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温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题（共40分）
注意事项:
1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。
3. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：
如果事件互斥,那么 如果事件相互独立,那么
.
柱体的体积公式. 锥体的体积公式.
其中表示柱体的底面积, 其中表示锥体的底面积,
表示柱体的高. 表示锥体的高.
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. [
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）设集合，，则
(A) (B) (C) (D)
(2) 设变量满足约束条件则的最大值为
(A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4
（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A）1
（B）
（C）
（D）
(4) 在△中,若,,则△的面积为
(A) (B) (C) (D) 2
(5) 不等式成立的充分不必要条件是
(A) (B) (C) 或 (D) 或
(6) 已知，则下列不等式一定成立的是
(A) (B) (C) (D)
(7) 设双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为
(A) (B) (C) (D)
(8) 已知函数，若关于的方程恰有三
个不相等的实数解,则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
第Ⅱ卷 非选择题（共110分）
注意事项:
1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。
2. 本卷共12小题，共110分。
二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卷上. []
(9) 已知，且复数是纯虚数,则 .
(10) 直线与圆
交于两点，若为等腰直角三角形，则
.
(11) 已知一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm)，则该
几何体的体积为 cm³.
(12) 已知函数，若，但不是函数的极值点，则的值为 .
(13) 如图,在直角梯形中,,.若
分别是边、 上的动点,满足，，
其中,若,则的值为 .
(14) 已知正数满足，则的最小值是 .
三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15) (本小题满分13分)
设的内角所对边的长分别是，且.
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)求的值.
(16) (本小题满分13分)
为预防病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于%，则认为测试没有通过），公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：[]
组
组
组
疫苗有效
疫苗无效
已知在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率是．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取个测试结果，问应在组抽取多少个？
（Ⅲ）已知，，求不能通过测试的概率．
(17) (本小题满分13分)
如图，在四棱柱 中，
，，，
且．
（Ⅰ）求证：平面 ；
（Ⅱ） 求证： ；
（Ⅲ） 若 ，判断直线与平面 是否垂直?并说明理由．
(18) (本小题满分13分)
已知数列的前项和为,是等差数列，且.
(Ⅰ) 求数列、的通项公式；
(Ⅱ) 令,求数列的前项和.
(19) (本小题满分14分)
已知椭圆经过点,左、右焦点分别、，椭圆的四个顶点围成的菱形面积为.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 设是椭圆上不在轴上的一个动点,为坐标原点,过点作的平行线交椭圆于、两点，求的值.
(20) (本小题满分14分)
已知函数.
（Ⅰ）求函数的极值点；
（Ⅱ）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；
（Ⅲ）设函数，其中，求函数在区间上的
最小值.（其中为自然对数的底数）
和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第一次质量调查
数学（文）学科试卷参考答案
一、选择题 (每小题5分，共40分)
(1) C (2) C (3) B (4) C (5) A (6) D (7) B (8) C
二、填空题 (每小题5分，共30分)
(9) (10) 或 (11) (12) (13) (14)
三、解答题 (本大题共6小题，共80分)
(15) (本题13分)
(Ⅰ) 解:由，知， …………(1 分)
由正、余弦定理得. ………………(3 分)
因为，所以,则. ………………(5 分)
(Ⅱ) 解:由余弦定理得. … …(6 分)
由于，所以 …(8 分)
故 …(11 分)[]
……… (13 分)
（16）（(本小题满分13分)
（Ⅰ）解： 在全体样本中随机抽取个，抽到组疫苗有效的概率为，
即 ∴ . …………（4分）
（Ⅱ）解：组样本个数为:，
用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，应在C组抽取个数为
（个）． ………（8分）
（Ⅲ）解：设测试不能通过事件为，组疫苗有效与无效的可能的情况记为.
由（Ⅱ）知 ，且 ,基本事件空间包含的基本事件有：
、、、、、共个 . (10分）
若测试不能通过，则，即.
事件包含的基本事件有：、共个，
∴ . ∴故不能通过测试的概率为. …………（13分）（17）(本小题满分13分)
（Ⅰ）证明：∵ ，，
，
∴ ．
∵ ，，…（2分）
，
∴ ． …………（3分）
又因为 ．∴平面 ． ……（4分）
又因为 ，∴ ． ……（5分）
（Ⅱ）证明：∵，．∴．…………（6分）
又∵ ，，∴ ．………（7分）
又∵ ．∴． ……………（8分）（Ⅲ）结论：直线 与平面 不垂直．
证明：假设 ，
由 ，得 ． ……………………（9分）
由棱柱 中，，，
可得 ，．
又∵ ，∴ ． ……（11分）
∴ ．又∵ ，∴ ． …（12分）
∴ ．这与四边形 为矩形，且 矛盾．
故直线 不垂直． …………………（13分）
(18) (本题13分)
(Ⅰ) 解: 当时, 由. …………………………(1 分)
当≥时,由. ………………………(2 分)
∵也符合上式，
∴数列的通项公式为. ………………………(3 分)
设数列的首项，公差为,
由得，即[]
解得, ……………………………………………(5 分)
∴. ………………………………………(6 分)
(Ⅱ) 解: 由(Ⅰ)得 ……………………(8 分)
∴
……………………(9 分)
则
两式作差得
……(10 分)
………(12 分)
所以， ………………………(13 分)
(19) (本题14分)
(Ⅰ) 解: 由题知 解得 …………(3 分)
则椭圆的标准方程为. ……………………………(4 分)
(Ⅱ) 解：由(Ⅰ)知,, …………………………(5 分)
设直线，则直线 ………………………(6 分)
联立得
所以. ………………………(8 分)
由 得 . ………(9 分)
设，则. …(10 分)
所以 ………(11 分)
. ……(13 分)
所以 ……………………(14分)
(20) (本小题满分14分)
（Ⅰ）解： ，， ……………………（2分）
由得，
所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增…………（4分）
所以，是函数的极小值点，极大值点不存在. …………（5分）
（Ⅱ）解：设切点坐标为，则， ……………（6分）
切线的斜率为，
所以，， ………………（7分）
解得，，
所以直线的方程为. ………………（9分）
（Ⅲ）解：，
则， ………………（10分）
解，得，
所以，在区间上，为递减函数，
在区间上，为递增函数. ………………（11分）
当，即时，在区间上，为递增函数，
所以最小值为. ………………（12分）
当，即时，的最小值为. …（13分）
当，即时，在区间上，为递减函数，
所以最小值为. ……………（14分）
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