北京市清华大学附属中学 2019 届高三下学期第一次模拟
考试
数学（文）试题(2019.04)
出卷人：林苗欣
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 20 小题，满分 150 分. 考
试用时 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚，
将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改
动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作
答。在试题卷上作答，答案无效。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效。
4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。
5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1.若集合 { 1,0,1,2}M , { | 2 1, }N y y x x M ,则集合 NM 等于
（A）{ 1,1} （B）{1,2} （C）{ 1,1,3,5} （D）{ 1,0,1,2}
2.为弘扬中华传统文化,某校组织高一年级学生到古都西安游学,在某景区,由于时
间关系,每个班只能在甲、乙、丙三个景点中选择一个游览,高一 1 班的 27 名
同学决定投票来选定游览的景点,约定每人只能选择一个景点,得票数高于其它景点的入选,据了解,在甲、乙两个景点中有 18 人会选择甲,在乙、丙两个景
点中有 18 人会选择乙,那么关于这轮投票结果,下列说法正确的是
①该班选择去甲景点游览;
②乙景点的得票数可能会超过 9;
③丙景点的得票数不会比甲景点高;
④三个景点的得票数可能会相等.
（A）①② （B）①③ （C）②④ （D）③④
3.已知平面向量 , ,a b c 均为非零向量,则“ ( ) ( ) a b c b c a ”是“向量 ,a c 同向”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4.若 ,x y 满足
2 0,
2 2 0,
0,
x y
x y
y
则 y x 的最大值为
（A） 2 （B） 1 （C） 2 （D） 4
5.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体
的表面积为
（A）8 4 2
（B） 2 2 2 4 3
（C） 2 6 3
（D） 2 4 2 2 3
6.已知 F 为抛物线 2: 4C y x 的焦点,过
点 F 的直线l 交抛物线 C 于 ,A B 两
点,若| | 8AB ,则线段 AB 的中点 M 到直线 1 0x 的距离为
（A） 2 （B） 4 （C）8 （D）167.正方形 ABCD 的边长为1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上， 1 1,2 4AE BF ．动点 P
从 E 出发沿直线向 F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P
第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为
（A） 4 （B）3 （C）8 （D） 6
8.地铁某换乘站设有编号为 A,B,C,D,E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口,疏散
1000 名乘客所需的时间如下:
安全出口编号 A,B B,C C,D D,E A,E
疏散乘客时间（s） 120 220 160 140 200
则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是
（A）A （B）B （C）D （D）E
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分．
9.函数 1
| | 2y x
的最大值是 ______ .
10. ,A B 两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生,利用双休日去市郊的敬老院
参加献爱心活动.两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如下表:
A 小区 B 小区
往返车费 3元 5 元
服务老人的人数 5 人 3人根据安排,去敬老院的往返总车费不能超过 37 元,且 B 小区参加献爱心活动的
同学比 A 小区的同学至少多 1 人,则接受服务的老人最多有 ______ 人.
11.已知圆 2 2: 2 4 1 0C x y x y 内有一点 (2,1),P 经过点 P 的直线 l 与圆 C 交于 ,A B 两点,
当弦 AB 恰被点 P 平分时,直线 l 的方程为 ______.
12.在等差数列{ }na 中 3 0a ,如果 ka 是 6a 与 6ka 的等比中项,那么 k ______ .
13.已知函数 1( ) cosf x xx
,给出下列结论:
① ( )f x 在 π(0, )2
上是减函数;
② ( )f x 在 (0,π) 上的最小值为 2
π ;
③ ( )f x 在 (0,2π) 上至少有两个零点.
其中正确结论的序号为 ______.（写出所有正确结论的序号）
14．无穷数列 na 的前 n项和为 nS ，若对任意 *nN ， 1,2nS ．
①数列 na 的前三项可以为____；
②数列 na 中不同的项最多有____个.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分 13 分）
已知函数 4cos sin 16f x x x
.
（Ⅰ）求 2
3f
的值；
（Ⅱ）求 f x 的最小正周期，并画出 f x 在区间 0, 上的图象.16.（本小题满分 13 分）
已知数列 是等差数列， 是等比数列， ， ， ，
．
（Ⅰ）求 和 的通项公式；
（Ⅱ）若 ，求数列 的前
2n
项和 ．
17．（本小题满分 13 分）
已知某单位全体员工年龄频率分布表为:
年龄（岁） [25, 30） [30, 35） [35, 40） [40, 45) [45, 50） [50, 55） 合计
人数（人） 6 18 50 31 19 16 140
经统计，该单位 35 岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数相等，且男职工．．．的年龄频
率分布直方图和如下：
（Ⅰ）求 a ；
（Ⅱ）求该单位男女职工的比例；（Ⅲ）若从年龄在[25，30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工
和一名女职工的概率．
18.（本小题满分 14 分）
如图，在三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设 D，E 分别为 PA，
AC 中点．
（Ⅰ）求证：DE∥平面 PBC；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面 PAB；
（Ⅲ）试问在线段 AB 上是否存在点 F，使得过三点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平
面 PBC 平行？若存在，指出点 F 的位置并证明；若不存在，请说明理由．
19.（本小题满分 13 分）
已知函数 2( ) ( 2) lnf x ax a x x .
（Ⅰ）若函数 ( )f x 在 1x 时取得极值，求实数 a 的值；
（Ⅱ）当 0 1a< < 时，求 ( )f x 零点的个数.
20．（本小题满分 14 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 1
2
，右焦点为 ( ,0)F c ，左顶点为 A ，右顶
点 B 在直线l : 2x 上．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）设点 P 是椭圆C 上异于 A ， B 的点，直线 AP 交直线 l 于点 D ，当点 P 运动时，判断以 BD 为直径的圆与直线 PF 的位置关系，并加以证明．
北京市清华大学附属中学 2019 届高三下学期第一次模拟考试
(2019.04)
文科数学试题参考答案及评分标准
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C B C D C
二．填空题
9. 1
2 10. .3511. 1 0x y 12.9 13.①③14.1,1,0（答案不唯一）； 4
三．解答题
15. 解 ： （ I ）
2 2 24cos sin 13 3 3 6f
24 cos sin 13 2
14 1 12
1 .……. 3 分（Ⅱ） 4cos sin 16f x x x
4cos sin cos cos sin 16 6x x x
3 14cos sin cos 12 2x x x
22 3sin cos 2cos 1x x x
3sin2 cos2x x
3 12 sin2 cos22 2x x
2sin 2 6x . ……………………………………………………..9 分
所以 ( )f x 的最小正周期 2
2T .………………………………….10 分
因为 0,x ，所以 112 ,6 6 6x .
列表如下：
2 6x -
6
- 0 2
3
2
11
6
x 0 12
3
7
12
5
6
( )f x 1- 0 2 0 2- 1-
…………………………..13 分
16.解：（I）数列 是等差数列， 是等比数列，设公差为
d
，公比为
q
．由于： ， ， ， ．
则： ，
解得： ， ．
故：
． …………………………..6 分
（II ）由于： ，
则： ．
故： ，
，
． …………………………..13 分
17.解：（Ⅰ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：
( 0.01 0.04 0.08 0.025 0.025) 5 1a ．
所以 0.02a ．
（Ⅱ）该单位[25, 35)岁职工共 24 人，由于[25, 35)岁男女职工人数相等，所以[25, 35)岁
的男职工共 12 人．
由（Ⅰ）知，男职工年龄在[25, 35)岁的频率为 0.15 ，
所以男职工共有 12 800.15
人，
所以女职工有140 80=60- 人，
所以男女比例为 4 ∶ 3 ．
（Ⅲ）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在[25, 30)岁的频率为 0.05 ．
由（Ⅱ）知，男职工共有 80 人，所以男职工年龄在[25, 30)岁的有 4 人，分别记为1 2 3 4, , ,A A A A ．
又全体员工年龄在[25, 30)岁的有 6 人，所以女职工年龄在[25, 30)岁的有 2 人，分别记为
1 2,B B ．
从 年 龄 在 25~30 岁 的 职 工 中 随 机 抽 取 两 人 的 结 果 共 有
1 2 1 3 1 4( ) ( ) ( )A A A A A A， ， ， ， ， ，
1 1 1 2 2 3 2 4 2 1 2 2 3 4 3 1 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A A A A A B A B A A A B A B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
4 1 4 2 1 2( ) ( ) ( )A B A B B B， ， ， ， ， 15种情况，
其中一男一女的有 1 1 1 2 2 1 2 2 3 1 3 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A B A B A B， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，
4 1 4 2( ) ( )A B A B， ， ， 8 种情况，
所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为
8
15 ． ……………………13 分
18.解：（Ⅰ）证明：因为点 E 是 AC 中点，点 D 为 PA 的中点，所以 DE
∥
PC．
又因为 DE
⊄
面 PBC，PC
⊂
面 PBC，
所以 DE
∥
平面 PBC． …．（4 分）
（Ⅱ）证明：因为平面 PAC
⊥
面 ABC，平面 PAC∩平面 ABC=AC，又 PA
⊂平面 PAC，PA
⊥
AC，
所以 PA
⊥
面 ABC，
因为 BC
⊂
平面 ABC，
所以 PA
⊥
BC．
又因为 AB
⊥
BC，且 PA∩AB=A，
所以 BC
⊥
面 PAB． …．（9 分）
（Ⅲ）解：当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 的平面内的任一条直线都与平面 PBC 平
行．
取 AB 中点 F，连 EF，连 DF．
由（Ⅰ）可知 DE
∥
平面 PBC．
因为点 E 是 AC 中点，点 F 为 AB 的中点，所以 EF
∥
BC．
又因为 EF
⊄
平面 PBC，BC
⊂
平面 PBC，
所以 EF
∥
平面 PBC．
又因为 DE∩EF=E，
所以平面 DEF
∥
平面 PBC，
所以平面 DEF 内的任一条直线都与平面 PBC 平行．
故当点 F 是线段 AB 中点时，过点 D，E，F 所在平面内的任一条直线都与平面 PBC 平
行． …．（14 分）
19.解：（I） ( )f x 定义域为 (0, ) .
21 2 ( 2) 1 (2 1)( 1)'( ) 2 ( 2) ax a x x axf x ax a x x x
.
由已知，得 '(1) 0f ，解得 1a = .
当 1a = 时， (2 1)( 1)'( ) x xf x x
.
所以 '( ) 0 0 1, '( ) 0 1f x x f x x .
所以 ( )f x 减区间为 (0,1) ，增区间为 (1, )+ ¥ .
所以函数 ( )f x 在 1x 时取得极小值，其极小值为 (1) 0f = ，符合题意
所以 1a .……………………………………………………………………5 分
（II ）令 (2 1)( 1)'( ) 0x axf x x
，由 0 1a< < ，得 1 1x a
= > .
所以 1 1'( ) 0 0 , '( ) 0f x x f x xa a
.
所以 ( )f x 减区间为 1(0, )a
，增区间为 1( , )a
+ ¥ .
所以函数 ( )f x 在 1x a
时取得极小值，其极小值为 1 1( ) ln 1f aa a
= + - .
因为 0 1a< < ，所以 1ln 0 , 1a a
.
所以 11 0a
.所以 1 1( ) ln 1 0f aa a
= + - < .
因为
2
1 ( 2) ( 2) ( 2 )( ) 1 1a a a a ef e e e e e
- - - += + + > + = ，
又因为0 1a< < ，所以 2 0a e- + > .
所以 1( ) 0f e
> .根据零点存在定理，函数 ( )f x 在 1(0, )a
上有且仅有一个零点.
因为 lnx x> ， 2 2( ) ( 2) ln ( 2) ( 3)f x ax a x x ax a x x x ax a .
令 3 0ax a ，得 3 ax a
-> .
又因为0 1a< < ，所以 3 1a
a a
- > .
所以当 3 ax a
-> 时， ( ) 0f x > .
根据零点存在定理，函数 ( )f x 在 1( , )a
+ ¥ 上有且仅有一个零点.
所以，当 0 1a< < 时， ( )f x 有两个零点.………………………………13 分
20.解：（Ⅰ）依题可知 ( 0)B a， ， 2a
因为 1
2
ce a
，
所以 1c 3b
故椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y ．
（Ⅱ）以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
证明如下：由题意可设直线 AP 的方程为 ( 2)( 0)y k x k ．
则点 D 坐标为 2 4 )k（ ， ， BD 中点 E 的坐标为 2 2 )k（ ， ，
由 2 2
( 2),
14 3
y k x
x y
得
2 2 2 2(3 4 ) 16 16 12 0k x k x k ．
设点 P 的坐标为 0 0( , )x y ，则
2
0 2
16 122 3 4
kx k
．
所以
2
0 2
6 8
3 4
kx k
， 0 0 2
12( 2) 3 4
ky k x k
．
因为点 F 坐标为 (1, 0) ，
1 当 1
2k 时，点 P 的坐标为 3(1, )2
，直线 PF 的方程为 1x ，
点 D 的坐标 为 (2, 2) ．
此时以 BD 为直径的圆 2 2( 2) ( 1) 1x y 与直线 PF 相切．2 当 1
2k 时，直线 PF 的斜率 0
2
0
4
1 1 4PF
y kk x k
．
所以直线 PF 的方程为 2
4 ( 1)1 4
ky xk
,即
21 4 1 04
kx yk
．
故点 E 到直线 PF 的距离
2 2
2 2
2 2
1 4 1 4| 2 2 1|4 2 | 2 |
1 4 1 41 ( ) ( )4 4
k kkkd k
k k
k k
（或直线 PF 的方程为 2 2
4 4 01 4 1 4
k kx yk k
,
故点 E 到直线 PF 的距离
2 2
2
2 2
8 421 4 1 4
16 1(1 4 )
k kkk kd
k
k
3
2
2
2
2 8
1 4 2 | |1 4
| 1 4 |
k k
k kk
k
）
又因为 kRBD 42 ，故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
综上得，当点 P 运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
解法二:
（Ⅱ）以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
证明如下: 设点 0 0( , )P x y ,则
2 2
0 0
01( 0)4 3
x y y
1 当 0 1x 时,点 P 的坐标为 3(1, )2
，直线 PF 的方程为 1x ，
点 D 的坐标为 (2, 2) ，
此时以 BD 为直径的圆 2 2( 2) ( 1) 1x y 与直线 PF 相切，
2 当 1x 时直线 AP 的方程为 0
0
( 2)2
yy xx
，
点 D 的坐标为 0
0
4(2, )2
y
x
, BD 中点 E 的坐标为 0
0
2(2, )2
y
x
,故 0
0
2| | | |2
yBE x
直线 PF 的斜率为 0
0 1PF
yk x
,
故直线 PF 的方程为 0
0
( 1)1
yy xx
,即 0
0
1 1 0xx yy
,所以点 E 到直线 PF 的距离
0 0
0 0 0
020
0
1 2| 2 1|2 2| | | |211 ( )
x y
y x yd BExx
y
故以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
综上得，当点 P 运动时，以 BD 为直径的圆与直线 PF 相切．
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