宁阳一中2017级高二上学期阶段性考试三
数 学 试 题 2018.12
一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）
1.命题“∀n∈N*，f（n）≤n”的否定形式是（ ）
A．∀n∈N*，f（n）＞n B．∀n∉N*，f（n）＞n
C．∃n∈N*，f（n）＞n D．∀n∉N*，f（n）＞n
2.在等差数列中，若，是数列的前n项和，则的值为（ ）
A．54 B．48 C．60 D．66
3.对于实数a，b，c，下列结论中正确的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b＞0，则＞
C．若a＜b＜0，则＜ D．若a＞b，＞，则ab＜0
4.数列满足若，则（ ）
A． B．
C． D．
5.已知点（x，y）在直线x+2y=3上移动，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．3 D．4
6.如图，在三棱锥中，，点在上，且，为中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8.已知实数， 是与的等比中项，则的最小值是（ ） B． C．8 D．4
9.已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则=（ ） A． B．
10.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=900，点D1和F1 分别是A1B1和A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
11.设是双曲线的两个焦点，是上一点，若
，且的最小内角为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
12.直线与抛物线交于A，B两点，若|AB|=4，则弦AB的中点到直线的距离等于（ ）
A． B． C．4 D．2
二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）
13. =（2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则x+y= ．
14.已知实数构成一个等比数列，为等比中项，则圆锥曲线的离心率是 .
15.设正实数满足，则当取得最大值时，的值为 ．
16.过点且和抛物线相切的直线方程为 .
三、解答题（共6小题，70分）
17. （本题10分）
求下列各曲线的标准方程
(1)实轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆；
(2)抛物线的焦点是双曲线的左顶点.
18. （本题10分）
，且q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围.
19. （本题12分）
已知等比数列中成等差数列；数列的前n项和为，
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
20. （本题12分）
据市场分析,某蔬菜加工点,当月产量在10吨至25吨时,月生产总成本（万元）可以看成月产量（吨）的二次函数。当月产量为10吨时,月总成本为20万元；当月产量为15吨时,月总成本最低为17.5万元。
（1）写出月总成本（万元）关于月产量（吨）的函数关系；
（2）已知该产品销售价为每吨1.6万元,那么月产量为多少时,可获最大利润；
（3）当月产量为多少吨时, 每吨平均成本最低,最低成本是多少万元？
21. （本题13分）
设中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且它们的离心率互为倒数.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线交椭圆于、两点,且满足,求直线的方程.
22. （本题13分）
如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF，．
（Ⅰ）求证：
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
（Ⅲ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得，并证明你的结论．
宁阳一中2017级高二上学期阶段性考试三
数学参考答案
一、选择题（每小题5分，12小题，共60分）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
D
B
D
A
A
C
C
C
D
B
二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）
13. 14.或 15.3 16. 和
17. （本题10分）
解：（1）设椭圆的方程为 ...................1分
由题意得，所以 ...................2分
由,得 ...................3分
由，得...................4分
所以椭圆方程为. ...................5分
（2）由已知，双曲线的标准方程为， ...................6分
其左顶点为 ...................7分
设抛物线的标准方程为， ...................8分
其焦点坐标为，则 即 ...................9分
所以抛物线的标准方程. ...................10分
18. （本题10分）
解：由题意p：-2≤x-3≤2，所以1≤x≤5. ...................2分
q：m-1≤x≤m+1， ...................4分
又因为q是p的充分不必要条件，
所以 ...................8分
所以2≤m≤4. ...................10分
19. （本题12分）
【解答】解：（1）设等比数列{an}的公比为q：因为a2，a3+1，a4成等差数列，
故a2+a4=2（a3+1）， ...................2分
即a4=2a3， 故q=2； ...................4分
因为， ...................5分
即an=2n﹣1．...................6分
（2）因为Sn=n2+n，
故当n=1时，b1=S1=2， ...................7分
当n≥2时，bn=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）=2n， ...................8分
综上所述bn=2n， ........9分
故==﹣， ..................10分
故数列的前n项和为．12分
20. （本题12分）
解：（1） （） ...................2分
将x=10，y=20代入上式得，20=25a+17.5，解得........3分
（ ） ................4分
（2）设最大利润为则
..................6分
因为，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元...8分
（3）..............10分
当且仅当，即时上式“=”成立. ........11分
故当月产量为20吨时，每吨平均成本最低，最低成本为1万元. ........12分
21. （本题13分）
解: （1） 设椭圆的方程为........1分
则有 .解得, ........3分
椭圆的方程为 ........4分
(2)当不存在时,直线为与椭圆无交点 ........5分
当存在时,设，，........6分
代入整理得: ........7分
........8分
........9分
........10分
,,即 ........11分
解得:, ........12分
经检验满足
所求直线的方程为 .....13分
22. （本题13分）
（Ⅰ）证明：∵平面，平面，∴ …………1分
又∵是正方形， ∴，…………2分
∵，∴平面．…………3分
（Ⅱ）∵，，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系， ......4分
∵ ，得．…………5分
则，，，，，
∴，，…………6分
设平面的法向量为，则，即，
令，则．......8分
因为平面，所以为平面的法向量，∴，......9分
所以．
因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．…………10分
（Ⅲ）依题意得，设，......11分
则，
∵平面，∴，即，解得：，......12分
∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点． …13分
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