数学试题（理科）.pdf

第 1 页 共 4 页 绵阳南山中学 2018 年秋季高 2017 级半期考试 数学参考答案（理科） 一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A B C A C B C B C B 二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．) 13． 21 14． 22 182 yx 15．2 16．1 3 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分．其中 17 题满分 10 分，其余各题满分 均为 12 分．) 17．解：解方程组  3x＋2y＋6＝0， 2x＋5y－7＝0，得交点 P(－4，3)， 由题知，直线斜率存在，且不为 0． 因此可设所求直线方程为 y－3＝k(x＋4)，即 y＝k(x＋4)＋3． 令 x＝0，得 y＝4k＋3，令 y＝0，得 x＝－4k＋3 k ， 于是 4k＋3＝－4k＋3 k ，即 4k2＋7k＋3＝0，解得 k＝－3 4或 k＝－1， 故所求直线方程为 3x＋4y＝0 或 x＋y＋1＝0． 18．(Ⅰ)由 OP // AB ，得 POF AOB，则 2 / ab c b a ，整理得：bc ， 又 2 2 25 10,a c a b c     ，解得： 10, 5ab． 于是，所求椭圆的标准方程为 22 110 5 xy． (Ⅱ)设与直线 2 7 0xy平行的直线为 : 2 0l x y m   ． 当直线 l 与椭圆相切时，由 0 ，解得 5m  ，由图可知，当 5m  时，所求距离最大． 由平行线间距离公式求得 43d  ． 所以，椭圆上的点到直线 的距离 d 的最大值为 43． 第 2 页 共 4 页 19． (Ⅰ)由题意知， 动点M 到定点 (1,0)F 的距离等于它到直线 1x  的距离．由抛物线 定义知，动点 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线． 所以，动点 的轨迹方程是 2 4yx ． (Ⅱ)由题意知， (1, 2), (9,6), (1,0)A B F ，设圆的方程为 22 0x y Dx Ey F     ， 代入 ,,A B F 的坐标解得： 16, 2, 15D E F    ． 所以，所求圆的方程为 2216 2 15 0x y x y     ． (或 22( 8) ( 1) 50xy    ) 20． (Ⅰ)设圆 C 的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ， 则点 ( , )C a b 与点 ( 2, 2) 关于直线 02  yx 对称，解得： 0ab 又因为圆 过点 )1,1(P ，解得： 2 2r  ． 于是，圆 C 的方程为 222xy． (Ⅱ)设 ( , )Q x y ，则 ， ( 1, 1) ( 2, 2) 2PQ MQ x y x y x y          由不等式 2 22() 2 xyxy  知， 22xy    ，当且仅当 1xy   时取得最小值． 于是，所求 PQ MQ 的最小值为 4 ． 21． (Ⅰ)由题意知，直线 AB 斜率存在，设 1 1 2 2: ( 1), ( , ), ( , )AB y k x A x y B x y 由 2 ( 1) 4 y k x yx    ，得 2 2 2 2(2 4) 0k x k x k    ，由韦达定理知， 2 1 2 1 22 24+ = , 1kx x x xk   ， 由抛物线的弦长公式 12| | + 2AB x x，解得 2k  ，经验证，此时 0 ． 所以，直线 的方程为 2 2 0xy   ，或 2 2 0xy   ． (Ⅱ)设 22 12 12( , ), ( , )44 yyA y B y ，则直线 1 4:AO y xy 与准线 1x  的交点为 1 4( 1, )D y ， 由(1)知 22 1 2 1 2 1 216 16, 4y y x x y y    ，从而， 12 2 12 4 16 0( 4)BD yyk yy  ． 所以，直线 BD 的斜率为定值 0． 第 3 页 共 4 页 22．(Ⅰ)由椭圆定义知，点 M 的轨迹是以 ( 1,0), (1,0)EF 为焦点， 22为长轴长的椭圆， 所以，曲线 C 的方程为 2 2 12 x y． (Ⅱ)设 1 1 1 2 2: 1, ( , ), ( , )l x my S x y T x y 由 2 2 12 1 x y x my     ，得 22( 2) 2 1 0m y my    由韦达定理知， 1 2 1 222 21+ = ,22 my y y ymm  由弦长公式知， 2 2 12 2 2 2( 1)| | 1 | | 2 mST m y y m      ， 由中点坐标公式得，线段 ST 的中点 22 2( , )22 mG mm   ， 于是，直线 GQ 的方程为 2 2 2 2 2 (2 5)( ), (2, )2 2 2 m m my m x Qm m m       ， 由两点间距离公式得， 22 2 (2 6) 1|| 2 mmGQ m   ， 于是， 2 2 3= 21 GQ m ST m   ，令 211tm   ，则 2 2 1 2= ( ) 2 22 GQ t tST tt     ， 当且仅当 2t  ，即 1m  时，取得等号， 所以， ST GQ 的最小值为 2． 第 4 页 共 4 页 附： 绵阳南山中学 2018 年秋季高 2017 级半期考试 数学试题之双向细目表 题型 题号 分值 考点 选 择 题 1 5 空间直角坐标系 2 5 直线斜截式方程 3 5 两直线的位置关系 4 5 圆的一般方程 5 5 框图、算法 6 5 双曲线的性质 7 5 两圆的位置关系 8 5 圆的方程，直线与圆的位置关系 9 5 椭圆的中点弦问题 10 5 双曲线与圆的综合应用 11 5 直线与抛物线的综合应用 12 5 直线与椭圆的综合应用 填 空 题 13 5 直线与圆的位置关系 14 5 双曲线的性质 15 5 椭圆与抛物线的综合应用 16 5 椭圆的离心率 解 答 题 17 10 直线的方程 18 12 直线与椭圆 19 12 抛物线与圆 20 12 圆的方程，圆中的最值问题 21 12 直线与抛物线 22 12 直线与椭圆