2018年4月河南省南阳市卧龙区中考数学模拟试卷（含答案解析）.doc

‎ 2018年河南省南阳市卧龙区中考数学模拟试卷（4月份）　‎ 一．选择题（共10小题，满分30分）‎ ‎1．|﹣3|的值是（　　）‎ A．3 B． C．﹣3 D．﹣ ‎ ‎2．下列运算正确的是（　　）‎ A．3x+2x2=3x3 B．（﹣3x）2•4x2=﹣12x4 ‎ C．﹣3（x﹣4）=﹣3x+12 D．x6÷x2=x3 ‎ ‎3．下列所述图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A．圆 B．菱形 C．平行四边形 D．等腰三角形 ‎4．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示 ‎ 成绩（米）‎ ‎4.50‎ ‎4.60‎ ‎4.65‎ ‎4.70‎ ‎4.75‎ ‎4.80‎ 人数 ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（　　）‎ A．4. 65、4.70 B．4.65、4.75 C．4.70、4.75 D．4.70、4.70 ‎ ‎5．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　）‎ A．α+β+γ=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360° ‎ ‎6．点A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，则k的值是（　　）‎ A．﹣6 B．﹣ C．﹣1 D．6 ‎ ‎7．如图，已知正比例函数y1=ax与一次函数y2=x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0； ②b＜0； ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　）‎ A．①② B．②③ C．①③ D．①④ ‎ ‎8．如图，正方形网格中，5个阴影小正方形是一个正方体表面展开图的一部分．现从其余空白小正方形中任取一个涂上阴影，则图中六个阴影小正方形能构成这个正方体的表面展开图的概率是（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（　　）‎ A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，﹣2） ‎ ‎10．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点F，若BE=6，AB=5，则AF的长为（　　）‎ A．4 B．6 C．8 D．10 ‎ ‎　‎ 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）‎ ‎11．计算：﹣2cos60°=　 　‎ ‎12．方程x2﹣（k+1）x+k+2=0有两个相等的实数根．则k=　 　．‎ ‎13．如图，直线l过正方形ABCD的顶点D，过A、C分别作直线l的垂线，垂足分别为E、F．若AE=4a，CF=a，则正方形ABCD的面积为　 　．‎ ‎14．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，则边AB扫过的面积（图中阴影部分）是　 　．‎ ‎15．在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD是AB边上的中线，∠A=30°，AC=5，则△ADC的周长为　 　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分）‎ ‎16．（8分）先化简（1﹣）÷，然后从不等式2x﹣6＜0的非负整数解中选取一个合适的解代入求值．‎ ‎17．（9分）某校九年级开展征文活动，征文主题只能从“爱国”“敬业”“诚信”“友善”四个主题选择一个，九年级每名学生按要求都上交了一份征文，学校为了解选择各种征文主题的学生人数，随机抽取了部分征文进行了调查，根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ ‎（1）求共抽取了多少名学生的征文；‎ ‎（2）将上面的条形统计图补充完整；‎ ‎（3）在扇形统计图中，选择“爱国”主题所对应的圆心角是多少；‎ ‎（4）如果该校九年级共有1200名学生，请估计选择以“友善”为主题的九年级学生有多少名．‎ ‎18．（9分）如图，平行四边形ABCD中，以A为圆心，AB为半径的圆交AD于F，交BC于G，延长BA交圆于E．‎ ‎（1）若ED与⊙A相切，试判断GD与⊙A的位置关系，并证明你的结论；‎ ‎（2）在（1）的条件不变的情况下，若GC=CD，求∠C．‎ ‎19．（9分）如图1，窗框和窗扇用“滑块铰链”连接，图3是图2中“滑块铰链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，托悬臂DE安装在窗扇上，交点A处装有滑块，滑块可以左右滑动，支点B，C，D始终在一直线上，延长DE交MN于点F．已知AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，BD=40cm．‎ ‎（1）窗扇完全打开，张角∠CAB=85°，求此时窗扇与窗框的夹角∠DFB的度数；‎ ‎（2）窗扇部分打开，张角∠CAB=60°，求此时点A，B之间的距离（精确到0.1cm）．‎ ‎（参考数据：≈1.732，≈2.449）‎ ‎20．（9分）已知如图：点（1，3）在函数y=（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y=（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：‎ ‎（1）求k的值；‎ ‎（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）‎ ‎（3）当∠ABD=45°时，求m的值．‎ ‎21．（10分）某学校为改善办学条件，计划采购A、B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．‎ ‎（1）求A型空调和B型空调每台各需多少元；‎ ‎（2）若学校计划采购A、B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？‎ ‎（3）在（2）的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？‎ ‎22．（10分）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．‎ ‎（1）概念理解：‎ 如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．‎ ‎（2）问题探究：‎ 如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．‎ ‎（3）应用拓展：‎ 如图3，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l1上，点A在直线l2上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l2于点D．求CD的值．‎ ‎23．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ 参考答案与解析 一．选择题 ‎1．‎ ‎【解答】解：|﹣3|=3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．‎ ‎【解答】解：A、3x+2x2，无法计算，故此选项错误；‎ B、（﹣3x）2•4x2=36x4，故此选项错误；‎ C、﹣3（x﹣4）=﹣3x+12，正确；‎ D、x6÷x2=x4，故此选项错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎3．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；‎ B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；‎ D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．‎ ‎【解答】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.75．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．‎ ‎【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠α+∠AFD=180°，‎ ‎∵∠AFD=∠β﹣∠γ，‎ ‎∴∠α+∠β﹣∠γ=180°，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．‎ ‎【解答】解：∵A（﹣3，2）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，‎ ‎∴k=（﹣3）×2=﹣6．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．‎ ‎【解答】解：因为正比例函数y1=ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确；‎ 一次函数y2=x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误；‎ 由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误；‎ 当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确；‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．‎ ‎【解答】解：从阴影左边的四个小正方形中任选一个，就可以构成正方体的表面展开图，能构成这个正方体的表面展开图的概率是．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．‎ ‎【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点N（﹣1，﹣2）绕点O旋转180°，得到的对应点的坐标是（1，2），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．‎ ‎【解答】解：∵AF平分∠BAD，AD∥BC，‎ ‎∴∠BAF=∠DAF=∠AFB，‎ ‎∴AB=BF，‎ ‎∵AE=AB，AH=AH，‎ ‎∴△ABH≌△AEH，‎ ‎∴∠AHB=∠AHE=90°，∠ABH=∠AEH=∠FBH，BH=HE=3，‎ ‎∴Rt△ABH中，AH==4，‎ ‎∴AF=2AH=8，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二．填空题 ‎11．‎ ‎【解答】解：原式=1﹣2×‎ ‎=1﹣1‎ ‎=0．‎ 故答案为：0．‎ ‎　‎ ‎12．‎ ‎【解答】解：∵关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=0即（k+1）2﹣4（k+2）=0，‎ ‎∴k2﹣6k﹣7=0，‎ ‎∴（k﹣7）（k+1）=0，‎ ‎∴k1=7，k2=﹣1．‎ 即k的值为7或﹣1．‎ 故答案是：7或﹣1．‎ ‎　‎ ‎13．‎ ‎【解答】解：设直线l与BC相交于点G 在Rt△CDF中，CF⊥DG ‎∴∠DCF=∠CGF ‎∵AD∥BC ‎∴∠CGF=∠ADE ‎∴∠DCF=∠ADE ‎∵AE⊥DG，∴∠AED=∠DFC=90°‎ ‎∵AD=CD ‎∴△AED≌△DFC ‎∴DE=CF=a 在Rt△AED中，AD2=17a2，即正方形的面积为17a2．‎ 故答案为：17a2．‎ ‎　‎ ‎14．‎ ‎【解答】解：∵∠B=90°，AB=6，BC=8，‎ ‎∴AC=10，‎ ‎∴边AB扫过的面积=﹣=9π，‎ 故答案为：9π．‎ ‎　‎ ‎15．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中，‎ ‎∵∠A=30°，AC=5，‎ ‎∴BC=ACtan∠A=5，‎ ‎∴AB==10，‎ ‎∵CD是AB边上的中线，‎ ‎∴CD=AB=×10=5，‎ ‎∴△ADC的周长=AD+DC+AC=5+5+5=10+5．‎ 故答案为：10+5．‎ ‎　‎ 三．解答题 ‎16．‎ ‎【解答】解：原式=•=•=，‎ 由不等式2x﹣6＜0，得到x＜3，‎ ‎∴不等式2x﹣6＜0的非负整数解为x=0，1，2，‎ 则x=0时，原式=2．‎ ‎　‎ ‎17．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生有3÷6%=50（名）．‎ ‎（2）选择“友善”的人数有50﹣20﹣12﹣3=15（名），‎ 条形统计图如图所示：‎ ‎（3）∵选择“爱国”主题所对应的百分比为20÷50=40%，‎ ‎∴选择“爱国”主题所对应的圆心角是40%×360°=144°；‎ ‎（4）该校九年级共有1200名学生，估计选择以“友善”为主题的九年级学生有1200×30%=360名．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【解答】解：（1）结论：GD与⊙O相切．理由如下：‎ 连接AG．‎ ‎∵点G、E在圆上，‎ ‎∴AG=AE．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC．‎ ‎∴∠B=∠1，∠2=∠3．‎ ‎∵AB=AG，‎ ‎∴∠B=∠3．‎ ‎∴∠1=∠2．‎ 在△AED和△AGD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AED≌△AGD．‎ ‎∴∠AED=∠AGD．‎ ‎∵ED与⊙A相切，‎ ‎∴∠AED=90°．‎ ‎∴∠AGD=90°．‎ ‎∴AG⊥DG．‎ ‎∴GD与⊙A相切．‎ ‎（2）∵GC=CD，四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB=DC，∠4=∠5，AB=AG．（5分）‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠4=∠6．‎ ‎∴∠5=∠6=∠B．‎ ‎∴∠2=2∠6．‎ ‎∴∠6=30°．‎ ‎∴∠C=180°﹣∠B=180°﹣60°=120°．（6分）‎ ‎　‎ ‎19．‎ ‎【解答】解：（1）∵AC=DE=20cm，AE=CD=10cm，‎ ‎∴四边形ACDE是平行四边形，‎ ‎∴AC∥DE，‎ ‎∴∠DFB=∠CAB，‎ ‎∵∠CAB=85°，‎ ‎∴∠DFB=85°；‎ ‎（2）作CG⊥AB于点G，‎ ‎∵AC=20，∠CGA=90°，∠CAB=60°，‎ ‎∴CG=，AG=10，‎ ‎∵BD=40，CD=10，‎ ‎∴CB=30，‎ ‎∴BG==，‎ ‎∴AB=AG+BG=10+10≈10+10×2.449=34.49≈34.5cm，‎ 即A、B之间的距离为34.5cm．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【解答】解：（1）由函数y=图象过点（1，3），‎ 则把点（1，3）坐标代入y=中，‎ 得：k=3，y=；‎ ‎（2）连接AC，则AC过E，过E作EG⊥BC交BC于G点 ‎∵点E的横坐标为m，E在双曲线y=上，‎ ‎∴E的纵坐标是y=，‎ ‎∵E为BD中点，‎ ‎∴由平行四边形性质得出E为AC中点，‎ ‎∴BG=GC=BC，‎ ‎∴AB=2EG=，‎ 即A点的纵坐标是，‎ 代入双曲线y=得：A的横坐标是m，‎ ‎∴A（m，）；‎ ‎（3）当∠ABD=45°时，AB=AD，‎ 则有=m，即m2=6，‎ 解得：m1=，m2=﹣（舍去），‎ ‎∴m=．‎ ‎　‎ ‎21．‎ ‎【解答】解：（1）设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，‎ ‎，解得，，‎ 答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元；‎ ‎（2）设购买A型空调a台，则购买B型空调（30﹣a）台，‎ ‎，‎ 解得，10≤a≤12，‎ ‎∴a=10、11、12，共有三种采购方案，‎ 方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，‎ 方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，‎ 方案三：采购A型空调12台，B型空调18台；‎ ‎（3）设总费用为w元，‎ w=9000a+6000（30﹣a）=3000a+180000，‎ ‎∴当a=10时，w取得最小值，此时w=210000，‎ 即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．‎ ‎　‎ ‎22．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC是“等高底”三角形；‎ 理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，‎ ‎∵∠ACB=30°，AC=6，‎ ‎∴AD=AC=3，‎ ‎∴AD=BC=3，‎ 即△ABC是“等高底”三角形；‎ ‎（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，‎ ‎∴AD=BC，‎ ‎∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是△A'BC，‎ ‎∴∠ADC=90°，‎ ‎∵点B是△AA′C的重心，‎ ‎∴BC=2BD，‎ 设BD=x，则AD=BC=2x，CD=3x，‎ 由勾股定理得AC=x，‎ ‎∴==；‎ ‎（3）①当AB=BC时，‎ Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，‎ ‎∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，AB=BC，‎ ‎∴BC=AE=2，AB=2，‎ ‎∴BE=2，即EC=4，‎ ‎∴AC=2，‎ ‎∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，‎ ‎∴∠DCF=45°，‎ 设DF=CF=x，‎ ‎∵l1∥l2，‎ ‎∴∠ACE=∠DAF，‎ ‎∴==，即AF=2x，‎ ‎∴AC=3x=2，‎ ‎∴x=，CD=x=．‎ Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，‎ ‎∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，‎ ‎∴△ACD是等腰直角三角形，‎ ‎∴CD=AC=2．‎ ‎②当AC=BC时，‎ Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，‎ ‎∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，‎ ‎∴A'C⊥l1，‎ ‎∴CD=AB=BC=2；‎ Ⅱ．如图6，作AE⊥BC于E，则AE=BC，‎ ‎∴AC=BC=AE，‎ ‎∴∠ACE=45°，‎ ‎∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到△A'B'C时，点A'在直线l1上，‎ ‎∴A'C∥l2，即直线A'C与l2无交点，‎ 综上所述，CD的值为，2，2．‎ ‎　‎ ‎23．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），‎ 代入C（0，3）得3=4a，‎ 解得a=，‎ y=（x﹣1）（x﹣4）=x2﹣x+3，‎ 所以，抛物线的解析式为y=x2﹣x+3．‎ ‎（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC，‎ ‎∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，‎ ‎∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC，‎ ‎∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3），‎ ‎∴OA=1，OC=3，BC==5，‎ ‎∴OC+OA+BC=1+3+5=9；‎ ‎∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．‎ ‎（3）∵B（4，0）、C（0，3），‎ ‎∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，‎ ‎①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b），‎ ‎∵∠CMQ＞90°，‎ ‎∴只能CM=MQ=b，‎ ‎∵MQ∥y轴，‎ ‎∴△MQB∽△COB，‎ ‎∴=，即=，解得b=，代入y=﹣x+3得， =﹣a+3，解得a=，‎ ‎∴M（，）；‎ ‎②当∠QMB=90°时，如图3，‎ ‎∵∠CMQ=90°，‎ ‎∴只能CM=MQ，‎ 设CM=MQ=m，‎ ‎∴BM=5﹣m，‎ ‎∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，‎ ‎∴△BMQ∽△BOC，‎ ‎∴=，解得m=，‎ 作MN∥OB，‎ ‎∴==，即==，‎ ‎∴MN=，CN=，‎ ‎∴ON=OC﹣CN=3﹣=，‎ ‎∴M（，），‎ 综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）．‎