数学（理）答案.pdf

1 2018～2019 学年第一学期期末考试试卷 高二数学参考答案与评分标准（理） 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内 容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半； 如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题: （1）（B）；（2）（A）；（3）（D）；（4）（A）；（5）（C）；（6）（B）；（7）（C）；（8）（C）；（9）（B）； （10）（ A）；（11）（ A）；（12）（ D）． 二.填空题: （13）(0,2) ；（14） 3  ；（ 15）①④；（16）5． 三．解答题： (17) (本小题满分 12 分) （I） 动点 ),( yxP 满足到点 )0,2(F 的距离比到直线 1x 距离多 1． 动点 满足到点 的距离与到直线 2x 的距离相等. ……………………2 分 动点 P 是以 )0,2(F 为焦点， 为准线的抛物线，方程为 xy 82  ………………4 分 （II）当直线斜率不存在时， )1,1( Q 显然不为中点， 当直线斜率存在时，设为直线斜率 k ，设 ),( 11 yxA ， ),( 22 yxB      2 2 2 1 2 1 8 8 xy xy ，得 )(8 21 2 2 2 1 xxyy  ，……………………………………………………6 分  )(8))(( 212121 xxyyyy  2 又 )1,1( Q 是线段 AB 的中点， 221  yy ， 4 21 21   xx yyk .………………8 分 故直线的方程为 )1(41  xy ，化为一般形式即： 034  yx . ………………10 分 (18) (本小题满分 12 分) 解：（I）证明：连结 AC 交 BD 于O ,连结OM ， 因为 M 为 AF 中点，O 为 AC 中点, 所以 MOFC // ,又因为 MBDMO 平面 , FC  平面 MBD ， 所以 MBDFC 平面// ; …………………………………………………………………6 分 (II)因为正方形 ABCD 和矩形 ABEF 所在平面互相垂直,所以 ABCDAF 平面 以 A 为原点，以 AFABAD ,, 为 zyx ,, 轴建立空间 直角坐标系，如图取 AB =1 )0,1,1(C , )1,0,0(M , )0,1,0(B , )0,0,1(D , )5 2,1,5 4(N 设平面 BDM 的法向量为 p = (x ,y , z ),      0 0 BMp BDp )1,1,1(p …………………8 分 设平面 BDN 的法向量为 q = (x ,y , z ),      0 0 BNq BDq ， )2,1,1( q .. ………10 分 的夹角为与qp ， 0 |||| cos    qp qp ，所以二面角 NBDM  的大小为 90 ..…………………12 分 （19）（本小题满分 12 分） 解:（Ⅰ）由题意得 )2()1(23)( 2  aaxaxxf 又      3)2()0( 0)0( aaf bf ，解得 0b ， 3a 或 1a ····················4 分 （Ⅱ）法一：∵函数 )(xf 在区间 )1,1( 单调递减，∴ ( 1,1)x 时 ( ) 0f ' x  A B C N M F D E y z x 3 2( ) 3 2(1 ) ( 2) ( )(3 2)f ' x x a x a a x a x a         零点为 12 2, 3 ax a x    ，·····6 分 故有 1 2 13 a a   ，或 2 13 1 a a      ························································10 分 解得 51aa  或 故 a 的取值范围为( , 5] [1, )  U ······················································12 分 法二：∵函数 )(xf 在区间 )1,1( 单调递减，∴ ( 1,1)x 时 ( ) 0f ' x  ， 只需 (1) 0 ( 1) 0 f' f'    ························································8 分 即 3 2(1 ) ( 2) 0 3 2(1 ) ( 2) 0 a a a a a a            ，解得 故 a 的取值范围为 ······················································12 分 (20) (本小题满分 12 分) （Ⅰ）解：在四棱锥 P ABCD 中，因 PA  底面 ABCD，AB  平面 ABCD，故 PA AB ． 又 AB AD ， PA AD AI ，从而 AB  平面 PAD ．故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ， 从而 APB∠ 为 PB 和平面 PAD 所成的角． 在 Rt PAB△ 中， AB PA ，故 45APB  o∠ ． 所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45o ．………………6 分 （Ⅱ）法一：解：在四棱锥 P ABCD 中， 因 PA  底面 ABCD，CD  平面 ABCD，故CD PA ． 由条件CD AC ， PA AC AI ， CD面 PAC ．又 AE  面 PAC ， AE CD ． 由 PA AB BC， 60ABC  o∠ ，可得 AC PA ． EQ 是 PC 的中点， AE PC， PC CD CI ．综上得 AE  平面 PCD． …………………8 分 过点 E 作 EM PD ，垂足为 M ，连结 AM ．由（ Ⅱ）知，AE  平面 PCD，AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ，则 AM PD ． 因此 AME∠ 是二面角 A PD C的平面角．由已知，得 30CAD  o∠ ．设 AC a ，得 PA a ， 23 3AD a ， 21 3PD a ， 2 2AE a ． A B C D P E M 4 在 Rt ADP△ 中， AM PDQ ， AM PD PA AD    ，则 23 273 721 3 aaPA ADAM aPD a  ．在 Rt AEM△ 中， 14sin 4 AEAME AM．…12 分 （Ⅱ）法二：解：在四棱锥 P ABCD 中，因 PA  底面 ABCD， AD AB ， 以 A 为原点， ,,AB AD AP 为轴建系，设 AB a ， 则平面 PAD 法向量 (1,0,0)1n  ，平面 PDC 法向量 (1, 3,2)2n  ， 11 2| cos , | 4nn   ， 11 14sin , 4nn  …12 分 21. 解：⑴由题意可知：a+c= 2 +1 ，1 2×2 c×b=1,有∵a2=b2+c2 ∴a2=2, b2=1, c2=1，∴所求椭圆的方程为： 2 2 12 x y．………………4 分 ⑵设直线 l 的方程为：y=k（x1）A(x1，y1) ,B(x2，y2)，M(5 4,0) 联立   2 2 2 2 2 21 (1 2 ) 4 2 2 02 1 x y y k x k x k y k x          消去 得： 则 2 12 2 2 12 2 4 12 22 12 0 kxx k kxx k         …………………8 分 ∵ 1 1 2 2 55( , ) ( , ) 44MA x y MB x y    1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5 5 5 25 7( ( ) = ( ) + + = 4 4 4 16 16MA MB x x y y x x x x y y         ） 7,=16x R MA MB   对任意 有 为定值. ……………………12 分 5 22. 解：（1） 3c ，且过 )2 3,1(P ，      14 31 3 22 22 ba ba ，解得 224, 1ab， ∴椭圆方程为 2 2 14 x y. …………4 分 （2）（ i）设     1 1 1 1 2 2, 0 , ,A x y x y D x y ，则  11,B x y ， 所以 22 1 2 1 2 1 2 22 1 2 1 2 12 1 4 y y y y y ykt x x x x xx         . .………………………………6 分 （ii）直线 AB 的斜率 1 1 AB yk x ，又 AB AD ,故直线 AD 的斜率 1 1 xt y ， 由题意知 12xx 所以 1 1 1 44 yk tx   ， ………………………………8 分 所以直线 BD 的方程为  1 11 14 yy y x xx   . 令 y=0，得  113 , 3 ,0x x M x 即 ， 令 x=0 得 1 3 4yy ，即 1 30, 4Ny ， 可得 OMN 的面积 1 1 1 1 1 3 932 4 8S x y x y    ..…………………………………10 分 因为 2 1 21 112124 x xyy     ，当且仅当 1 1 2 22 x y 时等号成立， 此时 S 取得最大值 9 8 ，所以 OMN 的面积为最大 9 8 ..…………………………12 分