呼兰一中2018—2019学年度上学期第三次月考
高三理科数学试卷
一．选择题（每小题5分）
1.一个单位有职工800人，期中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是（ ）
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7 C．8，15，12，5 D．8，16，10，6
2.双曲线的渐近线方程是（ ）
A．y=±x B． C． D．
3.甲、乙两名同学八次数学测试成绩如茎叶图所示，则甲同学成绩的众数与乙同学成绩的中位数依次为（ ）
A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86
4.用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号顺序平均分成20组（1～8,9～16，…，153～160），若第16组得到的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
5.如果执行如图的程序框图，若输入n=6，m=4，那么输出的p等于（ ）
A．720 B．360 C．240 D．120
6.已知x，y的取值如下表所示：
x
2
3
4
y
6
4
5
如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（ ）
A． B． C． D．
7.把红、黑、白、蓝张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁个人, 每个人分得张, 事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件
C．互斥但不对立事件 D．以上均不对
8.实数mn＜0是方程=1表示实轴在x轴上的双曲线的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9.设拋物线C：x2=4y的焦点为F，经过点P（l，5）的直线与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则丨AF|+|BF|=（ ）
A．12 B．8 C．4 D．10
10.双曲线tx2﹣y2﹣1=0的一条渐近线与直线x﹣2y+1=0平行，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=（ ）
A． B． C． D．
12..已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．
二．填空题（每小题5分）
13．在区间上随机地取一个数,则事件“”发生的概率为 ．
14.抛物线y2=2px（p＞0）上一点M（1，m） （m＞0）到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A．若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a等于 ．
15.如图，F1和F2分别是双曲线的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 ．
16.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与面BCC1B1所成角的正切值为 ．
三。解答题（要求有必要的解题步骤）
17．（10分）
（1）求与椭圆有共同焦点且过点的双曲线的标准方程；
（2）已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M（﹣3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程和m的值．
18. （12分）
命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点；命题q：曲线﹣=1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．
19. （12分）
某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
20. （12分）
如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，AB=2，点E是C1D1的中点．
（1）求证：DE⊥平面BCE；
（2）求二面角A﹣EB﹣C的大小．
21.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4．
（I）求证：平面PBD⊥平面ABCD；
（II）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．
22.已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率，焦距是．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点，，求k的值．
理科数学答案
一选择题DCBBB ACBAB DA
二填空题
（13） （14） （15） （16）
17.【解答】解：（1）椭圆的焦点为（2，0），（﹣2，0）， 设双曲线的标准方程为： =1（a，b＞0），则a2+b2=4， =1，解得a2=3，b2=1，∴所求双曲线的标准方程为．
（2）设抛物线方程为y2=﹣2px（p＞0），则焦点，准线方程为，
点M到焦点的距离等于5，也就是点M到准线的距离为5，则，∴p=4，因此，抛物线方程为y2=﹣8x，又点 M（﹣3，m）在抛物线上，于是m2=24，∴
18【解答】解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，
∴圆心到直线的距离，∴∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线∴，解得k＜0，∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题， ∴
解得k＜﹣2
19【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，
参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为 4+2=6（人）．
（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．
由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．
所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…
20【解答】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），E（0，1，1），B（1，2，3），C（0，2，0），∴=（0，1，1），=（﹣1，﹣1，1）， =（﹣1，0，0），∵=0， =0，∴DE⊥BE，DE⊥BC，∵BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BE∩BC=B，∴DE⊥平面BCE．
（2）解：设平面AEB的法向量=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，0，1），∵DE⊥平面BCE，∴ =（0，1，1）是平面BCE的法向量，∵cos＜＞==， ∴二面角A﹣EB﹣C的大小为120°．
21.【解答】证明：（1）设O是BD的中点，连接AO，
∵△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，∴PB=PD=2，又BO=OD，∴PO⊥BD．
∵AB⊥AD，∴在Rt△ABD中，由勾股定理可得，BD==2．∴OB=．在Rt△POB中，由勾股定理可得，PO==，在Rt△ABD中，AO==．在△PAO中，PO2+OA2=4=PA2，由勾股定理得逆定理得PO⊥AO．
又∵BD∩AF=O，∴PO⊥平面ABCD∵PO⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面ABCD．
（2）由（1）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，
∴过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：
由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0），C（1，3，0），P（0，0，）
则，．设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，则，即，解得，令z1=1，则平面PDC的一个法向量为，又，则，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．
22.【解答】解：（1）由题意知， 故c2=2，又∵，∴a2=3，b2=1，∴椭圆方程为．
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2）， 将y=kx+2代入，化简整理可得，（1+3k2）x2+12kx+9=0， 故△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0， 故k2≥1； 由韦达定理得，
， 故 而y1﹣y2=k（x1﹣x2）， 故；而代入上式， 整理得7k4﹣12k2﹣27=0， 即（7k2+9）（k2﹣3）=0， 解得k2=3，故．
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