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大庆铁人中学高三学年上学期期中考试
文科数学试题
出题人:孙杰睿 审题人:宋赫
试题说明:1.本试题满分 150 分,答题时间 120 分钟。
2. 请将答案填写在答题卡上。
第Ⅰ卷(选择题 满分60分)
一、 选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
第Ⅱ卷 (非选择题 满分90分)
一、 填空题(每小题5分,共20分)
一、 解答题(本大题共6个小题,共70分)
17.(本小题满分10分)
18.(本小题满分12分)
19. (本小题满分12分)
20. (本小题满分12分)
21.(本小题满分12分)
22.(本小题满分12分)
大庆铁人中学高三学年上学期期中考试
数学试题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
D
A
B
A
C
A
D
D
2. 填空题
一、 14、15、16、
3. 解答题
17.解:因为在点处的切线方程为,
所以切线斜率是,
且,
求得,即点,
又函数,则,
所以依题意得,
解得;
由知,
所以,
令,解得或
当或;当,
所以函数的单调递增区间是,
单调递减区间是,
又,
所以当x变化时,和变化情况如下表:
X
0
2
3
0
0
4
极小值
1
所以当时,,
.
19.解:函数.
化简可得:
函数的最小正周期,
由时单调递增,
解得:
函数的单调递增区间为:,,.
函数所在匀上有两个不同的零点,,转化为函数与函数有两个交点,令,,
可得的图象如图.
从图可知:m在,函数与函数有两个交点,其横坐标分别为,
故得实数m的取值范围是
20.解:方程的根为2,又是递增的等差数列,
故,,可得,,
故,
设数列的前n项和为,
,
,
得,
解得.
21.证明:
,数列是公差为2的等差数列,
又,,
,解得
解:由Ⅰ可得,
,
数列的前n项和为:
,
.
22(理)
解:(Ⅰ) ,则.
令得,所以在上单调递增.
令得,所以在上单调递减.(Ⅱ)因为,所以,所以的方程为.
依题意, , .
于是与抛物线切于点,
由得.
所以 -
(Ⅲ)设,则恒成立.
易得
(1)当时,
因为,所以此时在上单调递增.
①若,则当时满足条件,此时;
②若,取且
此时,所以不恒成立.
不满足条件;
(2)当时,
令,得由,得;
由,得
所以在上单调递减,在上单调递增.
要使得“恒成立”,必须有
“当时, ”成立.
所以.则
令则
令,得由,得;
由,得所以在上单调递增,在上单调递减,
所以,当时,
从而,当时, 的最大值为.-
22(文)
解:(Ⅰ),得
由f'(x)>0,得0<x<e
∴f(x)的递增区间是(0,e),递减区间是(e,+∞)…(4分)
(Ⅱ)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,
可化为对一切x∈(0,+∞)恒成立
令,
当x∈(0,1)时h'(x)<0,即h(x)在(0,1)递减
当x∈(1,+∞)时h'(x)>0,即h(x)在(1,+∞)递增
∴h(x)min=h(1)=4,
∴m≤4,即实数m的取值范围是(-∞,4]…(8分)
(Ⅲ)证明:等价于,即证
由(Ⅰ)知,(当x=e时取等号)
令,则,
易知φ(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增
∴(当x=1时取等号)
∴f(x)<φ(x)对一切x∈(0,+∞)都成立
则对一切x∈(0,+∞),都有成立.…(12分)