清华大学附中2019届高三数学下学期一模试题(文科有答案)
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资料简介
北京市清华大学附属中学 2019 届高三下学期第一次模拟 考试 数学(文)试题(2019.04) 出卷人:林苗欣 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 20 小题,满分 150 分. 考 试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答题前,考生先将自已所在县(市、区)、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚, 将条形码粘贴在指定区域。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如需要改 动用先橡皮擦干净,再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作 答。在试题卷上作答,答案无效。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿 纸、试题卷上答题无效。 4.考试结束,监考人员将试卷、答题卷一并收回。 5.保持答题卷清洁,不要折叠、不要弄破。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合 { 1,0,1,2}M   , { | 2 1, }N y y x x M    ,则集合 NM  等于 (A){ 1,1} (B){1,2} (C){ 1,1,3,5} (D){ 1,0,1,2} 2.为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学,在某景区,由于时 间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览,高一 1 班的 27 名 同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选,据了解,在甲、乙两个景点中有 18 人会选择甲,在乙、丙两个景 点中有 18 人会选择乙,那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是 ①该班选择去甲景点游览; ②乙景点的得票数可能会超过 9; ③丙景点的得票数不会比甲景点高; ④三个景点的得票数可能会相等. (A)①② (B)①③ (C)②④ (D)③④ 3.已知平面向量 , ,a b c 均为非零向量,则“ ( ) ( )    a b c b c a ”是“向量 ,a c 同向”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 4.若 ,x y 满足 2 0, 2 2 0, 0, x y x y y          则 y x 的最大值为 (A) 2 (B) 1 (C) 2 (D) 4 5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体 的表面积为 (A)8 4 2 (B) 2 2 2 4 3  (C) 2 6 3 (D) 2 4 2 2 3  6.已知 F 为抛物线 2: 4C y x 的焦点,过 点 F 的直线l 交抛物线 C 于 ,A B 两 点,若| | 8AB  ,则线段 AB 的中点 M 到直线 1 0x   的距离为 (A) 2 (B) 4 (C)8 (D)167.正方形 ABCD 的边长为1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, 1 1,2 4AE BF  .动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞的次数为 (A) 4 (B)3 (C)8 (D) 6 8.地铁某换乘站设有编号为 A,B,C,D,E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散 1000 名乘客所需的时间如下: 安全出口编号 A,B B,C C,D D,E A,E 疏散乘客时间(s) 120 220 160 140 200 则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是 (A)A (B)B (C)D (D)E 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分. 9.函数 1 | | 2y x   的最大值是 ______ . 10. ,A B 两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院 参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如下表: A 小区 B 小区 往返车费 3元 5 元 服务老人的人数 5 人 3人根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过 37 元,且 B 小区参加献爱心活动的 同学比 A 小区的同学至少多 1 人,则接受服务的老人最多有 ______ 人. 11.已知圆 2 2: 2 4 1 0C x y x y     内有一点 (2,1),P 经过点 P 的直线 l 与圆 C 交于 ,A B 两点, 当弦 AB 恰被点 P 平分时,直线 l 的方程为 ______. 12.在等差数列{ }na 中 3 0a  ,如果 ka 是 6a 与 6ka  的等比中项,那么 k  ______ . 13.已知函数 1( ) cosf x xx   ,给出下列结论: ① ( )f x 在 π(0, )2 上是减函数; ② ( )f x 在 (0,π) 上的最小值为 2 π ; ③ ( )f x 在 (0,2π) 上至少有两个零点. 其中正确结论的序号为 ______.(写出所有正确结论的序号) 14.无穷数列 na 的前 n项和为 nS ,若对任意 *nN ,  1,2nS  . ①数列 na 的前三项可以为____; ②数列 na 中不同的项最多有____个. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数   4cos sin 16f x x x       . (Ⅰ)求 2 3f      的值; (Ⅱ)求  f x 的最小正周期,并画出  f x 在区间 0, 上的图象.16.(本小题满分 13 分) 已知数列 是等差数列, 是等比数列, , , , . (Ⅰ)求 和 的通项公式; (Ⅱ)若 ,求数列 的前 2n 项和 . 17.(本小题满分 13 分) 已知某单位全体员工年龄频率分布表为: 年龄(岁) [25, 30) [30, 35) [35, 40) [40, 45) [45, 50) [50, 55) 合计 人数(人) 6 18 50 31 19 16 140 经统计,该单位 35 岁以下的青年职工中,男职工和女职工人数相等,且男职工...的年龄频 率分布直方图和如下: (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求该单位男女职工的比例;(Ⅲ)若从年龄在[25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动,求恰好抽取一名男职工 和一名女职工的概率. 18.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,平面 PAC⊥平面 ABC,PA⊥AC,AB⊥BC.设 D,E 分别为 PA, AC 中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面 PBC; (Ⅱ)求证:BC⊥平面 PAB; (Ⅲ)试问在线段 AB 上是否存在点 F,使得过三点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平 面 PBC 平行?若存在,指出点 F 的位置并证明;若不存在,请说明理由. 19.(本小题满分 13 分) 已知函数 2( ) ( 2) lnf x ax a x x    . (Ⅰ)若函数 ( )f x 在 1x  时取得极值,求实数 a 的值; (Ⅱ)当 0 1a< < 时,求 ( )f x 零点的个数. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ,右焦点为 ( ,0)F c ,左顶点为 A ,右顶 点 B 在直线l : 2x  上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 是椭圆C 上异于 A , B 的点,直线 AP 交直线 l 于点 D ,当点 P 运动时,判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系,并加以证明. 北京市清华大学附属中学 2019 届高三下学期第一次模拟考试 (2019.04) 文科数学试题参考答案及评分标准 一.选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C B C D C 二.填空题 9. 1 2 10. .3511. 1 0x y   12.9 13.①③14.1,1,0(答案不唯一); 4 三.解答题 15. 解 : ( I ) 2 2 24cos sin 13 3 3 6f                24 cos sin 13 2    14 1 12         1 .……. 3 分(Ⅱ)   4cos sin 16f x x x       4cos sin cos cos sin 16 6x x x       3 14cos sin cos 12 2x x x        22 3sin cos 2cos 1x x x   3sin2 cos2x x  3 12 sin2 cos22 2x x       2sin 2 6x     . ……………………………………………………..9 分 所以 ( )f x 的最小正周期 2 2T    .………………………………….10 分 因为  0,x  ,所以 112 ,6 6 6x         . 列表如下: 2 6x -  6 -  0 2   3 2  11 6  x 0 12  3  7 12  5 6   ( )f x 1- 0 2 0 2- 1- …………………………..13 分 16.解:(I)数列 是等差数列, 是等比数列,设公差为 d ,公比为 q .由于: , , , . 则: , 解得: , . 故: . …………………………..6 分 (II )由于: , 则: . 故: , , . …………………………..13 分 17.解:(Ⅰ)由男职工的年龄频率分布直方图可得: ( 0.01 0.04 0.08 0.025 0.025) 5 1a        . 所以 0.02a  . (Ⅱ)该单位[25, 35)岁职工共 24 人,由于[25, 35)岁男女职工人数相等,所以[25, 35)岁 的男职工共 12 人. 由(Ⅰ)知,男职工年龄在[25, 35)岁的频率为 0.15 , 所以男职工共有 12 800.15  人, 所以女职工有140 80=60- 人, 所以男女比例为 4 ∶ 3 . (Ⅲ)由男职工的年龄频率分布直方图可得:男职工年龄在[25, 30)岁的频率为 0.05 . 由(Ⅱ)知,男职工共有 80 人,所以男职工年龄在[25, 30)岁的有 4 人,分别记为1 2 3 4, , ,A A A A . 又全体员工年龄在[25, 30)岁的有 6 人,所以女职工年龄在[25, 30)岁的有 2 人,分别记为 1 2,B B . 从 年 龄 在 25~30 岁 的 职 工 中 随 机 抽 取 两 人 的 结 果 共 有 1 2 1 3 1 4( ) ( ) ( )A A A A A A, , , , , , 1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A A A A A B A B A A A B A B, , , , , , , , , , , , , , , , , , 4 1 4 2 1 2( ) ( ) ( )A B A B B B, , , , , 15种情况, 其中一男一女的有 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B A B A B, , , , , , , , , , , , 4 1 4 2( ) ( )A B A B, , , 8 种情况, 所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为 8 15 . ……………………13 分 18.解:(Ⅰ)证明:因为点 E 是 AC 中点,点 D 为 PA 的中点,所以 DE ∥ PC. 又因为 DE ⊄ 面 PBC,PC ⊂ 面 PBC, 所以 DE ∥ 平面 PBC. ….(4 分) (Ⅱ)证明:因为平面 PAC ⊥ 面 ABC,平面 PAC∩平面 ABC=AC,又 PA ⊂平面 PAC,PA ⊥ AC, 所以 PA ⊥ 面 ABC, 因为 BC ⊂ 平面 ABC, 所以 PA ⊥ BC. 又因为 AB ⊥ BC,且 PA∩AB=A, 所以 BC ⊥ 面 PAB. ….(9 分) (Ⅲ)解:当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D,E,F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 行. 取 AB 中点 F,连 EF,连 DF. 由(Ⅰ)可知 DE ∥ 平面 PBC. 因为点 E 是 AC 中点,点 F 为 AB 的中点,所以 EF ∥ BC. 又因为 EF ⊄ 平面 PBC,BC ⊂ 平面 PBC, 所以 EF ∥ 平面 PBC. 又因为 DE∩EF=E, 所以平面 DEF ∥ 平面 PBC, 所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行. 故当点 F 是线段 AB 中点时,过点 D,E,F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平 行. ….(14 分) 19.解:(I) ( )f x 定义域为 (0, ) . 21 2 ( 2) 1 (2 1)( 1)'( ) 2 ( 2) ax a x x axf x ax a x x x           . 由已知,得 '(1) 0f  ,解得 1a = . 当 1a = 时, (2 1)( 1)'( ) x xf x x   . 所以 '( ) 0 0 1, '( ) 0 1f x x f x x       . 所以 ( )f x 减区间为 (0,1) ,增区间为 (1, )+ ¥ . 所以函数 ( )f x 在 1x  时取得极小值,其极小值为 (1) 0f = ,符合题意 所以 1a  .……………………………………………………………………5 分 (II )令 (2 1)( 1)'( ) 0x axf x x    ,由 0 1a< < ,得 1 1x a = > . 所以 1 1'( ) 0 0 , '( ) 0f x x f x xa a        . 所以 ( )f x 减区间为 1(0, )a ,增区间为 1( , )a + ¥ . 所以函数 ( )f x 在 1x a  时取得极小值,其极小值为 1 1( ) ln 1f aa a = + - . 因为 0 1a< < ,所以 1ln 0 , 1a a   . 所以 11 0a   .所以 1 1( ) ln 1 0f aa a = + - < . 因为 2 1 ( 2) ( 2) ( 2 )( ) 1 1a a a a ef e e e e e - - - += + + > + = , 又因为0 1a< < ,所以 2 0a e- + > . 所以 1( ) 0f e > .根据零点存在定理,函数 ( )f x 在 1(0, )a 上有且仅有一个零点. 因为 lnx x> , 2 2( ) ( 2) ln ( 2) ( 3)f x ax a x x ax a x x x ax a           . 令 3 0ax a   ,得 3 ax a -> . 又因为0 1a< < ,所以 3 1a a a - > . 所以当 3 ax a -> 时, ( ) 0f x > . 根据零点存在定理,函数 ( )f x 在 1( , )a + ¥ 上有且仅有一个零点. 所以,当 0 1a< < 时, ( )f x 有两个零点.………………………………13 分 20.解:(Ⅰ)依题可知 ( 0)B a, , 2a  因为 1 2 ce a   , 所以 1c  3b  故椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . (Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下:由题意可设直线 AP 的方程为 ( 2)( 0)y k x k   . 则点 D 坐标为 2 4 )k( , , BD 中点 E 的坐标为 2 2 )k( , , 由 2 2 ( 2), 14 3 y k x x y     得 2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k     . 设点 P 的坐标为 0 0( , )x y ,则 2 0 2 16 122 3 4 kx k    . 所以 2 0 2 6 8 3 4 kx k   , 0 0 2 12( 2) 3 4 ky k x k     . 因为点 F 坐标为 (1, 0) , 1 当 1 2k   时,点 P 的坐标为 3(1, )2  ,直线 PF 的方程为 1x  , 点 D 的坐标 为 (2, 2) . 此时以 BD 为直径的圆 2 2( 2) ( 1) 1x y   与直线 PF 相切.2 当 1 2k   时,直线 PF 的斜率 0 2 0 4 1 1 4PF y kk x k    . 所以直线 PF 的方程为 2 4 ( 1)1 4 ky xk   ,即 21 4 1 04 kx yk    . 故点 E 到直线 PF 的距离 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4| 2 2 1|4 2 | 2 | 1 4 1 41 ( ) ( )4 4 k kkkd k k k k k          (或直线 PF 的方程为 2 2 4 4 01 4 1 4 k kx yk k     , 故点 E 到直线 PF 的距离 2 2 2 2 2 8 421 4 1 4 16 1(1 4 ) k kkk kd k k     3 2 2 2 2 8 1 4 2 | |1 4 | 1 4 | k k k kk k     ) 又因为 kRBD 42  ,故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当点 P 运动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 解法二: (Ⅱ)以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 证明如下: 设点 0 0( , )P x y ,则 2 2 0 0 01( 0)4 3 x y y   1 当 0 1x  时,点 P 的坐标为 3(1, )2  ,直线 PF 的方程为 1x  , 点 D 的坐标为 (2, 2) , 此时以 BD 为直径的圆 2 2( 2) ( 1) 1x y   与直线 PF 相切, 2 当 1x  时直线 AP 的方程为 0 0 ( 2)2 yy xx   , 点 D 的坐标为 0 0 4(2, )2 y x  , BD 中点 E 的坐标为 0 0 2(2, )2 y x  ,故 0 0 2| | | |2 yBE x   直线 PF 的斜率为 0 0 1PF yk x   , 故直线 PF 的方程为 0 0 ( 1)1 yy xx   ,即 0 0 1 1 0xx yy    ,所以点 E 到直线 PF 的距离 0 0 0 0 0 020 0 1 2| 2 1|2 2| | | |211 ( ) x y y x yd BExx y      故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切. 综上得,当点 P 运动时,以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切.

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