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广元市万达中学、八二一中学2019年春高2017级半期联考
数 学 试 题 （理工类）
时间：120分钟 满分150分 命题人：向平 审题人：侯朝翔
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合,则集合P∩Q的交点个数是（ ）
A．0 个 B．1个 C．2个 D．3个
2.某学校为了了解高一、二、三这个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机抽样法
3.已知平面向量，则（ ）
A. B. 3 C. D. 5
4.设m，n为两条不同的直线，为平面，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．，
C. ， D．，
5.如图是各棱长均为2的正三棱柱ABC—A1B1C1的直观图，则此三棱柱侧视图的面积为（ ）
A. B. C. D. 4
6.若函数的部分图像如右图所示，则的解析式可能是（ ）．
A. B.
C. D.
7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( )
A．8 B．16 C．32 D．64
8.等比数列{an}中，，则与的等比中项是( )
A.±4 B.4 C. D.
9..若a>0,b>0, 2a+b = 6，则的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
10在△ABC中,若,,则△ABC的面积为（ ）
A B.1 C. D. 2
11.设双曲线 (a>0,b>0)的左、右两焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到双曲线中心的距离等于双曲线焦距的一半，且 ，则双曲线的离心率是
A. B. C. D.
12.已知函数是定义在R上的偶函数．当时，,
若关于x的方程，有且仅有6个不同的实数根,则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.双曲线的渐近线方程是 ．
14.在平面直角坐标系中，曲线在处的切线方程是 ．
15.已知实数x，y满足则的取值范围为 ．
16.下列四个命题：①当a为任意实数时，直线恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是；③抛物线；④已知双曲线，其离心率，则m的取值范围是（－12，0）.
其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三.解答题（共5道小题,17至21每小题12分，共60分）
17.设平面向量.
（1）若，求的值；
（2）若函数，求函数f(x)的最大值，并求出相应的x值。
频率
组距
0.08
0.07
0.06
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 体重（kg）
18.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～１８岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下：
求：（1）根据直方图可得这100名学生中体重在(56，64)的学生人数.
（2）请根据上面的频率分布直方图估计该地区17.5-18岁的男生体重.
（3）若在这100名男生中随意抽取1人，该生体重低于62的概率是多少？
19.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若等差数列{bn}的前n项和为Tn，且，，求数列的前n项和Qn．
20.在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AD，
PB的中点，.
（1） 求证：EF∥平面DCP；
（2）求平面EFC与平面PDC所成锐二面角的余弦值.
21.设点P为抛物线外一点，过点P作抛物线的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．
（Ⅰ）若点P为(－1,0)，求直线AB的方程； （Ⅱ）若点P为圆上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为，，求的取值范围．
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22.已知圆锥曲线C：（α为参数）和定点A（0，），F1、F2是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线AF2的直角坐标方程；
（2）经过点F1且与直线AF2垂直的直线l交此圆锥曲线于M、N两点，求||MF1|-|NF1||的值．
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若不等式有解，求实数m的取值范围．
试卷答案
一选择题BCACB ACABC AB
二填空题13. 14. 15. 16.①②③④
三解答题
18.（1）……4分
（2）可利用平均数来衡量该地区17.5-18岁的男生体重：
……8分
（3）P= ……12分
略
19.解：（1）当时，，----------------------------------------------------------------------------1分
由得（），
两式相减得，又，
∴（）， ------------------------------------------------------------------------------3分
又，∴（）， --------------------------------------------------------4分
显然，，即数列是首项为3、公比为3的等比数列，
∴； --------------------------------------------------------------------------------6分
（2）设数列的公差为d，则有，由得，解得，--------8分∴， --------------------------------------------------------------------9分
又--------------------------------------------10分
∴
．--------------------------------------------------------------------12分
……12分
20.案：（1）取中点，连接
分别是中点， ，
为中点，为矩形，，
，四边形为平行四边形
平面，平面，平面
（2）平面，且四边形是正方形，两两垂直，以为原点，，，所在直线为轴，建立空间直角坐标系
则
设平面法向量为，，
则， 即，取
则设平面法向量为，，
则， 即， 取
.
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
21.解：（Ⅰ）设直线方程为，直线方程为.
由可得. ………3分
因为与抛物线相切，所以，取，则，.
即. 同理可得.
所以：. ………6分
（Ⅱ）设，则直线方程为，
直线方程为.
由可得. ………8分
因为直线与抛物线相切，所以.
同理可得,所以，时方程的两根.
所以，.
则 . .………10分
又因为，则，
所以
. .………12分
22.
∴||MF1|﹣|NF1||=|t1+t2|=．
23.
解：（Ⅰ），
∴或或，解得或或无解，
综上，不等式的解集是． ………………5分
（Ⅱ）
，………………7分
当时等号成立不等式有解，
∴，
∴，∴或，即或，
∴实数的取值范围是或．………………10分
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