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大庆铁人中学高三学年上学期期中考试
理科数学试题
出题人：孙杰睿 审题人：宋赫
试题说明：1.本试题满分 150 分，答题时间 120 分钟。
2. 请将答案填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题 满分60分）
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
第Ⅱ卷 （非选择题 满分90分）
一、 填空题（每小题5分，共20分）
一、 解答题（本大题共6个小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
18．（本小题满分12分）
19. （本小题满分12分）
20. （本小题满分12分）
21．（本小题满分12分）
22.(本小题满分12分）
大庆铁人中学高三学年上学期期中考试
数学试题答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
D
C
D
A
B
A
C
A
D
D
2. 填空题
一、 14、15、16、
3. 解答题
17.解：因为在点处的切线方程为，
所以切线斜率是，
且，
求得，即点，
又函数，则，
所以依题意得，
解得；
由知，
所以，
令，解得或
当或；当，
所以函数的单调递增区间是，
单调递减区间是，
又，
所以当x变化时，和变化情况如下表：
X
0
2
3
0
0
4
极小值
1
所以当时，，
．
19.解：函数．
化简可得：
函数的最小正周期，
由时单调递增，
解得：
函数的单调递增区间为：，，．
函数所在匀上有两个不同的零点，，转化为函数与函数有两个交点，令，，
可得的图象如图．
从图可知：m在，函数与函数有两个交点，其横坐标分别为，
故得实数m的取值范围是
20.解：方程的根为2，又是递增的等差数列，
故，，可得，，
故，
设数列的前n项和为，
，
，
得，
解得．
21.证明：
，数列是公差为2的等差数列，
又，，
，解得
解：由Ⅰ可得，
，
数列的前n项和为：
，
．
22（理）
解：（Ⅰ） ，则.
令得，所以在上单调递增.
令得，所以在上单调递减.（Ⅱ）因为
，所以，所以的方程为.
依题意， ， .
于是与抛物线切于点，
由得.
所以 -
（Ⅲ）设,则恒成立.
易得
（1）当时，
因为，所以此时在上单调递增.
①若，则当时满足条件，此时；
②若，取且
此时，所以不恒成立．
不满足条件；
（2）当时，
令，得由，得；
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
要使得“恒成立”，必须有
“当时， ”成立.
所以.则
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，当时，
从而，当时， 的最大值为.-
22（文）
解：（Ⅰ），得
由f'（x）＞0，得0＜x＜e
∴f（x）的递增区间是（0，e），递减区间是（e，+∞）…（4分）
（Ⅱ）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，
可化为对一切x∈（0，+∞）恒成立
令，
当x∈（0，1）时h'（x）＜0，即h（x）在（0，1）递减
当x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，即h（x）在（1，+∞）递增
∴h（x）min=h（1）=4，
∴m≤4，即实数m的取值范围是（-∞，4]…（8分）
（Ⅲ）证明：等价于，即证
由（Ⅰ）知，（当x=e时取等号）
令，则，
易知φ（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增
∴（当x=1时取等号）
∴f（x）＜φ（x）对一切x∈（0，+∞）都成立
则对一切x∈（0，+∞），都有成立．…（12分）
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