天津一中 2018-2019-2 高一年级数学学科模块质量调查试卷
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 90 分 钟。第 I 卷 1 页，第 II 卷 至 2 页。考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无 效。
一．选择题
1.以下说法正确的有几个（ ）
① 四边形确定一个平面；
②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
A． 0 个 B．1 个 C． 2 个 D． 3 个
2.在 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,且 a cos B = ( 2c - b) cos A ，则角 A 的大小为（ ）
p p p p
A． B． C． D．
6 4 3 2
uuur uuur
3.在 DABC 中，若 AB × AC = 2 且 ÐBAC = 30o ，则 DABC 的面积为（ ）
A． 3 B． 2 3 C． 3
3
D． 2 3
3
4.设 a、b、g 为平面，为 m、n、l 直线，则下列判断正确的是（ ）
A．若 a ^ b ,a Ç b = l, m ^ l ，则 m ^ b
B．若 a Ç g = m,a ^ g , b ^ g ，则 m ^ b
C．若 a ^ g , b ^ g , m ^ a ，则 m ^ b
D．若 n ^ a , n ^ b , m ^ a ，则 m ^ b
A． 1
3
B． 2
3
C． 4
3
D． 2
uuur uuur
6．点 G 为 DABC 的重心， AB = 2, BC = 1, ÐABC = 60o ，则 AG × CG = （ ）
A． - 5
9
B． - 9
8
C． 5
9
D． 1
9
7.在正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中，点 O 是正方形 ABCD 的中心，关于直线 A1O 下列说法正确的
（ ）
A． A1O / / D1C B． A1O / / 平面 B1CD1
C． A1O ^ BC
D． A1O ^ 平面 AB1 D1
8.一个圆锥 SC 的高和底面直径相等,且这个圆锥 SC 和圆柱 OM 的底面半径及体积也都相等,
则圆锥 SC 和圆柱 OM 的侧面积的比值为（ ）
2
B．
2
C．
3
5
D．
4 5
2
3
4
15
A． 3
1 1 1 1 1 1
9.平行六面体 ABCD - A B C D 的底面 ABCD 是菱形，且 ÐC CB = ÐC CD = ÐBCD = 60o ，
CD = 2, C C = 3 ，则二面角 C
- BD - C 的平面角的余弦值为（ ）
1 2 1
A． 1
2
B． 1
3
C． 2
3
D． 3
3
10．如图，在 DABC 的边 AB、AC 上分别取点 M 、N ，使
uuuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuuur uuur
AM = 1 AB, AN = 1 AC ， BN 与 CM 交于点 P ，若 BP = l PN , PM = mCP ，
3 2
则 l 的值为（ ）
m
A． 8
3
B． 3
8
C． 1
6
D． 6
二．填空题
r r r r r r r r
11．已知向量 a, b 满足 | a |= 1 ,| b |= 2 ， | a + b |=
5 ，则 | 2a - b |= ．
12 如图， PA ^ 平面ABC ， ÐACB = 90o 且PA = AC，AC = 2BC ，
则异面直线 PB 与 AC 所成的角的正切值等于 ．
13.如图,在直棱柱 ABC - A1 B1C1 中, AB ^ AC , AB = AC = AA1 = 2 , 则二面角
A1 - BC1 - C 的平面角的正弦值为 ．
14.在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为
a、b、c , 2b(2b - c) cos A = a2 + b2 - c2 ，则内角 A 的值为 ．
15.已知正方体 ABCD - A1 B1C1 D1 的棱长为1 ，点 E 是棱 BB1 的中点，则点 B1 到平面 ADE 的距离
为 ．
16.如图，在直角梯形 ABCD 中， ÐBAD = p ， AB = AD = 2 ，若 M 、N
3
uuuur uuur
uuur uuur
分别是边 AD、BC 上的动点，满足 AM = l AD ， BN = (1 - l )BC ，其中
uuur uuuur
l Î (0,1) ，若 AN × BM = -2 ，则 l 的值为 ．
D C
M
N A B
ur r
ur 3
a 1 r a a
17. 设 f (a ) = m × n ,其中向量 m = ( cos , ), n = (2 sin , cos
2 4 2 4 2
- 1) .
（1）若 f (a ) = -1 ,求 cos( p - a ) 的值；
3 2
（2）在 △ABC 中,角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 a cos B + b cos A + 2c × cos C = 0 ,求函数 f ( A) 的
取值范围.
18. 如图，在几何体中，四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面 ADNM ^ 平面 ABCD , E 为
AB 中点.
（1）求证： AN / / 平面 MEC ；
（2）求证： AC ^ BN .
19． 如图 1 所示，在矩形 ABCD 中， AB = 2 AD = 4 ， E 为 CD 的中点，沿 AE 将 DAED 折起，如
图 2 所示， O、H、M 分别为 AE、BD、AB 的中点，且 DM = 2 .
（1）求证： OH / / 平面 DEC ；
（2）求证：平面 ADE ^ 平面 ABCE .
20.如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形， PO ^ 底面 ABCD ，
O、E 分别是 AD、AB 的中点， AB = 6, AP = 5 ， ÐBAD = 60o .
（1）求证：平面 PAC ^ 平面 POE ；
（2）求直线 PB 与平面 POE 所成角的正弦值；
（3）若 F 是边 DC 的中点，求异面直线 BF 与 PA 所成角的正切值。
参考答案
一． 1.B 2. B 3. C 4. D 5． B 6． A
7. B 8. C 9. D 10． D
参考答案
二．11． 2 2 12.
5
2 13. 3
2
14. 60o
参考答案
参考答案
15. 5
5
16. 2
3
参考答案
三．
17.
（1） f (a ) = sin(a + p ) - 1
2 6 2
\ cos( p - a ) = - 1
3 2 2
（2） C = 2p
3
f ( A) = sin( A + p ) - 1
2 6 2
A + p Î (p , p )
2 6 6 3
参考答案
f ( A) Î (0,
3 - 1)
2
参考答案
（1）证明：连接 BN （如图），使得 BN Ç CM = H
易证 EH / / AN
AN Ë 平面 MEC EH Ì 平面 MEC AN / / 平面 MEC
（2）证明：Q ABCD 是菱形
AC ^ BD
平面 ADNM ^ 平面 ABCD
平面 ADNM Ç 平面 ABCD = AD
ADNM 是矩形
ND ^ AD
ND Ì 平面 ADNM
\ ND ^ 平面 ABCD
AC ^ ND
BD Ç ND = D
BD, ND Ì 平面 NDB
\ AC ^ 平面 NDB
\ AC ^ BN
19．(1)证明：取 BC 中点 Q ,连接 OQ （如图）
易证 OQ // 平面 DEC
HQ / / 平面 DEC
OQ, HQ Ì 平面 OHQ
OQ Ç HQ = Q
\ 平面 DEC / / 平面 OHQ
OH Ì 平面 OHQ
\ OH / / 平面 DEC
（2）证明：连接 OD, OM
Q DA = DE, O 为 AE 中点
\ DO ^ AE
Q DO2 + OM 2 = DM 2
\ DO ^ OM
AE, OM Ì 平面 ABCE
AE Ç OM = O
\ OD ^ 平面 ABCE
OD Ì 平面 ADE ^
\ 平面 ADE ^ 平面 ABCE
19．(1)证明：取 BC 中点 Q ,连接 OQ （如图）
（1）证明： ABCD 是菱形
AC ^ BD ， OE / / BD
\OE ^ AC
PO ^ 底面 ABCD
PO ^ AC
OE, OP Ì 平面 POE
OE Ç OP = O
\ AC ^ 平面 POE
AC Ì 平面 PAC
\ 平面 PAC ^ 平面 POE
（2）过点 B 作 BM ^ OE 于 M ， 易证 PO ^ BM
OE, OP Ì 平面 POE
OE Ç OP = O
\ BM ^ 平面 POE
\ PM 是 PB 在平面 POE 上的射影
ÐBPM 即为所求
在 RtDPMB 中， BM = 3 3 , PB = 43
2
sin ÐBPM = BM = 3 129
PB 86
（3）分别取 AB, PB 中点 H ,T
易证 DH / / BF ,TH / / PA
\ÐDHT 即为异面直线 BF 与 PA 所成角或其补角
在 DDHT 中， DH = 3 3, HT = 5 , DT = 79
2 2
（3）分别取 AB, PB 中点 H ,T
\ cos ÐDHT = 3 3
10
\ tan ÐDHT =
219
9
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