高二质量调研试题
数 学 2019.04
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B铅笔分别涂写在答题卡上；
2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（是虚数单位）在复平面内所对应点的坐标为
A. B. C. D.
2. 的展开式中，含的正整数次幂的项共有
A. 4 项 B. 3项 C. 2项 D. 1项
3. 从2名男同学和3名女同学中任选2 人参加社区服务，则选中的2 人都是女同学的概率为
A. 0.3 B.0.4 C. 0.5 D. 0.6
4.若的展开式中所有二项式系数的之和为32，则该展开式中的常数项是
A. B. C. 270 D. 90
5. 函数有
A．极大值，极小值 B．极大值，极小值
C．极大值，无极小值 D．极小值，无极大值
6.设随机变量，，若，则 的值为
A. B. C. D.
7. 设，其中， 是实数，则
A.1 B.
C. D.
8. 素数指整数在一个大于1的自然数中，除了1
和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是
A. B.
C. D.
9. 已知随机变量服从正态分布，且，则 等于
A.0.6 B. 0.4
C.0.3 D. 0.2
10. 编号为1，2，3 的 3 位同学随意入座编号为1，2，3 的 3 个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是，则的方差为
A. B.
C. D. 1
11. 10张奖券中含有 3 张中奖的奖券，每人购买 1 张，则前 3 个购买者中，恰有一人中奖的概率为
A. B.
C. D.
12. 设函数 是奇函数 的导函数，，当 时，
，则使得 成立的的取值范围是
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.
13. 某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答）
14. 已知复平面上的正方形的三个顶点对应的复数分别为，，，那么第四个顶点对应的复数是 ．
15. 已知，则 ．
16. 若函数的图象在点 处的切线与函数的图象也相切，则满足条件的切点 的个数为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程
17.（本小题满分10分）
某市对所有高校学生进行普通话水平测试，发现成绩服从正态分布
，下表用茎叶图列举出来抽样出的10 名学生的成绩.
（1）计算这10 名学生的成绩的均值和方差；
（2）给出正态分布的数据：，．由（1）估计从全市随机抽取一名学生的成绩在的概率．
月份
9
10
11
12
1
历史（x分）
79
81
83
85
87
政治（y分）
77
79
79
82
83
18.（本小题满分12分）
如表是某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩，结果如下：
参考公式：
，，，表示样本均值．
（1）求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的平均数；
（2）一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关关系，根据上表提供的数据，求两个变量，的线性回归方程．
19.（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）求函数 的极值；
（2）设函数，若函数 恰有一个零点，求函数的解析式．
20.（本小题满分12分）
为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从A，B两地区分别随机抽取了20 天的观测数据，得到A，B两地区的空气质量指数（），绘制如图频率分布直方图：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
空气质量指数（AQI）
(0,100)
[100,200)
[200,300)
空气质量状况
优良
轻中度污染
中度污染
（1）试根据样本数据估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数；
（2）若分别在A，B两地区上述 20 天中，且空气质量指数均不小于 150 的日子里随机各抽取一天，求抽到的日子里空气质量等级均为“重度污染”的概率．
21.（本小题满分12分）
已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24， 16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7 人，进行睡眠时间的调查．
（1）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（2）若抽出的7 人中有4 人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查．
（i）用 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量 的分布列与数学期望；
（ii）设 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 发生的概率．
22.（本小题满分12分）
设函数．
（1）若 在 处取得极值，确定 的值，并求此时曲线 在点 处的切线方程；
（2）若在 上为减函数，求的取值范围．
高二质量调研试题
数学试题参考答案 2019.04
一、选择题： DBABC BDCCD DA
二、填空题：13.1560 14. 15.380 16.2
三、解答题：
17. 解：（1），………2分
．…………………5分
（2） 由（1）可估计，． ……………………………………6分
………………………8分
.
故随机抽取一名学生的成绩在 的概率为0.8185. ………………………10分
18. （1） 根据题意，计算， ………………2分， ……………………………………………4分
（2） 计算， ………………………………………………6分
， …………………………………………………………8分
所以回归系数为， ……………………………10分
，
故所求的线性回归方程为． ………………………………12分
19. 解：（1） 因为， ………………………………………1分
令，得. ………………………………2分
因为，当 时，，函数在上是减函数； ……3分
当，，函数在上是增函数. ………………4分
所以，当 时，函数 有极小值，函数 没有极大值．……6分
（2），所以， ……………7分
令 得，，当 时，，函数在上是减函数；
当，，函数在上是增函数. …………………8分
故函数的极小值为， ………………………9分
因为函数 恰有一个零点，故，所以，……………10分
所以.………………………………………………………………………11分
所以函数.………………………………………………12分
20. 解：（1）从A地区选出的 20 天中随机选出一天，这一天空气质量状况“优良”的频率为， ……………3分
估计A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的频率为，A地区当年（365天）的空气质量状况“优良”的天数约为 天． ……………………6分
（2）A地 20 天中空气质量指数在 内，为 个，设为 ，空气质量指数在 内，为 个，设为，…7分
B地 20 天中空气质量指数在 内，为个，设为，
空气质量指数在 内，为 个，设为，……8分
设“A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染””为，
则基本事件空间，
基本事件个数为，，包含基本事件个数为，…11分
所以A，B两地区的空气质量等级均为“重度污染”的概率为．………12分
21. 解：（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人，2 人，2 人． ……………………………………………………4分
（2）（i）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
． ………………………………………6分
所以，随机变量 的分布列为
随机变量的数学期望．……………8分
（ii）设事件 为“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有 2 人”；事件 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，
则，且 与 互斥， ………………………………………………9分
由（i）知，，， ……………………………11分
故．
所以，事件发生的概率为． ………………………………………………12分
22. 解：（1） 对 求导得．…1分
因为 在 处取得极值，所以，即． ……………………2分
经检验，当 时， 为的极值． …………………………3分
当 时，，．
故，， …………………………5分
从而 在点 处的切线方程为，化简得．…6分
（2） 由（1）知，令．
因为函数 在上单调递减，所以，
即，故．……………………8分
令，则，所以，
函数 在 上单调递减， ……………………………………10分
所以．……………………………………………………………………11分
故的取值范围为． …………………………………………12分
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