四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学（文）答案Word版含答案.pdf

三模考试数学（文科）试题答案第１　　　　 页（共４ 页） 内江市高中 ２０１９ 届第三次模拟考试题 数学（ 文科） 参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． ） １． Ｄ　 ２． Ａ　 ３． Ｃ　 ４． Ｄ　 ５． Ｃ　 ６． Ａ　 ７． Ｂ　 ８． Ａ　 ９． Ａ　 １０． Ｃ　 １１． Ｄ　 １２． Ｂ 二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，共２０ 分． 请把答案填在答题卡上． ） 槡１３． ２　 　 １４． ５　 １５． － １　 １６． １ ２ 三、解答题（本大题共６ 个小题，共７０ 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） １７． 解：（１）∵ Ｓｎ ＝ ２ａｎ － ２ ∴ 当ｎ ＝ １ 时，Ｓ１ ＝ ２ａ１ － ２，故ａ１ ＝ ２ａ１ － ２，得ａ１ ＝ ２ ２ 分!!!!!!!!!!!当ｎ ≥ ２ 时，Ｓｎ－１ ＝ ２ａｎ－１ － ２，故ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ－１ ＝ （２ａｎ － ２）－ （２ａｎ－１ － ２）＝ ２ａｎ － ２ａｎ－１ ∴ 当ｎ ≥ ２ 时，ａｎ ＝ ２ａｎ－１ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 数列｛ａｎ ｝是以ａ１ ＝ ２ 为首项，以２ 为公比的等比数列 ∴ ａｎ ＝ ２ × ２ｎ－１ ＝ ２ｎ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）由（１）知，ａｎ ＋ ｌｏｇ２ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ｎ ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ （ａ１ ＋ ｌｏｇ２ ａ１ ）＋ （ａ２ ＋ ｌｏｇ２ ａ２ ）＋ （ａ３ ＋ ｌｏｇ２ ａ３ ）＋ …＋ （ａｎ ＋ ｌｏｇ２ ａｎ ） ＝ （２ ＋ １）＋ （２２ ＋ ２）＋ （２３ ＋ ３）＋ …＋ （２ｎ ＋ ｎ） ＝ （２ ＋ ２２ ＋ ２３ ＋ …＋ ２ｎ ）＋ （１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ …ｎ） ９ 分!!!!!!!!!!!!!! ＝ ２ｎ＋１ － ２ ＋ ｎ２ ＋ ｎ ２ １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １８． 解：（１）由表格中数据可得，ｘ ＝ ３． ５，ｙ ＝ １６ ２ 分!!!!!!!!!!!!!!! ∵ ｒ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）槡 ２ ＝ ３５ １７． ５ ×槡 ７６ ＝ ３５ 槡１３３０ ≈ ０． ９６ ３ 分!!!!! ∴ ｙ 与月份代码ｘ 之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系． ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｂ ∧ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ＝ ３５ １７． ５ ＝ ２ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ａ ∧ ＝ ｙ － ｂ ∧ ｘ ＝ １６ － ２ × ３． ５ ＝ ９ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 关于ｘ 的线性回归方程为ｙ ∧ ＝ ２ｘ ＋ ９ ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）这１００ 辆Ａ 款单车平均每辆的利润为 １ １００（－ ５００ × １０ ＋ ０ × ３０ ＋ ５００ × ４０ ＋ １０００ × ２０）＝ ３５０（元） ９ 分!!!!!!!! 这１００ 辆Ｂ 款单车平均每辆的利润为 １ １００（－ ３００ × １５ ＋ ２００ × ４０ ＋ ７００ × ３５ ＋ １２００ × １０）＝ ４００（元） １１ 分!!!!!!! ∴ 用频率估计概率，Ａ 款单车与Ｂ 款单车平均每辆的利润估计值分别为３５０ 元、４００ 元，应三模考试数学（文科）试题答案第２　　　　 页（共４ 页） 采购Ｂ 款车型 １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １９． 解：（１）如图，设ＢＤ 的中点为Ｏ，连接ＯＡ，ＯＣ １ 分!! ∵ Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ 分别是棱ＡＢ、ＡＤ、ＣＤ、ＢＣ 的中点． ∴ ＥＦ ∥ ＢＤ，ＧＨ ∥ ＢＤ，且ＥＦ ＝ １ ２ ＢＤ ＝ ＧＨ， 故ＥＦ ∥ ＧＨ，且ＥＦ ＝ ＧＨ ∴ 四边形ＥＦＧＨ 为平行四边形 ４ 分!!!!!!!!!! ∵ △ＡＢＤ 与△ＢＣＤ 都是等边三角形 ∴ ＢＤ ⊥ ＯＡ，ＢＤ ⊥ ＯＣ 又ＯＡ ∩ ＯＣ ＝ Ｏ，∴ ＢＤ ⊥ 平面ＡＯＣ，故ＢＤ ⊥ ＡＣ 又由上知ＢＤ ∥ ＥＦ，ＡＣ ∥ ＥＨ，∴ ＥＦ ⊥ ＥＨ ∴ 四边形ＥＦＧＨ 为矩形． ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）如图，设ＯＡ 交ＥＦ 于Ｐ，ＯＣ 交ＧＨ 于Ｑ，连接ＰＱ，过Ｏ 作 ＯＭ ⊥ ＰＱ 于Ｍ ∵ ＢＤ ∥ ＥＦ，ＢＤ  平面ＥＦＧＨ，ＥＦ  平面ＥＦＧＨ ∴ ＢＤ ∥ 平面ＥＦＧＨ ∴ 点Ｂ 到平面ＥＦＧＨ 的距离等于点Ｏ 到平面ＥＦＧＨ 的距离 ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ 在（１）的证明中有ＢＤ ⊥ 平面ＡＯＣ，ＯＭ  平面ＡＯＣ ∴ ＯＭ ⊥ ＢＤ，故由ＢＤ ∥ ＥＦ 可得ＯＭ ⊥ ＥＦ 又∵ ＯＭ ⊥ ＰＱ，ＥＦ ∩ ＰＱ ＝ Ｐ ∴ ＯＭ ⊥ 平面ＥＦＧＨ ∴ Ｏ 到平面ＥＦＧＨ 的距离为ＯＭ ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ 平面ＡＢＤ ⊥ 平面ＢＣＤ，平面ＡＢＤ ∩ 平面ＢＣＤ ＝ ＢＤ，ＯＡ ⊥ ＢＤ，ＯＡ  平面ＡＢＤ ∴ ＯＡ ⊥ 平面ＢＣＤ ∴ ＯＡ ⊥ ＯＣ，于是ＯＰ ⊥ ＯＱ 又∵ △ＡＢＤ 与△ＢＣＤ 都是边长为２ 的等边三角形 ∴ ＯＡ ＝ ＯＣ ＝ 槡３，故ＯＰ ＝ ＯＱ ＝ 槡３ ２ ∴ 在△ＰＯＱ 中，ＯＭ ＝ １ ２ ＰＱ ＝ １ ２ × 槡２ × ＯＰ ＝ 槡６ ４ ∴ 点Ｂ 到平面ＥＦＧＨ 的距离为槡６ ４ １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０． 解：（１）∵ 椭圆Ｃ 的离心率为槡２ ２ ∴ ａ ＝ 槡２ｂ ２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ 直线ｘ ＋ ｙ － 槡２ ＝ ０ 与圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｂ２ 相切 ∴ ｂ ＝ ｜ ０ ＋ ０ － 槡２ ｜ 槡２ ＝ １ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ａ ＝ 槡２ｂ ＝ 槡２ ∴ 椭圆Ｃ 的方程为ｘ２ ２ ＋ ｙ２ ＝ １ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!三模考试数学（文科）试题答案第３　　　　 页（共４ 页） （２）设Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ），Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ）当直线ｌ 与ｘ 轴不重合时，设ｌ 的方程：ｘ ＝ ｍｙ ＋ １ 由ｘ ＝ ｍｙ ＋ １ ｘ２ ２ ＋ ｙ２ ＝{ １得（ｍ２ ＋ ２）ｙ２ ＋ ２ｍｙ － １ ＝ ０，ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ － ２ｍ ｍ２ ＋ ２ ｙ１ ｙ２ ＝ － １ ｍ２ ＋ { ２ ７ 分!!!!!!!! ∴ ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ４ ｍ２ ＋ ２，ｘ１ ｘ２ ＝ － ３ｍ２ ｍ２ ＋ ２ ＋ １ ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! →ＰＡ·→ＰＢ ＝ （ｘ１ － ５ ４ ，ｙ１ ）·（ｘ２ － ５ ４ ，ｙ２ ）＝ ｘ１ ｘ２ － ５ ４ （ｘ１ ＋ ｘ２ ）＋ ２５ １６ ＋ ｙ１ ｙ２ ＝ － ３ｍ２ － ６ ｍ２ ＋ ２ ＋ ４１ １６ ＝ － ７ １６ １１ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 当直线ｌ 与ｘ 轴重合时，→ＰＡ·→ＰＢ ＝ （槡２ － ５ ４ ，０）·（－ 槡２ － ５ ４ ，０）＝ ２５ １６ － ２ ＝ － ７ １６ 故→ＰＡ·→ＰＢ 为定值－ ７ １６ １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２１． 解：（１）ｆ′（ｘ）＝ ２ｘ ＋ ａ － ａ ｘ １ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∵ 函数ｆ（ｘ）在［２，５］上单调递增 ∴ ｆ′（ｘ）≥ ０ 对ｘ ∈ ［２，５］恒成立，即２ｘ ＋ ａ － ａ ｘ ≥ ０ 对ｘ ∈ ［２，５］恒成立 ∴ ａ ≥ － ２ｘ２ ｘ － １ 对ｘ ∈ ［２，５］恒成立，即ａ ≥ （－ ２ｘ２ ｘ － １）ｍａｘ ，ｘ ∈ ［２，５］ ３ 分!!!!!!! 令ｇ（ｘ）＝ － ２ｘ２ ｘ － １（ｘ ∈ ［２，５］），则ｇ′（ｘ）＝ － ２ｘ２ ＋ ４ｘ（ｘ － １）２ ≤ ０（ｘ ∈ ［２，５］） ∴ ｇ（ｘ）在［２，５］上单调递减 ∴ ｇ（ｘ）在［２，５］上的最大值为ｇ（２）＝ － ８ ∴ ａ 的取值范围是［－ ８，＋ ∞ ） ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）∵ 当ａ ＝ ２ 时，方程ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｍｘ － ｌｎｘ － ｍ ＝ ０ 令ｈ（ｘ）＝ ｘ － ｌｎｘ － ｍ（ｘ ＞ ０），则ｈ′（ｘ）＝ １ － １ ｘ 当ｘ ∈ （０，１）时，ｈ′（ｘ）＜ ０，故ｈ（ｘ）单调递减当ｘ ∈ （１，＋ ∞ ）时，ｈ′（ｘ）＞ ０，故ｈ（ｘ）单调递增 ∴ ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｈ（１）＝ １ － ｍ． 若方程ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｍ 有两个不等实根，则有ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＜ ０，即ｍ ＞ １ ７ 分!!!!! 当ｍ ＞ １ 时，０ ＜ ｅ －ｍ ＜ １ ＜ ｅｍ ｈ（ｅ －ｍ）＝ ｅ －ｍ ＞ ０ ｈ（ｅｍ）＝ ｅｍ － ２ｍ，令ｇ（ｘ）＝ ｅｘ － ２ｘ（ｘ ＞ １）则ｇ′（ｘ）＝ ｅｘ － ２ ＞ ０，ｇ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）＞ ｇ（１）＝ ｅ － ２ ＞ ０ ∴ ｈ（ｅｍ）＞ ０，∴ 原方程有两个不等实根 ∴ 实数ｍ 的取值范围是（１，＋ ∞ ） ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 不妨设ｘ１ ＜ ｘ２ ，则０ ＜ ｘ１ ＜ １ ＜ ｘ２ ，０ ＜ １ ｘ２ ＜ １ ∴ ｘ１ ｘ２ ＜ １ｘ１ ＜ １ ｘ２ ｈ（ｘ１ ）＞ ｈ（１ ｘ２ ） ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!三模考试数学（文科）试题答案第４　　　　 页（共４ 页） ∵ ｈ（ｘ１ ）＝ ｈ（ｘ２ ）＝ ０ ∴ ｈ（ｘ１ ）－ ｈ（１ ｘ２ ）＝ ｈ（ｘ２ ）－ ｈ（１ ｘ２ ） ＝ （ｘ２ － ｌｎｘ２ － ｍ）－ （１ ｘ２ － ｌｎ １ ｘ２ － ｍ） ＝ ｘ２ － １ ｘ２ － ２ｌｎｘ２ １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! 令φ（ｘ）＝ ｘ － １ ｘ － ２ｌｎｘ（ｘ ＞ １），则φ′（ｘ）＝ １ ＋ １ ｘ２ － ２ ｘ ＝ （１ ｘ － １）２ ＞ ０ ∴ φ（ｘ）在（１，＋ ∞ ）上单调递增 ∴ 当ｘ ＞ １ 时，φ（ｘ）＞ φ（１）＝ ０，即ｘ２ － １ ｘ２ － ２ｌｎｘ２ ＞ ０ ∴ ｈ（ｘ１ ）＞ ｈ（１ ｘ２ ），∴ ｘ１ ｘ２ ＜ １ １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２２． 解：（１）将ｘ ＝ １ ＋ 槡２ ２ ｔ ｙ ＝ 槡２ ２ { ｔ 中参数ｔ 消去得：ｘ － ｙ － １ ＝ ０ 将ｘ ＝ ρｃｏｓθ ｙ ＝ ρｓｉｎ{ θ 代入ρｓｉｎ２ θ ＝ ４ｃｏｓθ 得：ｙ２ ＝ ４ｘ ∴ 直线ｌ 和曲线Ｃ 的直角坐标方程分别为：ｘ － ｙ － １ ＝ ０ 和ｙ２ ＝ ４ｘ ５ 分!!!!!! （２）将直线ｌ 的参数方程代入曲线Ｃ 的普通方程，得ｔ２ － 槡４ ２ｔ － ８ ＝ ０ ６ 分!!!!! 设Ａ、Ｂ 两点对应的参数为ｔ１、ｔ２，则｜ ＭＡ ｜ ＝ ｜ ｔ１ ｜ ，｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ｔ２ ｜ ，且ｔ１ ＋ ｔ２ ＝ 槡４ ２，ｔ１ｔ２ ＝ － ８ ∴ ｜ ｔ１ ｜ ＋｜ ｔ２ ｜ ＝ ｜ ｔ１ － ｔ２ ｜ ＝ （ｔ１ ＋ ｔ２ ）２ － ４ｔ１ ｔ槡 ２ ＝ ８ ８ 分!!!!!!!!!!!! ∴ １ ｜ ＭＡ ｜ ＋ １ ｜ ＭＢ ｜ ＝ １ ｜ ｔ１ ｜ ＋ １ ｜ ｔ２ ｜ ＝ ｜ ｔ１ ｜ ＋｜ ｔ２ ｜ ｜ ｔ１ ｔ２ ｜ ＝ ｜ ｔ１ － ｔ２ ｜ ｜ ｔ１ ｔ２ ｜ ＝ １ １０ 分!!!!! ２３． （１）解：当ａ ＝ １，ｂ ＝ ２ 时，ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － １ ｜ ＋｜ ｘ ＋ ２ ｜ ＜ ｘ ＋ ５ ① 当ｘ ＜ － ２ 时，不等式可化为－ ２ｘ － １ ＜ ｘ ＋ ５，即ｘ ＞ － ２，无解 １ 分!!!!!!! ② 当－ ２ ≤ ｘ ≤ １ 时，不等式可化为３ ＜ ｘ ＋ ５，即ｘ ＞ － ２，得－ ２ ＜ ｘ ≤ １ ２ 分!!! ③ 当ｘ ＞ １ 时，不等式可化为２ｘ ＋ １ ＜ ｘ ＋ ５，即ｘ ＜ ４，得１ ＜ ｘ ＜ ４ ３ 分!!!!!综上，不等式的解集为｛ｘ ｜ － ２ ＜ ｘ ＜ ４｝ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）证明：ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － ａ ｜ ＋｜ ｘ ＋ ｂ ｜ ≥｜ ａ ＋ ｂ ｜ ∵ ｆ（ｘ）的值域为［２，＋ ∞ ），ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，∴ ａ ＋ ｂ ＝ ２， ７ 分!!!!!!!!!!!故ａ ＋ １ ＋ ｂ ＋ １ ＝ ４ ∴ １ ａ ＋ １ ｂ ＝ １ ２ （ａ ＋ ｂ ａ ＋ ａ ＋ ｂ ｂ ）＝ １ ２ （ｂ ａ ＋ ａ ｂ ＋ ２）≥ １ ２ （２ ＋ ２）＝ ２ ８ 分!!!! １ ａ ＋ １ ＋ １ ｂ ＋ １ ＝ １ ４ （ａ ＋ １ ＋ ｂ ＋ １ ａ ＋ １ ＋ ａ ＋ １ ＋ ｂ ＋ １ ｂ ＋ １ ）＝ １ ４ （ｂ ＋ １ ａ ＋ １ ＋ ａ ＋ １ ｂ ＋ １ ＋ ２） ≥ １ ４ （２ ＋ ２）＝ １ ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ １ ａ ＋ １ ａ ＋ １ ＋ １ ｂ ＋ １ ｂ ＋ １ ≥ ３ １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!