河北武邑中学2018-2019学年高二上学期第三次月考
数 学（文）试 卷
Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．现要完成下列3项抽样调查：①我校共有320名教职工，其中教师270名，行政人员20名，后勤人员30名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为32的样本②学术报告厅有16排，每排有22个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请16名听众进行座谈③从高二年级24个班级中抽取3个班进行卫生检查．较为合理的抽样方法是( )
A．①简单随机抽样②系统抽样③分层抽样 B．①简单随机抽样②分层抽样③系统抽样
C．①系统抽样②简单随机抽样③分层抽样 D．①分层抽样②系统抽样③简单随机抽样
2．点M的直角坐标为，则点M的一个极坐标为
A． B． C． D．
3．设满足约束条件，则的最大值为
A．4 B．5 C．6 D．7
4.下列抽样实验中,适合用抽签法的是( )
A.从某工厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某工厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验
5.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B.“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C.“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D.“至少有一个黑球”与“都是红球”
6.不等式(x-2y+1)(x+y-3)≤
0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )
7.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值等于( )
A.7 B.8 C.10 D.11
8．某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个编号分别为053，098，则样本中最大的编号为（ ）
A． 853 B． 854 C． 863 D． 864
9. 执行如图所示的程序框图，则输出的数值是（ ）
A． B． C． D．
10．实数满足不等式组，则目标函数的 最大值是（ ）
A． 12 B．4 C． D．
11．在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋等于( )
A． B．－ C． D．
Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13、某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样，分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 ；
14、若满足约束条件，则的最大值为 ；
15．如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
16．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为 ．
三．解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）已知直线l1：x-2y+3=0与直线l2：2x+3y-8=0的交点为M，
（1）求过点M且到点P（0，4）的距离为2的直线l的方程；
（2）求过点M且与直线l3：x+3y+1=0平行的直线l的方程．
18．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．
19．（本小题满分12分）某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东，距离为n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西，距离为n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东，求：
（Ⅰ）A处与D处之间的距离；
（Ⅱ）灯塔C与D处之间的距离.
20 （本小题12分）已知，（本题不作图不得分）
（1）求的最大值和最小值； （2）求的取值范围．
21. （本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD.
(1)证明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为，
求该三棱锥的侧面积．
22. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，离心率为，过F1的直线l与椭圆C交于M，N两点，且△MNF2的周长为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线y＝kx＋b与椭圆C分别交于A，B两点，且OA⊥OB，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论．
高二文科数学答案
参考答案
1-5. DDBBC 6-10 CCCBA 11-12 CA
13、分层抽样 14、6 (15)x-2y-8=0 (16)
17.解：（1）由l1：x-2y+3=0与l2：2x+3y-8=0联立方程解得，
∴l1，l2的交点M为（1，2），
设所求直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，
∵P（0，4）到直线的距离为2，
∴2=，解得k=0或．
∴直线方程为y=2或4x-3y+2=0；
（2）过点（1，2）且与x+3y+1=0平行的直线的斜率为：-，
所求的直线方程为：y-2=-（x-1），即x+3y-7=0．
18．解：设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则，解得D=﹣4，E=3，F=0，
∴圆的方程为x2+y2﹣8x+6y=0，
化为（x﹣4）2+（y+3）2=25，
可得：圆心是（4，﹣3）、半径r=5．
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABD中，由已知得 ∠ADB=，B=．
由正弦定理得
．
（Ⅱ）在△ADC中，由余弦定理得
，解得CD= .
所以A处与D处之间的距离为24 n mile，灯塔C与D处之间的距离为n mile.
20.解：（1）由已知得到平面区域如图： .......（4分）
z=2x+y变形为y=-2x+z，
当此直线经过图中A时使得直线在y轴的截距最小，z最小，
经过图中B时在y轴 的截距最大，z 最大，A（1，1），B（5，2），
所以z=2x+y的最大值为2×5+2=12，最小值2×1+1=3； .......（8分）
（2）的几何意义表示区域内的点与（-1，-1）连接直线的斜率，
所以与B的直线斜率最小，与C连接的直线斜率最大， .......（10分）
所以的最小值为，最大值为
所以的取值范围是[]． .......（12分）
21． (1)证明 因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
因为BE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，
所以BE⊥AC.
而BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BED，
所以AC⊥平面BED.
又AC⊂平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED. ………………5分
(2)解 设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，
可得AG＝GC＝x，GB＝GD＝.
因为AE⊥EC，
所以在Rt△AEC中，可得EG＝x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝x.
由已知得，三棱锥E—ACD的体积
V三棱锥E—ACD＝AC·GD·BE＝x3＝，
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为.
故三棱锥E—ACD的侧面积为3＋2.………………12分
22.【答案】解：（1）由题意知，4a=8，则a=2，
由椭圆离心率e===，则b2=3．
∴椭圆C的方程；
（2）由题意，当直线AB的斜率不存在，此时可设A（x0，x0），B（x0，-x0）．又A，B两点在椭圆C上，
∴，
∴点O到直线AB的距离，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b．设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立方程，消去y得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0．
由已知△＞0，x1+x2=-，x1x2=，
由OA⊥OB，则x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+b）（kx2+b）=0，
整理得：（k2+1）x1x2+kb（x1+x2）+b2=0，
∴．
∴7b2=12（k2+1），满足△＞0．
∴点O到直线AB的距离d===为定值．
综上可知：点O到直线AB的距离d=为定值．
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