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班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2019届高三第二次模拟考试卷
文 科 数 学（三）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·湘潭一模]设集合，，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．[2019·郴州质检]设，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．[2019·河南实验中学]如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
4．[2019·潍坊期末]若，则（ ）
A． B． C． D．
5．[2019·福建联考]“微信抢红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的总金额为8元，被随机分配为元，元，元，元，元，5份供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．[2019·宜昌调研]已知两点，以及圆，若圆上
存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．[2019·山东外国语]若函数在上为减函数，则函数的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
8．[2019·龙岩质检]已知定义在上的可导函数、满足，，，如果的最大值为，最小值为，则（ ）
A． B．2 C． D．3
9．[2019·泉州质检]已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
10．[2019·辽宁期末]在中，角，，所对的边分别是，，，已知，且，，则的面积是（ ）
A． B． C．或 D．或
11．[2019·湖北联考]如图，点为双曲线的右顶点，点为双曲线上一点，作轴，垂足为，若为线段的中点，且以为圆心，为半径的圆与双曲线恰有
三个公共点，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
12．[2019·哈尔滨六中]定义域为的函数，若关于的方程，恰有5个不同的实数解，，，，，则
等于（ ）
A．0 B．2 C．8 D．10
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．[2019·揭阳毕业]若向量、不共线，且，则_______．
14．[2019·荆州质检]函数在处的切线于坐标轴围成的三角形的面积为__________．
15．[2019·盐城一模]设函数，其中．若函数在上恰有2个零点，则的取值范围是________．
16．[2019·湖南联考]已知直线被抛物线截得的弦长为5，直线经过的焦点，为上的一个动点，设点的坐标为，则的最小值为______．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·呼和浩特调研]已知数列是等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是递增的等比数列且，，
求．
18．（12分）[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：
分组
频数
频率
2
18
10
3
合计
100
1
（1）求，；
（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管尺寸在或为合格等级，钢管尺寸在为优秀等级，钢管的检测费用为元/根．
①若从和的5件样品中随机抽取2根，求至少有一根钢管为合格的概率；
②若这批钢管共有2000根，把样本的频率作为这批钢管的频率，有两种销售方案：
（i）对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以45元/根售出；
（ii）对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根．
请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．
19．（12分）[2019·江西名校联考]如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是正方形，，，，点为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．
20．（12分）[2019·丰台期末]已知椭圆的右焦点为，离心率为，
直线与椭圆交于不同两点，，直线，分别交轴于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：．
21．（12分）[2019·德州期末]已知函数．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）若在恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·济南外国语]在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)，在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设点的坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·皖南八校]已知函数．
（1）解不等式：；
（2）若函数的最小值为，且，求的最小值．
2019届高三第二次模拟考试卷
文科数学（三）答 案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】C
【解析】由题意，集合，，根据集合的交集运算，
可得，故选C．
2．【答案】D
【解析】，∴的虚部是，故选D．
3．【答案】C
【解析】由三视图可知：该几何体为直三棱柱，并且为棱长是4的正方体的一半．
可得：该几何体的外接球的半径，该几何体的外接球的表面积，故选C．
4．【答案】C
【解析】，得到，所以，故选C．
5．【答案】D
【解析】由题意，所发红包的总金额为8元，被随机分配为元、元、元、元、元、5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，
甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为，
甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个，分别为
，，，，，，
所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为，故选D．
6．【答案】D
【解析】，点在以，两点为直径的圆上，该圆方程为，又点在圆上，两圆有公共点．两圆的圆心距，，
解得，故选D．
7．【答案】D
【解析】由函数在上为减函数，故．
函数是偶函数，定义域为或，
函数的图象，时是把函数的图象向右平移1个单位得到的，故选D．
8．【答案】D
【解析】，，
，则，故，
，则，
，，
故的图象关于对称，，，故选D．
9．【答案】A
【解析】设球的半径为，，，
由，得．又，得．
三棱锥的侧面积，
由，得，当且仅当时取等号，
由，得，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号．
∴三棱锥的侧面积的最大值为．故选A．
10．【答案】D
【解析】依题意有，
即或．
当时，由正弦定理得①，
由余弦定理得②，解由①②组成的方程组得，，
所以三角形面积为．
当时，，三角形为直角三角形，，
故三角形面积为．
综上所述，三角形的面积为或，故选D．
11．【答案】A
【解析】由题意可得，为线段的中点，可得，
令，代入双曲线的方程可得，
可设，由题意结合图形可得圆经过双曲线的左顶点，
即，即有，可得，，故选A．
12．【答案】C
【解析】一元二次方程最多两个解，当时，方程至多四个解，不满足题意，当是方程的一个解时，才有可能5个解，
结合图象性质，
可知，即，故答案为C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．【答案】3
【解析】由于，故，即，即，解得，
当时，，两者共线，不符合题意．故．所以．
14．【答案】
【解析】，，则，，
故曲线在点处的切线的方程为，
令，得；令，得，则直线与两坐标轴的交点为和，
所围成三角形的面积为，故答案为．
15．【答案】
【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，，，所以满足，解得．
16．【答案】
【解析】（1），
则，又直线经过的焦点，则，，
由此解得，抛物线方程为，，，
则，故当时，，
即答案为．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知得，，，．
（2）由已知得：，又是递增的等比数列，故解得，，，，
∴
．
18．【答案】（1），；（2）①，②选第ii种方案．
【解析】（1）由题意知：，
所以，所以．
（2）①记内径尺寸在的钢管为，，内径尺寸在的钢管为，
，，
共有，，，，，，，，，种情况，其中，满足条件的共有9种情况，所以所求概率为．
②由题意，不合格钢管的概率为，合格钢管的概率为，优秀钢管的概率为，不合格钢管40根，合格钢管有1360根，优秀等级钢管有600根．
若依第i种方案，则元；
若依第ii种方案，则元，
，故选第ii种方案．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）连接，与交于点，连接，
则为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）由点为的中点，且点平面可知，
点到平面的距离与点到平面的距离相等，
由四边形是正方形，，可得是三棱锥的高，
由题意得，，，，，所以，
在中，，，，
设点到平面的距离为，则，
由，得，，所以点到平面的距离为．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为．
（2）设，．由，得，
依题意，即，则，
因为
．
所以直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，即．
因为，所以．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）定义域是，当时，，
由，
令，，使，当时，，
单调递减；当时，，单调递增；
∴①，由②，③，
将②③代入①得：．
（2）由，
①当时，，在单调递增，
∴，满足题意；
②当时，
∵，∴，∴，∴，∴在单调递增，
需，解得，∴；
③当时，，使，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
，
∵，∴，，不恒成立，
综上，实数的取值范围是．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）曲线，即，
，，曲线的直角坐标方程为，即．
（2）将代入并整理得，
，，
，
，．
23．【答案】（1）；（2）1．
【解析】（1），
可得当时，，即，所以无解；
当时，，得，可得；
当时，，得，可得．
∴不等式的解集为．
（2）根据函数，
可知当时，函数取得最小值，可知，
∵，，，∴．
当且仅当，即时，取“”，∴的最小值为1．
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