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文科数学
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·南洋模范中学] “”是“不等式成立”的（）
A．充分条件 B．必要条件
C．充分必要条件 D．既非充分也不必要条件
2．[2019·吉林调研]欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系，它在复变函数论里占有
非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，表示的复数位于复平面内（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．[2019·安阳一模]的最小值为（）
A．18 B．16 C．8 D．6
4．[2019·桂林一模]下列函数中是奇函数且有零点的是（）
A． B．
C． D．
5．[2019·河南八市联考]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）
A．84 B． C． D．
6．[2019·维吾尔二模]将函数的图象向右平移一个单位长度，所得图象与曲线关于
直线对称，则（）
A． B． C． D．
7．[2019·河南联考]已知函数，且，若函数的图象
关于对称，则的取值可以是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．[2019·天一大联考]如图是一个射击靶的示意图，其中每个圆环的宽度与中心圆的半径相等．
某人朝靶上任意射击一次没有脱靶，设其命中10，9，8，7环的概率分别为，，，，
则下列选项正确的是（）
A． B． C． D．
9．[2019·虹口二模]已知直线经过不等式组表示的平面区域，且与圆相交于、两点，则当最小时，直线的方程为（）
A． B．
C． D．
10．[2019·凯里一中]已知是边长为的正三角形，且，，设，当函数的最大值为时，（）
A． B． C． D．
11．[2019·衡阳毕业]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用．直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”．设是椭圆的左焦点，直线交椭圆于、两点，若，恰好是的“勾”“股”，则此椭圆的离心率为（）
A． B． C． D．
12．[2019·六安一中]若函数的两个零点是，，则（）
A． B． C． D．无法判断
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·西城期末]在某次国际交流活动中，组织者在某天上午安排了六场专家报告（时间如下，转场时间忽略不计），并要求听报告者不能迟到和早退．
某单位派甲、乙两人参会，为了获得更多的信息，单位要求甲、乙两人所听报告不相同，且所听报告的总时间尽可能长，那么甲、乙两人应该舍去的报告名称为______．
14．[2019·衡水中学]某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的年广告支出（单位：万元）与年销售额（单位：万元）进行了初步统计，如下表所示．
经测算，年广告支出与年销售额满足线性回归方程，则的值为_____．
15．[2019·永州二模]在三角形中，角，，的对边分别为，，，，，，点是平面内的一个动点，若，则面积的最大值是__________．
16．[2019·北京四中]设函数对于任意，都有成立，则实数________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·攀枝花统考]已知数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的通项公式及其前项和．
18．（12分）[2019·贵州适应]如图，四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）是棱上一点，三棱锥的体积为，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，求．
19．（12分）[2019·汉中质检]社区服务是高中学生社会实践活动的一个重要内容，汉中某中学随机抽取了100名男生、100名女生，了解他们一年参加社区服务的时间，按，，，，
（单位：小时）进行统计，得出男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．
（1）完善男生参加社区服务时间的频率分布表和女生参加社区服务时间的频率分布直方图．
抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表
学生社区服务时间合格与性别的列联表
（2）按高中综合素质评价的要求，高中学生每年参加社区服务的时间不少于20个小时才为合格，根据上面的统计图表，完成抽取的这200名学生参加社区服务时间合格与性别的列联表，并判断是否有以上的把握认为参加社区服务时间达到合格程度与性别有关，并说明理由．
（3）用以上这200名学生参加社区服务的时间估计全市9万名高中学生参加社区服务时间的情况，并以频率作为概率．
（i）求全市高中学生参加社区服务时间不少于30个小时的人数．
（ii）对我市高中生参加社区服务的情况进行评价．
参考公式：
（，其）
20．（12分）[2019·大兴一模]已知椭圆的离心率为，是椭圆的上顶点，，是椭圆的焦点，的周长是6．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点作直线交椭圆于，两点，且，过作直线，使与直线垂直，证明：直线恒过定点，并求此定点的坐标．
21．（12分）[2019·拉萨中学]已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）若，，求的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·汉中联考]在直角坐标系中，曲线：（，为参数）．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线：．
（1）说明是哪一种曲线，并将的方程化为极坐标方程；
（2）若直线的方程为，设与的交点为，，与的交点为，，
若的面积为，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·全国大联考]已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）设，，若，求证：．
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文科数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】A
【解析】不等式成立，化为，解得，
∴“”是“不等式成立”的充分条件．故选A．
2．【答案】A
【解析】∵，∴，
此复数在复平面中对应的点位于第一象限，故选A．
3．【答案】B
【解析】，
故选B．
4．【答案】C
【解析】A．∵，∴，而，∴不是奇函数，排除A；
D．∵，∴，即为偶函数，排除D；
B．∵，∴，∴函数是奇函数，
但令，可知方程无解，即没有零点，∴排除B；
C．∵，∴，∴是奇函数，
又由正切函数的图像和反比例函数的图像易知，与必然有交点，
因此函数必有零点．故选C．
5．【答案】C
【解析】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4，
∴五棱柱的表面积为，故选C．
6．【答案】C
【解析】作关于直线的对称图形，得函数的图像，
再把的图像向左平移一个单位得函数的图像，∴．故选C．
7．【答案】C
【解析】∵，∴由，得．
又∵，∴，∴．
又∵关于对称，∴，，
令，则．故选C．
8．【答案】D
【解析】若设中心圆的半径为，则由内到外的环数对应的区域面积依次为，，，
；，
则，，，，
验证选项，可知只有选项D正确．故选D．
9．【答案】D
【解析】不等式组表示的区域如图阴影部分，其中的中点为，则，
∴最长时，最小，
∵最小经过可行域，
由图形可知点为直线与的交点时，最长，
∵，则直线的方程为，即．故选D．
10．【答案】C
【解析】由题得，
，
∴当时，的最大值为，∴．故选C．
11．【答案】A
【解析】如图，设是椭圆的右焦点，
∵线段与被点互相平分，且，∴四边形是矩形．
又，∴，∴是等边三角形，
由，∴，，
∴，∴．故选A．
12．【答案】C
【解析】令得，则与的图象有2个交点，
不妨设，，作出两个函数的图象如图：
∴，即，∴，即，
∴．故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】D
【解析】通过数据比对，甲、乙两人应该舍去的报告名称为D，
当甲乙两人中某人听报告D，则此人不能听报告B，C，E，F，
故听报告D最不合适，故答案为D．
14．【答案】60
【解析】由题意可得，，
又回归直线必过样本中心，，
∴，解得．故答案为60．
15．【答案】
【解析】∵，，，
∴由正弦定理，可得．
又，∴在三角形中，令，令，
由余弦定理可得，
∴，（当且仅当时等号成立）
∴，∴．故答案为．
16．【答案】1
【解析】∵函数在有意义，
∴在恒成立，故，即；
又∵函数对任意，都有成立，
，当时，恒成立，
，当时，有，即，
两边平方得，分离变量得，即求函数的最小值，
而，当且仅当，即时，取“”，
∴，综上：．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，由于，，
∴，
又满足上式，故．
（2）．
∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）2．
【解析】（1）由已知，于是，故，
∵是矩形，故，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）依题意，，
由（1）知点到底面的距离为正三角形的高，为3．
∴，
∴，故．
19．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【解析】（1）由每小组的频率等于每小组的频数除以样本容量，
这个公式可以计算出每一时间段所需填写的内容，
段：人数；段：频率；
段：人数；段：频率；
段：人数，频率．
补全抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表，如下表：
根据在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，
∴有，
补完频率分布直方图如下图：
（2）通过抽取的100名男生参加社区服务时间的频率分布表可知男生合格人数为75人，不合格人数为25人；通过抽取的100名女生参加社区服务时间频率直方图中可知合格人数为65人，不合格人数为35人，
学生社区服务时间合格人数与性别的列联表
，
∴没有以上把握认为社区服务时间达到合格与性格有关．
（3）（i）抽取的样本中社区服务时间不少于30个小时的人数为70人，频率为，
∴全市高中生社区服务时间不少于30个小时的概率为，
∴全市高中生社区服务时间不少于30个小时的人数为万人．
（ii）可从以下四个角度分析，也可以从其它角度分析，角度正确，分析合理即可。
A从抽样数据可以得到全市高中生还有一部分学生参与社区服务的时间太少，不能达到高中素质评价的要求。
B全市所有学生参与社区服务的时间都偏少。
C全市高中学生中，女生参与社区服务的时间比男生短。
D全市高中学生，参与社区服务时间的长短集中在之间．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由于是椭圆的上顶点，由题意得，
又椭圆离心率为，即，解得，，
又，∴椭圆的标准方程．
（2）当直线斜率存在，设的直线方程为，
联立，得，
由题意，，
设，，则，
∵，∴是的中点．即，得，，①
又，的斜率为，直线的方程为，②
把①代入②可得，∴直线恒过定点．
当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线为轴，也过．
综上所述，直线恒过点．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）
当时，，；，．
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，对恒成立，∴在上单调递增．
当时，，；，．
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）①当时，由（1）知在上单调递增，则在上单调递增，
∴，解得，
②当时，由（1）知在上单调递减，在上单调递增．
当时，在上单调递增．
∴对恒成立，则符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
∴．
设函数，，
易得知时，，，∴，
故对恒成立，即符合题意．
当时，在上单调递减．
∴对恒成立，
则符合题意．
综上所述：的取值范围为．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．【答案】（1）是以为圆心，为半径的圆，的极坐标方程；
（2）．
【解析】（1）由已知得平方相加消去参数得到，
即，∴的普通方程：，
∴是以为圆心，为半径的圆，
再将，带入的普通方程，得到的极坐标方程．
（2）的极坐标方程，
将，代入，解得，，
则的面积为，解得．
23．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）可化为，即，
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，解得．
综上可得或，
故不等式的解集为．
（2）∵，，∴，即，
∴，
当且仅当，即，时取等号，
∴，即．
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