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山西大学附中
2018～2019学年高二第二学期2月（总第一次）
模块诊断
数学（理）试题
时间：120分钟 考试范围：（必修二、选修1-1）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．双曲线的虚轴长为（ ）
A． B． C． D．
2．到两定点、的距离之差的绝对值等于的点的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．线段 C．双曲线 D．两条射线
3．已知，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若直线与圆有公共点，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设是两个不同的平面，是两条不同直线，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则 与所成的角相等
C．若，则
D．若，则
6．若命题，则为（ ）
A． B．
C． D
7．已知，是双曲线的两个焦点，且直线是该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范
是（ ）
A．或 B．
C． D．或
9．过双曲线左焦点的弦长为，则（为右焦点）的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限），过点作准线的垂线，垂足为，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中，正确命题的个数是（ ）
①三棱锥的体积不变； ②平面；
③平面⊥平面； ④与所成角的范围是．
A．个 B．个 C．个 D．个
12．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，过椭圆的右焦点作轴的垂线交直线于点，若直线的斜率是直线的斜率的倍，其中为坐标原点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量，，若，则 ．
14．已知两条直线，则与的距离为 ．
15．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是________．
16．已知有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率分别为，点为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时,求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长．
18．（本小题满分12分）已知函数，求：
（1）函数的图象在点处的切线方程；
（2）的单调递减区间．
19．（本小题满分12分）如图，四边形是矩形，平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．
20．（本小题满分12分）已知长度为的线段的两个端点分别在轴和轴上运动，动点满足，记动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）设不经过点的直线与曲线相交于两点．若直线与的斜率之和为，求实数的值．
21．（本小题满分12分）如图，底面是边长为的正方形，平面，，，与平面所成的角为．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（本小题满分12分）已知椭圆的焦点为，且椭圆过点，直线不过点，且与椭圆交于不同的两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线与轴总围成一个等腰三角形．
一． 选择题
1. A 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B 7.A 8.D 9.D 10.C
11. B 12.B
二．填空题
12. __45___； 14.________； 15.__[1﹣，3]______；16.____2____.
三．简答题
17．已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时,求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时,求直线被圆所截得的弦长．
1．（1）或； （2）.
【详解】
（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意.
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
此时直线的方程为
所以直线的方程为或
（2）当直线的倾斜角为时，
直线的方程为，
即
圆心到直线的距离为.
所以直线被圆所截得的弦长
18．已知函数f（x）＝+（a﹣1）x+1，a∈R．
（1）当a＝﹣1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（1，4）上单调递减，在（6，+∞）上单调递增，求a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f'（x）＝x2﹣ax+（a﹣1），
所以当a＝﹣1时，f'（x）＝x2+x﹣2，
解f'（x）＞0得x＜﹣2或x＞1；f'（x）＜0得﹣2＜x＜1，
即f（x）在（﹣∞，﹣2）与（1，+∞）上单调递增，在（﹣2，1）上单调递减．………………………（6分）
（2）由（1）知f'（x）＝x2﹣ax+（a﹣1）＝（x﹣1）[x﹣（a﹣1）]，
因为f（x）在区间（1，4）上单调递减，在（6，+∞）上单调递增，
所以当1＜x＜4时，f'（x）＜0；当x＞6时，f'（x）＞0；
所以4≤a﹣1≤6，解得5≤a≤7．…………………………………………………………（12分）
19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M为PA的中点．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDM；
（Ⅱ）若PA＝AB＝2，BD＝，求直线BM与平面PAC所成角的正弦值．
【详解】
（Ⅰ）设AC、BD交于点O，连接OM．
因为四边形ABCD为矩形，所以点O是AC的中点，
因为M为PA的中点，所以，
，．
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，由题意可得，，
，则．
设平面PAC的法向量为，则，
令，则，即，
则，
所以直线BM与平面PAC所成角的正弦值为．
20．已知长度为4的线段AB的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足＝3，记动点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设不经过点H（0，1）的直线y＝2x+t与曲线C相交于两点M，N．若直线HM与HN的斜率之和为1，求实数t的值．
【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），A（m，0），B（0，n），
∵，
∴（x，y﹣n）＝3（m﹣x，﹣y）＝（3m﹣3x，﹣3y），
即，
∴，
∵|AB|＝4，
∴m2+n2＝16，
∴，
∴曲线C的方程为：；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y得，
37x2+36tx+9（t2﹣1）＝0，
由△＝（36t）2﹣4×37×9（t2﹣1）＞0，
可得﹣，
又直线y＝2x+t不经过点H（0，1），
且直线HM与HN的斜率存在，
∴t≠±1，
又，，
∴kHM+kHN＝
＝
＝4﹣＝1，
解得t＝3，
故t的值为3．
21．1．如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，DE＝3CF，BE与平面ABCD所成的角为45°．
（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；
（2）求二面角F﹣BE﹣D的余弦值．
【解答】（1）证明：∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．
∴DE⊥AC．
又底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
又BD∩DE＝D，
∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACE，
∴平面ACE⊥平面BDE．
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，
∵BE与平面ABCD所成的角为45°，即∠EBD＝45°，
∴DE＝BD＝AD＝3，CF＝DE＝．
∴A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，3），F（0，3，），
∴＝（﹣3，0，），＝（0，3，﹣2），
设平面BEF的一个法向量为＝（x，y，z），则，即，
令z＝3，则＝（2，4，3）．
又AC⊥平面BDE，∴＝（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．
∴cos＜＞＝＝＝．
∵二面角F﹣BE﹣D为锐角，
∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为．
22．（16分）已知椭圆C的焦点为（，0），（，0），且椭圆C过点M（4，1），直线l：y＝x+m不过点M，且与椭圆交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求证：直线MA，MB与x轴总围成一个等腰三角形．
【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为，
由椭圆的定义可得＝，
∴，b2＝a2﹣15＝5，
因此，椭圆C的标准方程为；
（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程代入椭圆方程，消去y并化简得5x2+8mx+4m2﹣20＝0，
由韦达定理可得，，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A、B，所以，△＝64m2﹣20（4m2﹣20）＝16（25﹣m2）＞0，解得﹣5＜m＜5，
所以，直线MA、MB的斜率都存在且不为零，
设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，
则＝
＝＝
＝，
故原命题成立．
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