1） ；（2） ．
【解析】（1）当 时， ，
当 时，由 得 ，得 ，或 ，
所以 ．
当 时，由 ，得 ，
解得 或 ，所以 ；
当 时，由 得 ，
解得 或 ，所以 ，
综上：当 时， 的解集为 ．
（2） 的解集为实数集 ，
当 时， ，
当 时， ，
的最大值为 ．
实数 的取值范围为 ．
( ) e 1xg x ax= − − ( ) exg x a′ = −
( )0,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0 0g =
( ) 0g x ≥ ( ) 0f x ≥
1a > ( )0,lnx a∈ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )0 0g =
( )0,lnx a∈ ( ) 0g x < ( ) 0f x <
( ],1−∞
3π
4
2cos
2 2sin
x
y
ϕ
ϕ
=
= +
ϕ
= 4 sin cos =4 2 si 4 2πn 4A BAB ρ ρ α α α − = − − =
sin 14
πα − = ±
( )π4 2
π π k kα − = + ∈Z ( )3π π4 k kα = + ∈Z
3π
4
α =
1 171 2x x x
− + < − >
或 1 ,2
− +∞
10 2x< ≤
3 17
2x
−< 3 17
2x
+> x∈∅
1
2x >
1 17
2x
− −< 1 17
2x
− +> 1 17
2x
− +>
1 171 2x x x
− + < − >
或
( ) 0f x ≥ 22 2 1R a x x⇔ ≥ − − −
1
2x ≥
2
2 2 1 3 12 2 1 2 2 1 2 2 2 2x x x x x − − − = − − + = − + + ≤ −
1
2x <
2
2 2 1 1 12 2 1 2 2 1 2 2 2 2x x x x x − − − = − + − = − − − < −
22 2 1x x∴− − − 1
2
−
1 ,2
− +∞
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