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南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试
高二数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知函数，是的导函数，若，则（ ）
A. B． C． D．
2．命题“对任意,都有”的否定是（ ）
A. 对任意，都有 B. 不存在，使得
C. 存在，使得 D. 存在，使得
3．复数，则其对应复平面上的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．由直线，，与曲线所围成的封闭图形的面积为( )
A. B.1 C. D.
5．已知函数，，则下列说法正确的是( )
A．函数的最大值为 B．函数的最小值为
C．函数的最大值为3 D．函数的最小值为3
6. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）
A．a，b，c中至少有两个偶数 B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
C．a，b，c都是奇数 D．a，b，c都是偶数
7. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B. C. D.
8．设函数有两个极值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
9. 已知函数与，、分别是函数、图象上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中，真命题是（ ）
A．设，则为实数的充要条件是为共轭复数；
B．“直线与曲线C相切”是“直线与曲线C只有一个公共点”的充分不必要条件；
C．“若两直线，则它们的斜率之积等于”的逆命题；
D．是R上的可导函数，“若是的极值点，则”的否命题．
11.已知分别是双曲线的左、右焦点，两条渐近线分别为，经过右焦点垂直于的直线分别交于两点，若，且在线段上，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C. D．
12．已知函数，则在的单调递增区间是( )
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13．设函数,观察：，，
，，，根据以上事实，由归纳推理可得： .
14． ．
15．已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 ．
16．已知，，使得，则实数的取值范围为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分10分)
已知命题函数在上单调递减；命题曲线为双曲线．
（Ⅰ）若“且”为真命题，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，求实数的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.
19．(本小题满分12分)
已知直线过点，圆，直线与圆交于不同两点．
（Ⅰ）求直线的斜率的取值范围；
（Ⅱ）是否存在过点且垂直平分弦的直线？若存在，求直线斜率的值，若不存在，请说明理由．
20．(本小题满分12分)
已知函数（），其中．
（Ⅰ）若在处取得极值，求实数的值；
（Ⅱ）若的最小值为1，求实数的取值范围．
21．(本小题满分12分)
已知椭圆的左右焦点分别为、，经过的直线与椭圆交于、两点，且的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）记与的面积分别为和，求的最大值．
22. (本小题满分12分)
已知函数（其中，），记函数的导函数为．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立？若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由．
南昌二中2018—2019学年度上学期期末考试
高二数学（理）试卷参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
CDABD BABBC AD
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13． 14． 15．3 16.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．【解析】（Ⅰ）若为真命题，在恒成立，即在恒成立，∵在的最大值是3，①
若为真命题，则，解得，②
若“且”为真命题，即，均为真命题，所以，解得，
综上所述，若“且”为真命题，则实数的取值范围为；………………5分
（Ⅱ）若“或”为真命题，“且”为假命题，即，一真一假，
当真假时，，解得，
当假真时，，解得，
综上所述，实数的取值范围为．………………………………………10分
18．【解析】（Ⅰ），所以………………………………………3分
，即………………………6分
（Ⅱ）设切点为，则…………………………………7分
所以切线方程为 ……………………………9分
因为切线过原点，所以 ，
所以，解得，…………………………………………………………11分
所以，故所求切线方程为，
又因为，切点为 ………12分
19． 【解析】（Ⅰ）法1：直线l的方程为，则
由得
由得，故………………6分
法2：直线l的方程为，即，
圆心为C（3，0），圆的半径为1则圆心到直线的距离，
因为直线与有交于A，B两点，故，故．………………6分
（Ⅱ）假设存在直线垂直平分于弦，此时直线过，
则，故的斜率，由（1）可知，不满足条件．
所以，不存在直线垂直于弦． ………………12分
20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得．
∵在处取得极值，∴，∴，解得；…………4分
经检验，时在处取得极小值，符合题意，所以 …………5分
（Ⅱ），
∵，，∴，．
当时，在区间上，递增，的最小值为．…8分
当时，由，解得；由，解得．
∴的单调减区间为，单调增区间为．…………10分
于是，在处取得最小值，不合．
综上可知，若f（x）的最小值为1，则实数的取值范围是．…………12分
21．【解析】
（Ⅰ）因为为椭圆的焦点，所以，由椭圆的定义知，的周长为，解得，所以，
所以椭圆的方程为；………………4分
（Ⅱ）设直线的方程为，，，
由，整理得，则，…………7分
，当时，，
当时，，
（当且仅当时等号成立）综上所述，的最大值为．…………12分
22．【解析】（Ⅰ），
∴，∵，，∴恒成立，
∴的单调减区间为，无递增区间；………………4分
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知在上单调递减，所以在
上必存在实数根，不妨记，即，可得 ………（*）
当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，………………8分
把（*）式代入可得，
依题意恒成立，又由基本不等式有，当且仅当时等号成立，解得，所以．
代入（*）式得，，所以，又∵，所以解得．
综上所述，存在实数，使得对任意正实数恒成立．………………12分
解法二：要使对恒成立，
①即时，，解得，所以，
②即时，，解得，所以，
依题意可知，①、②应同时成立，则，又∵，所以解得．
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