2017-2018学年青岛市胶州市八年级下期中数学试卷（含答案解析）.doc

‎2017-2018学年山东省青岛市胶州市八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．已知实数a、b满足a+2＞b+2，则下列选项错误的为（　　）‎ A．a＞b B．a+1＞b+‎1 ‎C．﹣a＜﹣b D．‎2a＞3b ‎2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（　　）‎ A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）‎ A．三条中线的交点 ‎ B．三条高的交点 ‎ C．三条角平分线的交点 ‎ D．三条边的垂直平分线的交点 ‎5．下列关于等腰三角形的叙述错误的是（　　）‎ A．等腰三角形两底角相等 ‎ B．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合 ‎ C．等腰三角形的三边相等 ‎ D．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 ‎6．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度，得到△DEF，连接AD ‎，则四边形ABFD的周长为（　　）‎ A．6 B．‎8 ‎C．10 D．12‎ ‎7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎8．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（　　）‎ A．30 B．‎36 ‎C．45 D．72‎ ‎9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知＝﹣2x﹣1，|x+2|＝x+2，那么x的取值范围是（　　）‎ A．x≥﹣2 B．x≤﹣ C．﹣2 D．﹣‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是　 　．‎ ‎12．将一个等边三角形至少绕其中心旋转　 　°，就能与本身重合．‎ ‎13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B＝　 　．‎ ‎14．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝3，则BC的长度为　 　．‎ ‎15．如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（a，1），则关于x的不等式（k﹣3）x+3＞0的解集为　 　．‎ ‎16．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是　 　．‎ ‎17．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝3，将△ABC沿AB方向平移得△DEF，若△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，则AD＝　 　．‎ ‎18．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝　 　．‎ 三、解答题（本大题共7小题，满分66分）‎ ‎19．尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．‎ 已知：如图，线段a，h．‎ 求作：△ABC，使AB＝AC，且∠BAC＝∠α，高AD＝h．‎ ‎20．（20分）解答下列各题：‎ ‎（1）解不等式﹣x+1＜7x﹣3；‎ ‎（2）解不等式；‎ ‎（3）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．‎ ‎（4）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，试确定实数a的取值范围．‎ ‎21．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G在AC上，且DG＝DB，FG＝BE．‎ 求证：CD平分∠ACB．‎ ‎22．（6分）列不等式（组）解答：‎ 用20根长度相同的小木棍首尾相接，围成一个等腰三角形，最多可以围成多少种不同的等腰三角形？说明理由并分别写出能摆出的等腰三角形的边长．‎ ‎23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．‎ ‎（1）求证：△BDC≌△EFC；‎ ‎（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．‎ ‎24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：‎ ‎（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．‎ ‎（2）三角板绕点P旋转，△PCE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PCE为等腰三角形时BE的长）；若不能，请说明理由．‎ ‎25．（12分）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，下表中是近两天的销售情况：‎ 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 ‎3件 ‎5件 ‎1800元 第二天 ‎4件 ‎10件 ‎3100元 ‎（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）‎ ‎（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；‎ ‎（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？‎ ‎（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．‎ ‎2017-2018学年山东省青岛市胶州市八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题3分，共30分）‎ ‎1．已知实数a、b满足a+2＞b+2，则下列选项错误的为（　　）‎ A．a＞b B．a+1＞b+‎1 ‎C．﹣a＜﹣b D．‎2a＞3b ‎【分析】根据不等式的性质即可得到a＞b，a+1＞b+1，﹣a＜﹣b．‎ ‎【解答】解：由不等式的性质得a＞b，a+1＞b+1，﹣a＜﹣b．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了不等式的性质，关键是根据不等式的性质解答 ‎2．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；‎ B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；‎ C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；‎ D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎3．设a、b、c表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是（　　）‎ A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c ‎【分析】观察图形可知：b＝‎2c；a＞b．‎ ‎【解答】解：依题意得 b＝‎2c；a＞b．‎ ‎∴a＞b＞c．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查不等式的性质，渗透了数形结合的思想，属基础题．‎ ‎4．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　　）‎ A．三条中线的交点 ‎ B．三条高的交点 ‎ C．三条角平分线的交点 ‎ D．三条边的垂直平分线的交点 ‎【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．‎ ‎【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，‎ ‎∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为D．‎ ‎5．下列关于等腰三角形的叙述错误的是（　　）‎ A．等腰三角形两底角相等 ‎ B．等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合 ‎ C．等腰三角形的三边相等 ‎ D．等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形 ‎【分析】直接利用等腰三角形的性质分别分析得出答案．‎ ‎【解答】解：A、等腰三角形两底角相等，正确，不合题意；‎ B、等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，正确，不合题意；‎ C、等腰三角形的三边相等，错误，符合题意；‎ D、等腰三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，正确，不合题意；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，正确掌握等腰三角形的性质是解题关键．‎ ‎6．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向向右平移2个单位长度，得到△DEF，连接AD，则四边形ABFD的周长为（　　）‎ A．6 B．‎8 ‎C．10 D．12‎ ‎【分析】根据平移的性质可得DF＝AC、AD＝CF＝2，然后求出四边形ABFD的周长等于△ABC的周长与AD、CF的和，再求解即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC沿BC方向平移‎2cm得到△DEF，‎ ‎∴DF＝AC，AD＝CF＝2，‎ ‎∴四边形ABFD的周长＝AB+BF+DF+AD ‎＝AB+BC+CF+AC+AD ‎＝△ABC的周长+AD+CF ‎＝8+2+2‎ ‎＝12．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．‎ ‎7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（　　）‎ A．3 B．‎4 ‎C．5 D．6‎ ‎【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，‎ ‎∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，‎ ‎∴DE＝CD，‎ ‎∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，‎ 解得DE＝3．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．‎ ‎8．如图，在△ABC中，AC＝BC，D、E分别是AB、AC上一点，且AD＝AE，连接DE并延长交BC的延长线于点F，若DF＝BD，则∠A的度数为（　　）‎ A．30 B．‎36 ‎C．45 D．72‎ ‎【分析】由CA＝CB，可以设∠A＝∠B＝x．想办法构建方程即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵CA＝CB，‎ ‎∴∠A＝∠B，设∠A＝∠B＝x．‎ ‎∵DF＝DB，‎ ‎∴∠B＝∠F＝x，‎ ‎∵AD＝AE，‎ ‎∴∠ADE＝∠AED＝∠B+∠F＝2x，‎ ‎∴x+2x+2x＝180°，‎ ‎∴x＝36°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎9．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，则DE的长为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连接AD，根据已知和等腰三角形的性质得出AD⊥BC和BD＝6，根据怪怪的求出AD，根据三角形的面积公式求出即可．‎ ‎【解答】解：连接AD，‎ ‎∵AB＝AC，D为BC的中点，BC＝12，‎ ‎∴AD⊥BC，BD＝DC＝6，‎ 在Rt△ADB中，由勾股定理得：AD＝＝＝8，‎ ‎∵S△ADB＝，‎ ‎∴DE＝＝＝，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积，能求出AD的长是解此题的关键．‎ ‎10．已知＝﹣2x﹣1，|x+2|＝x+2，那么x的取值范围是（　　）‎ A．x≥﹣2 B．x≤﹣ C．﹣2 D．﹣‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：＝﹣2x﹣1，|x+2|＝x+2，‎ ‎∴﹣2x﹣1≥0，x+2≥0，‎ 解得：﹣2≤x≤﹣．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出各式的符号是解题关键．‎ 二、填空题（每小题3分，共24分）‎ ‎11．已知等腰三角形的两边长分别是4和9，则周长是　22　．‎ ‎【分析】根据腰为4或9，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断．‎ ‎【解答】解：当等腰三角形的腰为4时，三边为4，4，9，4+4＜9，三边关系不成立，‎ 当等腰三角形的腰为9时，三边为4，9，9，三边关系成立，周长为4+9+9＝22．‎ 故答案为：22．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据已知边那个为腰，分类讨论．‎ ‎12．将一个等边三角形至少绕其中心旋转　120　°，就能与本身重合．‎ ‎【分析】一个正三角形的三个顶点中，每两个相邻顶点与中心的角度是，即120°，因此，一个正三角形至少绕其中心旋转120°，就能与本身重合．‎ ‎【解答】解：360°÷3＝120°，因此，一个正三角形至少绕其中心旋转120度，就能与本身重合，‎ 故答案为：120‎ ‎【点评】本题主要是考查正三角形的特征．一个正多边形每两个相邻顶点与中心构成的角度是360°除以这个多边形的边数，绕中心每旋转这个数度或这个度数的整数倍时，就能与自身重合．‎ ‎13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB＝2：1，则∠B＝　22.5°　．‎ ‎【分析】由DE是AB的垂直平分线，利用线段的垂直平分线的性质得∠B＝∠BAD，结合∠CAD：∠DAB＝2：1与直角三角形两锐角互余，可以得到答案．‎ ‎【解答】解：在Rt△ABC中 ‎∵DE是AB的垂直平分线 ‎∴∠B＝∠BAD ‎∵∠CAD：∠DAB＝2：1‎ ‎∴4∠B＝90°‎ ‎∴∠B＝22.5°‎ 故答案为22.5°．‎ ‎【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．由已知条件得出4∠B＝90°是正确解答本题的关键．‎ ‎14．如图，△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝3，则BC的长度为　　．‎ ‎【分析】根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，计算得到BC．‎ ‎【解答】解：在△ADB中，∠B＝30°，AB＝3，‎ ‎∴AD＝，‎ 由勾股定理得，BD＝，‎ 在△ADC中，∠C＝45°，AD＝，‎ ‎∴CD＝，‎ ‎∴BC＝BD+CD＝，‎ 故答案为：，‎ ‎【点评】本题考查的是勾股定理，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．‎ ‎15．如图，正比例函数y＝x与一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象交于点A（a，1），则关于x的不等式（k﹣3）x+3＞0的解集为　x＞3　．‎ ‎【分析】把点A（a，1）代入正比例函数，进而利用一次函数与一元一次不等式的关系解答即可．‎ ‎【解答】解：把点A（a，1）代入正比例函数y＝x，可得：a＝3，‎ 即点A的坐标为（3，1），‎ 所以关于x的不等式（k﹣3）x+3＞0的解集为x＞3；‎ 故答案为：x＞3‎ ‎【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．‎ ‎16．如图，△ABC的顶点都在方格线的交点（格点）上，如果将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，那么点B的对应点B′的坐标是　（1，0）　．‎ ‎【分析】先画出旋转后的图形，然后写出B′点的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转90°，点B的对应点B′的坐标为（1，0）．‎ 故答案为：（1，0）．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．‎ ‎17．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AB＝3，将△ABC沿AB方向平移得△DEF，若△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，则AD＝　　．‎ ‎【分析】依据△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，即可得到DG＝BG＝2，再根据勾股定理可得BD＝＝2，即可得出AD＝AB﹣BD＝．‎ ‎【解答】解：由平移可得∠BDG＝∠A＝45°＝∠ABC，‎ ‎∴△BDG是等腰直角三角形，‎ ‎∵△ABC与△DEF重叠部分的面积为2，‎ ‎∴DG×BG＝2，‎ ‎∴DG＝BG＝2，‎ ‎∴BD＝＝2，‎ ‎∴AD＝AB﹣BD＝3﹣2＝，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题主要考查了平移的性质以及等腰直角三角形的性质的运用，等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．‎ ‎18．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝15，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥AB，交BC于点D，则CD＝　5　．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠B＝∠C＝30°，根据直角三角形的性质得到AD＝BD，计算即可．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，‎ ‎∴∠B＝∠C＝30°，‎ ‎∵AB⊥AD，‎ ‎∴∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠DAC＝30°，AD＝BD，‎ ‎∴DA＝DC，‎ ‎∴BC＝DC+2DC＝15，‎ ‎∴CD＝5，‎ 故答案为5．‎ ‎【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．‎ 三、解答题（本大题共7小题，满分66分）‎ ‎19．尺规作图：用直尺和圆规作图，不写作法，保留痕迹．‎ 已知：如图，线段a，h．‎ 求作：△ABC，使AB＝AC，且∠BAC＝∠α，高AD＝h．‎ ‎【分析】作∠CAB＝∠α，再作∠CAB的平分线，在角平分线上截取AD＝h，可得点D，过点D作AD的垂线，从而得出△ABC．‎ ‎【解答】解：如图所示，△ABC即为所求．‎ ‎【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，掌握做一个角等于已知角、作角平分线及过直线上一点作已知直线的垂线的基本作图和等腰三角形的性质是解题的关键．‎ ‎20．（20分）解答下列各题：‎ ‎（1）解不等式﹣x+1＜7x﹣3；‎ ‎（2）解不等式；‎ ‎（3）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．‎ ‎（4）已知关于x的不等式组恰好有两个整数解，试确定实数a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1可得；‎ ‎（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；‎ ‎（3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；‎ ‎（4）首先解不等式组求得解集，然后根据不等式组只有两个整数解，确定整数解，则可以得到一个关于a的不等式组求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）﹣x﹣7x＜﹣3﹣1，‎ ‎﹣8x＜﹣4，‎ x＞；‎ ‎（2）2（1﹣2x）≥4﹣3x，‎ ‎2﹣4x≥4﹣3x，‎ ‎﹣4x+3x≥4﹣2，‎ ‎﹣x≥2，‎ x≤﹣2；‎ ‎（3）3（x+1）﹣2（x﹣2）≤6，‎ ‎3x+3﹣2x+4≤6，‎ ‎3x﹣2x≤6﹣3﹣4，‎ x≤﹣1，‎ 将解集表示在数轴上如下：‎ ‎（4）解不等式3+4（x+1）＞1，得：x＞﹣，‎ 解不等式a﹣＞﹣1，得：x＜‎2a+1，‎ ‎∵不等式组恰有2个整数解，‎ ‎∴0＜‎2a+1≤1，‎ 解得：﹣＜a≤0．‎ ‎【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．‎ ‎21．（6分）已知：如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，点G在AC上，且DG＝DB，FG＝BE．‎ 求证：CD平分∠ACB．‎ ‎【分析】根据全等三角形的判定和性质解答即可．‎ ‎【解答】证明：∵DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，‎ ‎∴∠DEB＝∠DFG＝90°，‎ 在Rt△DBE与Rt△DGF中 ‎，‎ ‎∴Rt△DBE≌Rt△DGF（HL），‎ ‎∴DE＝DF，‎ ‎∴CD平分∠ACB．‎ ‎【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL证明Rt△DBE≌Rt△DGF．‎ ‎22．（6分）列不等式（组）解答：‎ 用20根长度相同的小木棍首尾相接，围成一个等腰三角形，最多可以围成多少种不同的等腰三角形？说明理由并分别写出能摆出的等腰三角形的边长．‎ ‎【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系，可以求得腰长的取值范围，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：设腰长为x根，那么底边长为（20﹣2x）根，‎ ‎，得5＜x＜10，‎ ‎∵x为整数，‎ ‎∴x＝6，7，8，9，‎ ‎∴最多可以围成四种不同的等腰三角形，它们的边长分别为：6，6，8；7，7，6；8，8，4；9，9，2．‎ ‎【点评】本题考查等腰三角形的判定、由实际问题抽象出一元一次不等式、三角形三边关系，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎23．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AB、AC上，且CE＝BC，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得到CF，连接EF．‎ ‎（1）求证：△BDC≌△EFC；‎ ‎（2）若EF∥CD，求证：∠BDC＝90°．‎ ‎【分析】（1）根据旋转的性质可得CD＝CF，∠DCF＝90°，然后根据同角的余角相等求出∠BCD＝∠ECF，再利用“边角边”证明即可；‎ ‎（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠F＝90°，再根据全等三角形对应角相等可得∠BDC＝∠F．‎ ‎【解答】证明：（1）由旋转的性质得，CD＝CF，∠DCF＝90°，‎ ‎∴∠DCE+∠ECF＝90°，‎ ‎∵∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠BCD+∠DCE＝90°，‎ ‎∴∠BCD＝∠ECF，‎ 在△BDC和△EFC中，‎ ‎，‎ ‎∴△BDC≌△EFC（SAS）；‎ ‎（2）∵EF∥CD，‎ ‎∴∠F+∠DCF＝180°，‎ ‎∵∠DCF＝90°，‎ ‎∴∠F＝90°，‎ ‎∵△BDC≌△EFC，‎ ‎∴∠BDC＝∠F＝90°．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，此类题目难点在于利用同角的余角相等求出相等的角．‎ ‎24．（10分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E 两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：‎ ‎（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．‎ ‎（2）三角板绕点P旋转，△PCE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PCE为等腰三角形时BE的长）；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）PD＝PE，通过证△DPC≌△PEB，可得结论 ‎（2）分三种情况讨论，可求解．‎ ‎【解答】解：（1）PD＝PE 如图 连接PB ‎∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB中点 ‎∴CP⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝∠ACB＝45°‎ ‎∴∠ACP＝∠B＝∠BCP＝45°‎ ‎∴BP＝CP ‎∵∠DPC+∠CPE＝90°＝∠BPE+∠CPE ‎∴∠DPC＝∠PBE且BP＝CP，∠ACP＝∠B ‎∴△DPC≌△PEB ‎∴DP＝PE ‎（2）∵AC＝BC＝2，∠C＝90°‎ ‎∴AB＝2‎ ‎∴AP＝BP＝CP＝‎ ‎△PCE是等腰三角形 当PC＝PE＝时，即B，E重合，BE＝0‎ 当PC＝CE＝时，E在线段BC上，则BE＝2﹣‎ ‎ E在线段BC的延长线上，则BE＝2+‎ 当PE＝EC，且∠PCB＝45°‎ ‎∴∠PEC＝90°‎ ‎∴EC＝1‎ ‎∴BE＝1‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论思想，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．‎ ‎25．（12分）某服装店销售一批进价分别为200元、170元的A、B两款T恤衫，下表中是近两天的销售情况：‎ 销售时段 销售数量 销售收入 A B 第一天 ‎3件 ‎5件 ‎1800元 第二天 ‎4件 ‎10件 ‎3100元 ‎（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本）‎ ‎（1）求A、B两款T恤衫的销售单价；‎ ‎（2）若该服装店老板准备用不多于5400元的金额再购进这两款T恤衫共30件，求A款T恤衫最多能采购多少件？‎ ‎（3）在（2）的条件下，在销售完这30件T恤衫能否实现利润为1400元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）设A款T恤衫的销售单价为x元/件，B款T恤衫的销售单价为y元/件，根据总价＝单价×销售数量结合表格中的数据，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；‎ ‎（2）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，根据总进价＝进价×进货数量结合总进价不多于5400元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论；‎ ‎（3）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之再与（2）的结论进行比较即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设A款T恤衫的销售单价为x元/件，B款T恤衫的销售单价为y元/件，‎ 根据题意得：，‎ 解得：．‎ 答：A款T恤衫的销售单价为250元/件，B款T恤衫的销售单价为210元/件．‎ ‎（2）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，‎ 根据题意得：‎200a+170（30﹣a）≤5400，‎ 解得：a≤10．‎ 答：A款T恤衫最多能采购10件．‎ ‎（3）设购进A款T恤衫a件，则购进B款T恤衫（30﹣a）件，‎ 根据题意得：（250﹣200）a+（210﹣170）（30﹣a）＝1400，‎ 解得：a＝20．‎ ‎∵a≤10，‎ ‎∴在（2）的条件下不能实现利润为1400元的目标．‎ ‎【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．‎