2018-2019学年广东省珠海市香洲区九年级（上）期中数学模拟试卷
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．一元二次方程3x2﹣4x﹣5=0的一次项系数是（ ）
A．1 B．3 C．﹣4 D．﹣5
2．用配方法解方程x2﹣8x+5=0，则方程可变形为（ ）
A．（x﹣4）2=﹣5 B．（x+4）2=21 C．（x﹣4）2=11 D．（x﹣4）2=8
3．下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．将抛物线y=x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（ ）
A．y=（x﹣8）2+5 B．y=（x﹣4）2+5
C．y=（x﹣8）2+3 D．y=（x﹣4）2+3
5．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1=112°，则∠α的大小是（ ）
A．68° B．20° C．28° D．22°
6．在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=﹣x2+x+1 B．y=﹣x2+x﹣1
C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2﹣x﹣1
7．已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（ ）
A．12 B．14 C．15 D．12或14
8．已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
9．如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为（0，3），∠AOB=90°，∠B=30°．将△AOB绕点O顺时针旋转一定角度后得到△A′OB′，并且点A′恰好好落到线段AB上，则点A′的坐标为 （ ）
A．（﹣，） B．（﹣，） C．（﹣，） D．（﹣，）
10．抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣6
0
4
6
6
…
从上表可知，下列说法正确的有多少个
①抛物线与x轴的一个交点为（﹣2，0）；
②抛物线与y轴的交点为（0，6）；
③抛物线的对称轴是直线；
④抛物线与x轴的另一个交点为（3，0）；
⑤在对称轴左侧，y随x增大而减少．
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
11．在直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．二次函数y=mx2﹣2x+1，当x时，y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围是 ．
13．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
14．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，则二次函数解析式是 ．
15．如图，把△ABC绕C点顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，则∠A= °．
16．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：
①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论是 正确序号）
三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）
17．（6分）解方程：x2﹣5x+3=0．
18．（6分）解方程：x2﹣4x﹣5=0．
19．（6分）淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱心”捐款活动．第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？
四．解答题（共3小题，满分21分，每小题7分）
20．（7分）在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的顶点坐标；
（3）求出△A1B1C1的面积．
21．（7分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
22．（7分）如图，已知抛物线y=ax2+4x+c经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点，其对称轴与x轴交于点C．
（1）求该抛物线和直线BC的解析式；
（2）设抛物线与直线BC相交于点D，求△ABD的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAB的周长最小？若存在，求出Q点的坐标及△QAB最小周长；若不存在，请说明理由．
五．解答题
23．（9分）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点分别按下列要求画图：
（1）在图1中，画出一个平行四边形，使其面积为6；
（2）在图2中，画出一个菱形，使其面积为4；
（3）在图3中，画出一个矩形，使其邻边不等，且都是无理数．
24．如图，正方形ABCD中，E为BC边上的一点，将△ABE旋转后得到△CBF．
（1）指出旋转中心及旋转的角度；
（2）判断AE与CF的位置关系；
（3）如果正方形的面积是18cm2，△BCF的面积是5cm2，问四边形AECD的面积是多少？
25．（9分）如图，抛物线y=x2+bx+
c与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧，直线y=﹣x﹣1与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．
（1）求二次函数的解析式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值．
参考答案
一．选择题
1．C．
2．C．
3．B．
4．D．
5．D．
6．A．
7．A．
8．D．
9．D．
10．C．
二．填空题
11．（﹣1，2）．
12．0＜m≤3．
13．a＜2且a≠1．
14．y=﹣x2﹣2x+3．
15．55°．
16．①③④
三．解答题
17．解：这里a=1，b=﹣5，c=3，
∵△=25﹣12=13，
∴x=，
则x1=，x2=．
18．解：（x+1）（x﹣5）=0，
则x+1=0或x﹣5=0，
∴x=﹣1或x=5．
19．解：（1）捐款增长率为x，根据题意得：
10000（1+x）2=12100，
解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（舍去）．
则x=0.1=10%．
答：捐款的增长率为10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）=13310（元），
答：第四天该校能收到的捐款是13310元．
四．解答题
20．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）点A1（2，﹣1）、B1（4，﹣5）、C1（5，﹣2）；
（3）S△A1B1C1=3×4﹣×1×3﹣×2×4﹣×1×3=5．
21．解：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
故答案为26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得x2﹣30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，
解得：x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
22．解：（1）将A（2，0）、B（0，﹣6）代入抛物线解析式得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣6，
其对称轴为：x=4，
故点C的坐标为（4，0），
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B、点C的坐标代入可得：，
解得：，
故直线BC的解析式为y=x﹣6；
（2）联立直线BC与抛物线的解析式：，
解得：或，
故点D的坐标为（5，），
则S△ABD=S△ACD+S△ABC=AC×D纵+AC×|B纵|=．
（3）存在点Q，使得△QAB的周长最小；
点A关于抛物线对称轴的对称点为A'，连接A'B，则A'B与对称轴的交点即是点Q的位置：
A'坐标为（6，0），B（0，﹣6），
设直线A'B的解析式为：y=mx+n，代入两点坐标可得：，
解得：，
即直线A'B的解析式为y=x﹣6，
故点Q的坐标为（4，﹣2）．
即存在点Q的坐标（4，﹣2）时，使得△QAB的周长最小．
五．解答题
23．解：（1）如图1，
（2）如图2，
（3）如图3，
24．解：（1）旋转中心是B，旋转角是90°；
（2）延长AE交CF于点M．
∵△ABE≌△CBF，
∴AE=CF，∠EAB=∠BCF．
又∵∠AEB=∠CEM，∠ABE=90°，
∴∠ECM+∠CEM=90°，
∴AE⊥CF．
（3）∵△ABE≌△CBF，
∴△ABE的面积是5cm2，
∴四边形AECD的面积是18﹣5=13cm2．
25．解：（1）当y=0时，有﹣x﹣1=0，
解得：x=﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0）；
当x=2时，y=﹣x﹣1=﹣3，
∴点C的坐标为（2，﹣3）．
将A（﹣1，0）、C（2，﹣3）代入y=x2+bx+c，得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）设点P的坐标为（m，﹣m﹣1）（﹣1≤m≤2），则点E的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
∴PE=﹣m﹣1﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+m+2=﹣（m﹣）2+．
∵﹣1＜0，
∴当m=时，PE取最大值，最大值为．
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