2018-2019 学年第一学期九年级期中测试
数 学 试 题 卷
一、单选题（共 10 题，共 30 分）
1. 抛物线 y = -( x -1)2 + 2 的顶点坐标是( )
A．(1，2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－1，－2)
2. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于 3 的数的概率是
( )
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A. 2
3
B. 1
6
C. 1
3
D. 1
2
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第 2 题图 第 3 题图
3. 如图，点 A，B，C 在⊙O 上，若∠BOC=72º，则∠BAC 的度数是( ) A．72º B．36º C．18º D．54º
4. 下列函数中，是二次函数的是( )
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A． y =- 1
x2
B． y = 2x2 - x -1
C. y = 1
x
D. y=x+2
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5. 在圆内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D 的度数之比可能是( ) A．1∶2∶3∶4 B．4∶2∶1∶3 C．4∶2∶3∶1 D．1∶3∶2∶4
6. 布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是( )
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A. 1
6
B. 2
9
C. 1
3
D. 2
3
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1. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－3
1
3
1
下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为 x=1；③当 xy2>y3 B．y1>y3>y2 C．y2>y1>y3 D．y3>y1>y2
10. 如图，⊙O 的外切正六边形 ABCDEF 的边长为 2，则图中阴影部分的面积为( )
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A． 3 - p
B． - 3 p C． 2 - p
D． 3 - p
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3
2 2 3 3
二、填空题（共 6 题，共 24 分）
11. 抛物线 y = ( x -1)2 - 2 与 y 轴的交点坐标是 ．
12. 一只不透明的袋子里装有 4 个黑球，2 个白球，每个球除颜色外都相同，则事件“从中任意摸出 3 个球，至少有 1 个球是黑球”属于 事件 ．（填写“必然”，
“不可能”或“随机”）
13. 如图，量角器的 0 度刻度线为 AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A，D，量得 AD=10cm，点 D 在量角器上的读数为 60°，则该直尺的宽度为 cm．
14. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(－5，4)，且对称轴是直线 x=－2，则 a+b+c= ．
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10. 如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为 2 米时，水面宽度为 4 米；那么当水位
下降 1 米后，水面的宽度为 米．
第 15 题图 第 16 题图
11. 如图，△ ABC 内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于 D．若 AC=6，
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2
BD = 5
，则 BC 的长为 ．
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三、解答题（共 8 题，共 66 分）
17．（6 分）已知抛物线 y = ax2 + bx - 3(a ¹ 0) 经过点(－1，0)，(3，0)，求 a，b 的值．
18．（6 分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 2 ．
3
(1) 求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
(2) 随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）
19．（6 分）如图，已知 OA、OB、OC 是⊙O 的三条半径，点 C 是弧 AB 的中点， M 、N 分别是 OA 、OB 的中点． 求证： MC=NC．
20．（8 分）已知抛物线 y=－x2＋2x＋3．
(1) 求该抛物线的对称轴和顶点 P 的坐标．
(2) 在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象．
(3) 将该抛物线向下平移 2 个单位，向左平移 3 个单位得到抛物线 y1，此时点 P 的对应点为 P′，试求直线
PP′与 y 轴的交点坐标．
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21．（8 分）商场销售一批衬衫，每天可售出 20 件，每件可盈利 40 元．为了扩大销售，减
少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多
售出 2 件．
(1) 设每件降价 x 元，每天盈利 y 元，写出 y 与 x 之间的函数关系式．
(2) 若商场每天要盈利 1200 元，每件衬衫降价幅度不能超过 18 元，那么每件衬衫应降价多少元？
(3) 每件衬衫降价多少元时，商场每天的盈利能达到最大，盈利最大是多少元？
22．（10 分）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AC 平分∠BAD，延长 DC 交 AB 的延长线于点 E．
(1) 若∠ADC=86°，求∠CBE 的度数；
(2) 若 AC=EC，求证：AD=BE．
评估成绩 n（分）
评定等级
频数
90≤n≤100
A
2
80≤n ，
∴y1＞y2＞y3． 故选 A．
8. 【答案】A
解：∵六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠AOB=60°，
∴△OAB 是等边三角形，OA=OB=AB=2，
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设点 G 为 AB 与⊙O 的切点，连接 OG，则 OG⊥AB，
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∴ OG = OA × sin 60° = 2 ´
3 = ，
3
2
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p
1
60p ´( 3)2
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∴ S阴影 = S△OAB - S扇形OMN = 2 ´ 2 ´ 3 -
故选 A．
360
= 3 - ．
2
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二、填空题（共 6 题 共 24 分）
11．(0，－1)
12. 必然
13. 【分析】连接 OC，利用垂径定理解答即可．
【解答】解：连接 OC，
∵直尺一边与量角器相切于点 C，
∴OC⊥AD，
∵AD=10，∠DOB=60°，
∴∠DAO=30°，
∴ OE = 5 3 ， OA = 10 3 ，
3 3
5 3
3
∴ CE = OC - OE = OA - OE = ，
故答案为： 5 3
3
【点评】此题考查垂径定理，关键是利用垂径定理解答．
14. 【答案】4
解：∵对称轴方程为 x=－2，
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∴ - b
2a
= -2 ，整理可得 b=4a，
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∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A(－5，4)，
∴4=25a-5b+c，
把 b=4a 代入可得，4=25a-20a+c，解得 c=4-5a，
∴抛物线解析式为 y=ax2+4ax+4-5a， 当 x=1 时，则有 a+b+c=a+4a+4-5a=4， 故答案为：4．
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6
12. 【答案】2
解：如图，
建立平面直角坐标系，设横轴 x 通过 AB，纵轴 y 通过 AB 中点 O 且通过 C 点，则通过画图可得知 O 为原点，
抛物线以 y 轴为对称轴，且经过 A，B 两点，OA 和 OB 可求出为 AB 的一半 2 米，抛物线顶点 C 坐标为(0，2)，
通过以上条件可设顶点式 y=ax2+2，其中 a 可通过代入 A 点坐标(－2，0)， 到抛物线解析式得出：a=－0.5，所以抛物线解析式为 y=－0.5x2+2，
当水面下降 1 米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当 y=－1 时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线 y=－1 与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把 y=－1 代入抛物线解析式得出：
－1=－0.5x2+2，
解得： x =± 6 ，
所以水面宽度增加到2 6 米，
故答案为： 2 6 米．
13. 【答案】8 解：连接 AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB 是⊙O 的直径．
∵ACB 的角平分线交⊙O 于 D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴ AD = BD = 5 2 ．
∵AB 是⊙O 的直径，
(5 2 )2 + (5
2 )2
∴△ABD 是等腰直角三角形，
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AD2 + BD2
∴ AB = =
∵AC=6，
= 10 ．
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AB2 - AC2
102 + 62
∴ BC = =
故答案为：8．
= 8 ．
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三、解答题（共 8 题 共 66 分）
17．（6 分）
解：把点(—1，0)，(3，0)的坐标分别代入 y=ax2+bx－3，
ì0 = a - b - 3
î
得， í0 = 9a + 3b - 3
í
ìa = 1
解得
îb = -2
即 a 的值为 1，b 的值为－2．
18．（6 分）
(1) 设白球有 x 个，则可得： x = 2
x + 1 3
解得：x=2，即白球有 2 个．
(2) 列树状图得：
由上图可知，两次都摸到相同颜色的小球的概率 1
3
19．（6 分）
证明：∵点 C 是弧 AB 的中点
∴ 弧 AC 和弧 BC 相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB，M、N 分别是 OA、OB 的中点，
∴OM=ON，
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ìOM = ON
í
在△ MOC 和△ NOC 中， ï∠AOC =∠BOC ，
î
ïOC = OC
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC．
20．（8 分）
(1) 对称轴为直线 x=1，顶点 P(1，4)
(2) 图象略
(3)平移后抛物线为 y1=－(x+2)2+2
∴P′(－2，2)
∴直线 PP′的函数表达式为 y = 2 x + 10
3 3
即与 y 轴的交点为(0， 10 )
3
21．（8 分）
解：(1)∵每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，
∴每件衬衫降价 x 元，商场平均每天可多售出 2x 件，
∵原来每件的利润为 40 元，现在降价 x 元，
∴现在每件的利润为（40-x）元，
∴y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800；
(2)设每件衬衫应降价 x 元，
根据题意，得（ 40-x）（20+2x）=1200， 整理，得 x2-30x+200=0，
解得 x1=10，x2=20．
∵降价不能超过 18 元，
∴x2=20 应略去，
∴x=10．
答：每件衬衫应降价 10 元．
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(3)∵y=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250，
∴降价 15 元时有最大利润 1250 元．
22．（10 分）
(1) 解：∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
又∵∠ADC=86°，
∴∠ABC=94°，
∴∠CBE=180°-94°=86° ；
(2) 证明：∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC 平分∠BAD，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠E，
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC=180°， 又∵∠CBE+∠ABC=180°，
∴∠ADC=∠CBE，
在△ ADC 和△ EBC 中，
ì∠ADC =∠EBC
í
ï∠DAC =∠E ，
î
ï AC = EC
∴△ADC≌△EBC，
∴AD=BE．
23．（10 分）
解：(1)∵C 等级频数为 15，占 60%，
∴m=15÷60%=25 ；
(2)∵B 等级频数为：25－2－15－6=2，
∴B 等级所在扇形的圆心角的大小为： 2 ´ 360° = 28.8° = 28°48¢ ；
25
(3) 评估成绩不少于 80 分的连锁店中，有两家等级为 A，有两家等级为 B，画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，其中至少有一家是 A 等级的有 10 种情况，
∴其中至少有一家是 A 等级的概率为： 10 = 5 ．
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12 6
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24．（12 分）
解：(1)设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，
ìa - b + c = 0
ìa = 1
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把 A、B、C 三点坐标代入可得ï + 4b + c = 0 ，解得ïb = -3 ，
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∴抛物线解析式为 y=x2-3x-4；
í16a
î
ïc = -4
í
î
ïc = -4
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(2) 作 OC 的垂直平分线 DP，交 OC 于点 D，交 BC 下方抛物线于点 P，如图 1，
∴PO=PC，此时 P 点即为满足条件的点，
∵C(0，－4)，
∴D(0，－2)，
3 - 17
2
∴P 点纵坐标为－2，
代入抛物线解析式可得 x2 － 3x － 4=－ 2 ， 解得 x = （小于 0 ， 舍去）或
3 + 17
2
x = ，
∴存在满足条件的 P 点，其坐标为( 3 + 2 17 ，－2)；
(3) ∵点 P 在抛物线上，
∴可设 P(t，t2－3t－4)，由题意可知0 < t < 4
过 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2，
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∵B(4，0)，C(0，－4)，
∴直线 BC 解析式为 y=x-4，
∴F(t，t－4)，
∴PF=(t－4)－(t2－3t－4)=－t2+4t，
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S△PBC
∴
= S△PFC
+ S△PFB
= 1 PF × OE + 1 PF × BE = 1 PF × (OE + BE ) = 1 PF × OB
2 2 2 2
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2
= 1 (-t2 + 4t )´ 4 = -2(t - 2)2 + 8
∴当 t=2 时，S△ PBC 最大值为 8，此时 t2－3t－4=－6，
∴当 P 点坐标为(2，－6)时，△ PBC 的最大面积为 8．
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