2018年北京市海淀区中考数学模拟试卷（4月份）
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x=0 B．x=3 C．x≠0 D．x≠3
2．在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（ ）
A．5.6×10﹣1 B．5.6×10﹣2 C．5.6×10﹣3 D．0.56×10﹣1
4．图1和图2中所有的正方形都全等，将图1的正方形放在图2中的①②③④某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
5．如图，直线AB∥CD，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠1+∠3=180° D．∠3+∠4=180°
6．如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直（A、D、B在同一条直线上），设∠CAB=α，那么拉线BC的长度为（ ）
A． B． C． D．
7．数轴上分别有A、B、C三个点，对应的实数分别为a、b、c且满足，|a
|＞|c|，b•c＜0，则原点的位置（ ）
A．点A的左侧 B．点A点B之间 C．点B点C之间 D．点C的右侧
8．如图，是某蓄水池的横断面示意图，蓄水池分为深水区和浅水区，如果向这个蓄水池以固定的速度注水，下面能表示水的深度h与时间t的关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．分解因式：x2y﹣y= ．
10．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A、B、C、D，得到四边形ABCD，若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为 ．
11．如果a+b=2，那么代数式（a﹣）÷的值是 ．
12．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O， =，则= ．
13．某物流仓储公司用A，B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20kg，A型机器人搬运1000kg所用时间与B型机器人搬运800kg所用时间相等，设B型机器人每小时搬运x kg物品，列出关于x的方程为 ．
14．在一个不透明的布袋中，红色、黑色的玻璃球共有20个，这些球除颜色外其它完全相同．将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断地重复这个过程，摸了200次后，发现有60次摸到黑球，请你估计这个袋中红球约有 个．
15．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：
已知：∠ACB是△ABC的一个内角．
求作：∠APB=∠ACB．
小明的做法如下：
如图
①作线段AB的垂直平分线m；
②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；
③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；
④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．
所以∠APB=∠ACB．
老师说：“小明的作法正确．”
请回答：
（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA=OB=OC）的依据是 ；
（2）∠APB=∠ACB的依据是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，1），B（1，0），将线段AB绕着点B顺时针旋转90°得到线段BA′，则A′的坐标为 ．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．（5分）计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣cos45°．
18．（5分）解不等式：3x﹣1＞2（x﹣1），并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（5分）如图，AD是△ABC的中线，AD=12，AB=13，BC=10，求AC长．
20．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1=0．
（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
（2）若m为负数，判断方程根的情况．
21．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F为AD上两点，AE=EF=FD，连接BE、CF并延长，交于点G， GB=GC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）若△GEF的面积为2．
①求四边形BCFE的面积；
②四边形ABCD的面积为 ．
22．（5分）如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
23．（6分）如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与
OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．
24．（6分）某班为确定参加学校投篮比赛的任选，在A、B两位投篮高手间进行了6次投篮比赛，每人每次投10个球，将他们每次投中的个数绘制成如图所示的折线统计图．
（1）根据图中所给信息填写下表：
投中个数统计
平均数
中位数
众数
A
8
B
7
7
（2）如果这个班只能在A、B之间选派一名学生参赛，从投篮稳定性考虑应该选派谁？请你利用学过的统计量对问题进行分析说明．
25．（6分）某小学为每个班级配备了一种可以加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）和通电时间x（min）成反比例关系，直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温为20℃，接通电源后，水温和时间的关系如下图所示，回答下列问题：
（1）分别求出当0≤x≤8和8＜x≤a时，y和x之间的关系式；
（2）求出图中a的值；
（3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想再8：10上课前能喝到不超过40℃的开水，问他需要在什么时间段内接水．
26．（6分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．
（1）求二次函数图象的对称轴；
（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．
27．（7分）如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．
28．（7分）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠
0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；
（2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）
1．【解答】解：由题意得，x﹣3≠0，
解得，x≠3，
故选：D．
2．【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC=，
即圆心O到AB的距离为3．
故选：A．
3．【解答】解：将0.056用科学记数法表示为5.6×10﹣2，
故选：B．
4．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的①的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．
故选：A．
5．【解答】解：如图，∵AB∥CD，
∴∠3+∠5=180°，
又∵∠5=∠4，
∴∠3+∠4=180°，
故选：D．]
6．【解答】解：
∵∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，
在Rt△BCD中，∵cos∠BCD=，
∴BC==，
故选：B．
7．【解答】解：∵|a|＞|c|，b•c＜0，
∴原点的位置是点B与点C之间，
故选：C．
8．【解答】解：根据题意和图形的形状，可知水的最大深度h与时间t之间的关系分为两段，先快后慢．
故选：C．
二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）
9．【解答】解：x2y﹣y，
=y（x2﹣1），
=y（x+1）（x﹣1），
故答案为：y（x+1）（x﹣1）．
10．【解答】解：∵AC与BD是⊙O的两条直径，
∴∠ABC=∠ADC=∠DAB=∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴△ABO与△CDO的面积的和=△AOD与△BOC的面积的和，
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOD+S扇形BOC=2S扇形AOD，
∵OA=OB，
∴∠BAC=∠ABO=36°，
∴∠AOD=72°，
∴图中阴影部分的面积=2×=10π（cm2），
故答案为10πcm2．
11．【解答】解：当a+b=2时，
原式=•
=•
=a+b
=2
故答案为：2
12．【解答】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，
∴==，
则=（）2=（）2=，
故答案为：．
13．【解答】解：设B型机器人每小时搬运x kg物品，则A型机器人每小时搬运（x+20）kg物品，
根据题意可得=，
故答案为： =．
14．【解答】解：因为共摸了200次球，发现有60次摸到黑球，
所以估计摸到黑球的概率为0.3，
所以估计这个口袋中黑球的数量为20×0.3=6（个），
则红球大约有20﹣6=14个，
故答案为：14．
15．【解答】解：（1）如图2中，
∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，
∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），
∴OA=OB=OC（等量代换）
故答案为①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换．
（2）∵=，
∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．
故答案为同弧所对的圆周角相等．
16．【解答】解：如图，作AC⊥x轴于C，作A′C′⊥x轴，垂足分别为C、C′，
∵点A、B的坐标分别为（﹣2，1）、（1，0），
∴AC=2，BC=2+1=3，
∵∠ABA′=90°，
∴ABC+∠A′BC′=90°，
∵∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠A′BC′，
∵BA=BA′，∠ACB=∠BC′A′，
∴△ABC≌△BA′C′，
∴OC′=OB+BC′=1+1=2，A′C′=BC=3，
∴点A′的坐标为（2，3）．
故答案为（2，3）．
三．解答题（共12小题，满分68分）
17．【解答】解：原式=4﹣3+1﹣×
=2﹣1
=1．
18．【解答】解：3x﹣1＞2x﹣2，
3x﹣2x＞﹣2+1，
x＞﹣1；
将不等式的解集表示在数轴上如下：
19．【解答】解：∵AD是△ABC的中线，且BC=10，
∴BD=BC=5．
∵52+122=132，即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，则AD⊥BC，
又∵CD=BD，
∴AC=AB=13．
20．【解答】解：
（1）∵m是方程的一个实数根，
∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1=0，
∴；
（2）△=b2﹣4ac=﹣12m+5，
∵m＜0，
∴﹣12m＞0．
∴△=﹣12m+5＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
21．【解答】（1）证明：∵GB=GC，
∴∠GBC=∠GCB，
在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=DC，AB∥CD，
∴GB﹣GE=GC﹣GF，
∴BE=CF，
在△ABE与△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF，
∴∠A=∠D，
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠A=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）①∵EF∥BC，
∴△GFE∽△GBC，
∵EF=AD，
∴EF=BC，
∴=（）2=，
∵△GEF的面积为2，
∴△GBC的面积为18，
∴四边形BCFE的面积为16，；
②∵四边形BCFE的面积为16，
∴（EF+BC）•AB=×BC•AB=16，
∴BC•AB=24，
∴四边形ABCD的面积为24，
故答案为：24．
22．【解答】解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=，
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，
∴P（﹣，0）或（，0）．
23．【解答】解：（1）连接OC，
∵OD⊥AC，OD经过圆心O，
∴AD=CD，
∴PA=PC，
在△OAP和△OCP中，
∵，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OCP=∠OAP
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP=90°．
∴∠OCP=90°，
即OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠COB=60°，
∵AB=10，
∴OC=5，
由（1）知∠OCF=90°，
∴CF=OCtan∠COB=5．
24．【解答】解：（1）A成绩的平均数为（9+10+4+3+9+7）=7；众数为9；
B成绩排序后为6，7，7，7，7，8，故中位数为7；
故答案为：7，9，7；
（2）= [（7﹣9）2+（7﹣10）2+（7﹣4）2+（7﹣3）2+（7﹣9）2+（7﹣7）2]=7；
= [（7﹣7）2+（7﹣7）2+（7﹣8）2+（7﹣7）2+（7﹣6）2+（7﹣7）2]=；
从方差看，B的方差小，所以B的成绩更稳定，从投篮稳定性考虑应该选派B．
25．【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y=k1x+b，
将（0，20），（8，100）代入y=k1x+b，
得k1=10，b=20，
所以当0≤x≤8时，y=10x+20；
当8＜x≤a时，设y=，
将（8，100）代入，得k2=800，
所以当8＜x≤a时，y=；
故当0≤x≤8时，y=10x+20；当8＜x≤a时，y=；
（2）将y=20代入y=，
解得a=40；
（3）8：10﹣8分钟=8：02，
∵10x+20≤40，
∴0＜x≤2，
∵≤40，
∴20≤x＜40．
所以李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前能喝到不超过40℃的热水，
则需要在7：50～8：10时间段内接水．
26．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，
可得：1﹣2m+5m=﹣2，
解得：m=﹣1，
所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，
（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，
∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，
由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，
∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．
27．【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
利用三角形的中位线得，PN=BD，PM=CE，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∴∠MPN=90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，
∴DE∥BC且DE在顶点A上面，
∴MN最大=AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，
∴AM=2，
在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5，
∴MN最大=2+5=7，
∴S△PMN最大=PM2=×MN2=×（7）2=．
方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD=AB+AD=14，
∴PM=7，
∴S△PMN最大=PM2=×72=．
28．【解答】解：（1）如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．
故填：等腰．
（2）当抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
该抛物线的顶点（，），满足=（b＞0）．
则b=2．
（3）存在．
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．
当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE=OEtan∠AOB=．
∴=•（b＞0）．
∴b′=2．
∴A（，3），B（2，0）．
∴C（﹣），D（﹣2，0）．
设过点O、C、D的抛物线为y=mx2+nx，则
，
解得．
故所求抛物线的表达式为y=x2+2x．
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