宿州市十三所重点中学2018-2019学年度第一学期期末质量检测
高二数学（理科）试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若、是两个简单命题，“且”的是真命题，则必有
A．假假 B．真真 C．真假 D．假真
2. 已知，给出命题：“，若，则”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．“”a是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5.过两点的直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．1
6.直三棱柱中，若，则（ ）
A． B． C． D．
7.椭圆的焦距是2，则的值是（ ）
A．9 B．12或4 C．9或7 D．20
8.下列双曲线中离心率为的是（ ）
A． B． C． D．
9.在正方体中，、分别为棱和棱的中点，则异面直线AC与MN所成的角为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
10. 若动圆与圆外切，又与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
11.如图是某个几何体的三视图，小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）
A.8 B.4 C. D.
12. 已知椭圆，圆在第一象限有公共点，设圆在点处的切线斜率为，椭圆在点处的切线斜率为，则的取值范围为（ ）
A. B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.全称命题“”的否定是___________
14.直线与圆相交弦的长度为___________
15.已知直三棱柱,,,其外接球体积为_____________
16.下列说法：
（1）设是正实数，则是的充要条件；
（2）对于实数，如果，则；
（3）是直线与直线相互垂直的充分不必要条件；
（4）等比数列的公比为，则且是对任意,都有的充分不必要条件；
其中正确的命题有_________
三、解答题 共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分10分）设命题：函数的定义域为；命题：函数在上单调递减．
（Ⅰ）命题为真命题时，求的值;
（Ⅱ）若命题“”为真，“”为假，求实数的取值范围；
18.（本小题满分12分）在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，AC与BD 交于点O,PA底面ABCD，E为PB的中点．
求证：（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）．
19.（本小题满分12分）已知抛物线的方程是，直线交抛物线于两点
（Ⅰ）若弦AB的中点为，求弦AB的直线方程;
（Ⅱ）设，若，求证AB过定点.
20. （本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为F（1，0），且通径长为3，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过右焦点的直线与椭圆交于M、N两点（N点在x轴上方），且,求直线MN的方程.
21.（本小题满分12分）
如图1，在直角梯形ABCD中， AD∥BC，，．将△ABD沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到几何体P﹣BCD，如图2所示，且平面PBD⊥平面BCD，
（Ⅰ）证明：PB⊥平面PCD；
（Ⅱ）若AD=2，当PC和平面PBD所成角的正切值为时，试判断线段BD上是否存在点E，使二面角D﹣PC﹣E平面角的余弦值为？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.
图2
图1
22.（本小题满分12分）
已知双曲线C的一个焦点为，且过点. 如图，为双曲线的左、右焦点，动点 （）在 的右支上，且的平分线与 轴、 轴分别交于点 （＜＜）、，设过点 的直线 与交于 两点.
（Ⅰ）求 C 的标准方程；
（Ⅱ）求△的面积最大值．
参考答案
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】 A
11.【答案】 D
【解析】本题考查了由三视图还原直观图.
由三视图还原后的图形如下：
即为三棱锥D-ABC的体积
12.【答案】D
【考查角度】本题以椭圆为背景，考查圆和椭圆的相关知识，考查化简求解能力，考查数学运算素养.
【解题分析】因为椭圆和圆在第一象限有公共点，所以，解得.设椭圆和圆在第一象限的公共点，则椭圆在点处的切线方程为，圆在点处的切线方程为，所以，，所以，故选D.
13. 【答案】
14.【答案】
15.【答案】
【分析】已知三角形为等腰三角形，由余弦定理求得，再有正弦定理,（为三角形外接圆半径），,又因为，设球心为，,所以球的体积为
16.【答案】（3）（4）【解析】本题考查了命题和充分必要条件的判定，属于简单题
对于（1）求得，所以是的充分不必要条件，所以错误
对于（2）不成立，所以错误
对于（3）直线与直线相互垂直，或，所以正确
对于（4）且可以推出对任意,都有，反之不成立，如数列，所以正确
17.解：（1）若p真：即函数f（x）的定义域为R
∴x2+ax+1＞0对∀x∈R恒成立，
∴△=a2-4＜0，解得：-2＜a＜2，
…………………………4分
(2)若q真，则a≥1，
∵命题“p∨q”为真，“p∧q”为假∴p真q假或p假q真
∵或，解得：-2＜a＜1或a≥2．
…………………………10分
18.【解析】∵底面ABCD是菱形，
∴O是AC的中点，
又因为E是PB的中点，
∴OE∥PD，
又因为OE平面ACE，PD不在平面PCD上,
∴PD∥平面ACE；………………6分
（2）证明：∵底面ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∴BD⊥平面ACE，
∴BD⊥AE．
…………………………………………………12分
19.【解答】解：（1）因为抛物线的方程为，设，，
则有x1 ≠x2 ， ，，
因为弦AB的中点为(3,3)，
两式相减得，
所以，经验证符合题意．
所以直线l的方程为y-3=（x-3）,即y=x+1 ；
（2）当AB斜率存在时，设AB方程为y=kx+b代入抛物线方程：
ky2-4y+4b=0，
,，
AB方程为y=kx-3k=k(x-3)，恒过定点（3,0）.
当AB斜率不存在时，，则x1=x2=3，过点(3,0).
综上，AB恒过定点（3,0）.
20.【解答】（Ⅰ）由题意得，所以，所以椭圆的标准方程是 4分
（Ⅱ）由题意得，直线MN的方程斜率必须存在，设直线MN的方程为，代入椭圆方程得，则
，所以，，故直线MN的方程为 ………（12分）
21.
【考查角度】本题以图形折叠为背景，考查空间线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质、空间中的线面角、二面角的平面角等知识，考查学生空间想象能力、运算求解能力，考查数学运算、直观想象和数学建模素养.
【解题分析】 解：（1）证明：∵平面PBD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，
又BD⊥DC，∴DC⊥平面PBD， ………………（2分）
∵PB⊂平面PBD，∴DC⊥PB，
又∵折叠前后均有PD⊥PB，DC∩PD=D，
∴PB⊥平面PDC． ………………（4分）
（2）由（1）知DC⊥平面PBD，即为线面角， ………………（5分）
所以，解得， ………………（6分）
又∵∽，∴，
令即，解得，即 …………（7分）
如图所示，以点D为坐标原点，为x轴正方向，为y轴正方向，过点D垂直平面BCD为Z轴正方向，建立空间直角坐标系，
所以，，，
设，
则，，， ……（8分）
设平面PCD的法向量为m， 则
即，解得m ………（9分）
设平面PCE的法向量为n，则，
即，解得n ………（10分）∴
整理得，解得，（不合题意，舍去） ………（11分）
即E为BD的四等分点，且. ………（12分）
22.本题以直线与双曲线的位置关系为背景，考查抛物线的标准方程、双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系、韦达定理、弦长公式及二次函数的性质等知识，考查转化化归思想和运算求解能力，考查数学运算、数学抽象和数学建模素养.
【解题分析】解：（1）知双曲线的左、右焦点分别为，
又∵双曲线过点
∴
解得
∴双曲线C的标准方程为. ………（4分）
（或者待定系数法解题相应步骤给分）
（2）由F1（﹣，0），F2（，0），
得直线PF1方程为y=（x+），直线PF2方程为y=（x﹣），
即直线PF1方程为y0x﹣（x0+）y+y0=0，
直线PF2方程为y0x﹣（x0﹣）y﹣y0=0，
由点M（m，0）在∠F1PF2的平分线上，得=，
由﹣＜m＜，y0＞1，以及y02=x02﹣1，解得x0≥2，
∴y02+（x0+）2=x02+2x0+4=（x0+2）2，
∴=，解得m=，即 ………（7分）
∴直线PM的方程为：y﹣（x﹣），
令x=0，得y=﹣=﹣，故点N（0，﹣），
∴，
由，消去x得（5y02﹣4）y2+10y0y+1=0，
△=100y02﹣4（5y02﹣4）=80y02+16＞0，
设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=， ………（9分）
∴|y1﹣y2|==，
由y0≥1，y1+y2=﹣＜0，y1y2=＞0，
∴y1＜0，y2＜0，△F2DE 的面积S=﹣=|F1F2|×|y1﹣y2|=×2×，
设5y02﹣4= t，t≥1，则△F2DE 的面积S=4×=4×=4×，
∴t=1时，即P为（2，1）时，△F2DE 的面积最大值为4． ………（12分）
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