四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学（理）试卷Word版含答案.doc

三模考试数学（理科）试题答案第１　　　　 页（共４ 页） 内江市高中 ２０１９ 届第三次模拟考试题 数学（ 理科） 参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共１２ 小题，每小题５ 分，共６０ 分． ） １． Ｄ　 ２． Ａ　 ３． Ｃ　 ４． Ｄ　 ５． Ｃ　 ６． Ａ　 ７． Ｂ　 ８． Ａ　 ９． Ａ　 １０． Ｃ　 １１． Ｄ　 １２． Ｂ二、填空题（本大题共４ 小题，每小题５ 分，共２０ 分． 请把答案填在答题卡上． ） 槡１３． ２　 　 １４． ８　 　 １５． － １　 １６． １３三、解答题（本大题共６ 个小题，共７０ 分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ） １７． 解：（１）在△ＡＣＤ 中，由余弦定理得 ｃｏｓ∠ＡＤＣ ＝ ＡＤ２ ＋ ＤＣ２ － ＡＣ２ ２ＡＤ × ＤＣ ＝ ２２ ＋ ３２ － １９ ２ × ２ × ３ ＝ － １ ２ ３ 分!!!!!!!!!!!! ∴ ∠ＡＤＣ ＝ １２０°，故ｓｉｎ∠ＡＤＣ ＝ 槡３ ２ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ Ｓ△ＡＤＣ ＝ １ ２ ＡＤ·ＤＣ·ｓｉｎ∠ＡＤＣ ＝ １ ２ × ２ × ３ × 槡３ ２ ＝ 槡３ ３ ２ ６ 分!!!!!!!!! （２）∠ＢＡＤ ＝ ∠ＡＤＣ － ∠Ｂ ＝ １２０° － ４５° ＝ ７５° ７ 分!!!!!!!!!!!!!! ｓｉｎ∠ＢＡＤ ＝ ｓｉｎ７５° ＝ ｓｉｎ（３０° ＋ ４５°）＝ ｓｉｎ３０°ｃｏｓ４５° ＋ ｃｏｓ３０°ｓｉｎ４５° ＝ 槡槡２ ＋ ６ ４ ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 在△ＡＢＤ 中，由正弦定理得ＡＤ ｓｉｎ∠Ｂ ＝ ＢＤ ｓｉｎ∠ＢＡＤ ∴ ＢＤ ＝ ＡＤ·ｓｉｎ∠ＢＡＤ ｓｉｎ∠Ｂ ＝ ２ × 槡２ ＋ 槡６ ４ 槡２ ２ ＝ １ ＋ 槡３ １２ 分!!!!!!!!!!!!! １８． 解：（１）由表格中数据可得，ｘ ＝ ３． ５，ｙ ＝ １６ ２ 分!!!!!!!!!!!!!!! ∵ ｒ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）槡 ２ ＝ ３５ １７． ５ ×槡 ７６ ＝ ３５ 槡１３３０ ≈ ０． ９６ ３ 分!!!!! ∴ ｙ 与月份代码ｘ 之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系． ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ｂ ∧ ＝ ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ） ∑ ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ＝ ３５ １７． ５ ＝ ２ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ａ ∧ ＝ ｙ － ｂ ∧ ｘ ＝ １６ － ２ × ３． ５ ＝ ９ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ 关于ｘ 的线性回归方程为ｙ ∧ ＝ ２ｘ ＋ ９ ７ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）这１００ 辆Ａ 款单车平均每辆的利润为 １ １００（－ ５００ × １０ ＋ ０ × ３０ ＋ ５００ × ４０ ＋ １０００ × ２０）＝ ３５０（元） ９ 分!!!!!!!! 这１００ 辆Ｂ 款单车平均每辆的利润为 １ １００（－ ３００ × １５ ＋ ２００ × ４０ ＋ ７００ × ３５ ＋ １２００ × １０）＝ ４００（元） １１ 分!!!!!!!三模考试数学（理科）试题答案第２　　　　 页（共４ 页） ∴ 用频率估计概率，Ａ 款单车与Ｂ 款单车平均每辆的利润估计值分别为３５０ 元、４００ 元，应采购Ｂ 款车型 １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! １９． 解：（１）如图，设ＢＤ 的中点为Ｏ，连接ＯＡ，ＯＣ １ 分!! ∵ ＡＣ ∥ 平面ＥＦＧＨ，平面ＡＢＣ ∩ 平面ＥＦＧＨ ＝ ＥＨ，平面ＡＣＤ ∩ 平面ＥＦＧＨ ＝ ＦＧ ∴ ＡＣ ∥ ＥＨ，ＡＣ ∥ ＦＧ，∴ ＥＨ ∥ ＦＧ同理，由ＢＤ ∥ 平面ＥＦＧＨ 得ＥＦ ∥ ＧＨ ∴ 四边形ＥＦＧＨ 为平行四边形 ４ 分!!!!!!!!!! ∵ △ＡＢＤ 与△ＢＣＤ 都是等边三角形 ∴ ＢＤ ⊥ ＯＡ，ＢＤ ⊥ ＯＣ又ＯＡ ∩ ＯＣ ＝ Ｏ，∴ ＢＤ ⊥ 平面ＡＯＣ，故ＢＤ ⊥ ＡＣ又由上知ＢＤ ∥ ＥＦ，ＡＣ ∥ ＥＨ，∴ ＥＦ ⊥ ＥＨ ∴ 四边形ＥＦＧＨ 为矩形． ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!（２）∵ 平面ＡＢＤ ⊥ 平面ＢＣＤ，平面ＡＢＤ ∩ 平面ＢＣＤ ＝ ＢＤ，ＯＡ ⊥ ＢＤ，ＯＡ  平面ＡＢＤ ∴ ＯＡ ⊥ 平面ＢＣＤ，∴ ＯＡ，ＯＢ，ＯＣ 两两垂直以Ｏ 为原点建立如图的空间直角坐标系ｏ － ｘｙｚ ７ 分!!!!!!!!!!!!!!! ∵ △ＡＢＤ 与△ＢＣＤ 都是边长为２ 的等边三角形 ∴ Ａ（０，０，槡３），Ｅ（１ ２ ，０，槡３ ２ ），Ｆ（－ １ ２ ，０，槡３ ２ ）， 　 Ｈ（１ ２ ，槡３ ２ ，０） ８ 分!!!!!!!!!!!!!! ∴ →ＦＥ ＝ （１，０，０），→ＥＨ ＝ （０，槡３ ２ ，－ 槡３ ２ ）， 　 →ＥＡ ＝ （－ １ ２ ，０，槡３ ２ ） 设平面ＥＦＧＨ 的法向量为ｎ→ １ ＝ （ｘ，ｙ，ｚ） 由ｎ→ １ ·→ＦＥ ＝ ｘ ＝ ０ ｎ→ １ ·→ＥＨ ＝ 槡３ ２ ｙ － 槡３ ２ ｚ ＝{ ０ ，令ｙ ＝ １，得ｎ→ １ ＝ （０，１，１） 同理可得平面ＡＥＨ 的法向量ｎ→ ２ ＝ （槡３，１，１） １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｃｏｓ ＜ ｎ→ １ ·ｎ→ ２ ＞ ＝ ｎ→ １ ·ｎ→ ２ ｜ ｎ→ １ ｜ ×｜ ｎ→ ２ ｜ ＝ ２ 槡２ × 槡５ ＝ 槡１０ ５ 由图形可知，所求二面角的平面角为锐角 ∴ 二面角Ａ － ＥＨ － Ｆ 的余弦值为槡１０ ５ １２ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! ２０． 解：（１）∵ 椭圆Ｃ 的离心率为槡２ ２ ，∴ ａ ＝ 槡２ｂ １ 分!!!!!!!!!!!!!!! ∵ 圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｂ２ 的圆心到直线ｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ 的距离为ｄ ＝ ｜ ０ ＋ ０ － １ ｜ 槡２ ＝ 槡２ ２ ２ 分!! ∴ 直线ｘ ＋ ｙ － １ ＝ ０ 被圆ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ ｂ２ 截得的弦长为 ２ ｂ２ － ｄ槡 ２ ＝ ２ ｂ２ －槡１ ２ ＝ 槡２ ４ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 解得ｂ ＝ １，故ａ ＝ 槡２ｂ ＝ 槡２，∴ 椭圆Ｃ 的方程为ｘ２ ２ ＋ ｙ２ ＝ １ ５ 分!!!!!!!!! （２）设Ｐ（ｔ，０），Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ），Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ）当直线ｌ 与ｘ 轴不重合时，设ｌ 的方程：ｘ ＝ ｍｙ ＋ １三模考试数学（理科）试题答案第３　　　　 页（共４ 页） 由ｘ ＝ ｍｙ ＋ １ ｘ２ ２ ＋ ｙ２ ＝{ １得（ｍ２ ＋ ２）ｙ２ ＋ ２ｍｙ － １ ＝ ０，ｙ１ ＋ ｙ２ ＝ － ２ｍ ｍ２ ＋ ２ ｙ１ ｙ２ ＝ － １ ｍ２ ＋ { ２ ７ 分!!!!!!!! ∴ ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ４ ｍ２ ＋ ２，ｘ１ ｘ２ ＝ － ３ｍ２ ｍ２ ＋ ２ ＋ １ →ＰＡ·→ＰＢ ＝ （ｘ１ － ｔ，ｙ１ ）·（ｘ２ － ｔ，ｙ２ ）＝ ｘ１ ｘ２ － ｔ（ｘ１ ＋ ｘ２ ）＋ ｔ２ ＋ ｙ１ ｙ２ ＝ － ３ｍ２ － ４ｔ － １ ｍ２ ＋ ２ ＋ ｔ２ ＋ １ ＝ － ３（ｍ２ ＋ ４ｔ ＋ １ ３ ） ｍ２ ＋ ２ ＋ ｔ２ ＋ １ ９ 分!!!!!!! 当４ｔ ＋ １ ３ ＝ ２，即ｔ ＝ ５ ４ 时，→ＰＡ·→ＰＡ 的值与ｍ 无关，此时→ＰＡ·→ＰＢ ＝ － ７ １６ １１ 分!!!! 当直线ｌ 与ｘ 轴重合且ｔ ＝ ５ ４ 时，→ＰＡ·→ＰＢ ＝ （槡２ － ５ ４ ，０）·（－ 槡２ － ５ ４ ，０）＝ ２５ １６ － ２ ＝ － ７ １６ ∴ 存在点Ｐ（５ ４ ，０），使得→ＰＡ·→ＰＢ 为定值－ ７ １６ １２ 分!!!!!!!!!!!!!!! ２１． 解：（１）ｈ（ｘ）＝ ｘ２ － ｘ ＋ １ － ｌｎｘ － １ ＝ ｘ２ － ｘ － ｌｎｘ（ｘ ＞ ０） ｈ′（ｘ）＝ ２ｘ － １ － １ ｘ ＝ ２ｘ２ － ｘ － １ ｘ ＝ （２ｘ ＋ １）（ｘ － １） ｘ １ 分!!!!!!!!!!! 令ｈ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ １ ① 当１ ｅ ＜ ｔ ≤ １ 时，ｈ（ｘ）在［１ ｅ ，ｔ］上单调递减 ∴ ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｈ（１ ｅ ）＝ １ ｅ２ － １ ｅ ＋ １ ＝ ｅ２ － ｅ ＋ １ ｅ２ ３ 分!!!!!!!!!!!!!!! ② 当ｔ ＞ １ 时，ｈ（ｘ）在［１ ｅ ，１］上单调递减，在［１，ｔ］上单调递增 ∴ ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｈ（１）＝ ０ 综上，当１ ｅ ＜ ｔ ≤ １ 时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｅ２ － ｅ ＋ １ ｅ２ ，当ｔ ＞ １ 时，ｈ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ０ ５ 分!!!!! （２）设函数ｆ（ｘ）在点（ｘ１ ，ｆ（ｘ１ ））处与函数ｇ（ｘ）在点（ｘ２ ，ｇ（ｘ２ ））处有相同的切线，则 ｆ′（ｘ１ ）＝ ｇ′（ｘ２ ）＝ ｆ（ｘ１ ）－ ｇ（ｘ２ ） ｘ１ － ｘ２ ∴ ２ｘ１ － ａ ＝ １ ｘ２ ＝ ｘ２ １ － ａｘ１ ＋ １ － ｌｎｘ２ － ａ ｘ１ － ｘ２ ６ 分!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ ｘ１ ＝ １ ２ｘ２ ＋ ａ ２ ，代入ｘ１ － ｘ２ ｘ２ ＝ ｘ２ １ － ａｘ１ ＋ １ － ｌｎｘ２ － ａ 得 １ ４ｘ２ ２ ＋ ａ ２ｘ２ ＋ ｌｎｘ２ ＋ ａ２ ４ ＋ ａ － ２ ＝ ０ ∴ 问题转化为：关于ｘ 的方程１ ４ｘ２ ＋ ａ ２ｘ ＋ ｌｎｘ ＋ ａ２ ４ ＋ ａ － ２ ＝ ０ 有解 ７ 分!!!!!! 设Ｆ（ｘ）＝ １ ４ｘ２ ＋ ａ ２ｘ ＋ ｌｎｘ ＋ ａ２ ４ ＋ ａ － ２（ｘ ＞ ０），则函数Ｆ（ｘ）有零点 ∵ Ｆ（ｘ）＝ １ ４ （１ ｘ ＋ ａ）２ ＋ ｌｎｘ ＋ ａ － ２，当ｘ ＝ ｅ２ －ａ 时，ｌｎｘ ＋ ａ － ２ ＝ ０，∴ Ｆ（ｅ２ －ａ ）＞ ０． ∴ 问题转化为：Ｆ（ｘ）的最小值小于或等于０ ８ 分!!!!!!!!!!!!!!!! Ｆ′（ｘ）＝ － １ ２ｘ３ － ａ ２ｘ２ ＋ １ ｘ ＝ ２ｘ２ － ａｘ － １ ２ｘ３ 设２ｘ２ ０ － ａｘ０ － １ ＝ ０（ｘ０ ＞ ０），则三模考试数学（理科）试题答案第４　　　　 页（共４ 页） 当０ ＜ ｘ ＜ ｘ０ 时，Ｆ′（ｘ）＜ ０，当ｘ ＞ ｘ０ 时，Ｆ′（ｘ）＞ ０ ∴ Ｆ（ｘ）在（０，ｘ０ ）上单调递减，在（ｘ０ ，＋ ∞ ）上单调递增 ∴ Ｆ（ｘ）的最小值为Ｆ（ｘ０ ）＝ １ ４ｘ２ ０ ＋ ａ ２ｘ０ ＋ ｌｎｘ０ ＋ ａ２ ４ ＋ ａ － ２ ９ 分!!!!!!!!! 由２ｘ２ ０ － ａｘ０ － １ ＝ ０ 知ａ ＝ ２ｘ０ － １ ｘ０ ，故Ｆ（ｘ０ ）＝ ｘ２ ０ ＋ ２ｘ０ － １ ｘ０ ＋ ｌｎｘ０ － ２ １０ 分!! 设φ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｘ － １ ｘ ＋ ｌｎｘ － ２（ｘ ＞ ０），则 φ′（ｘ）＝ ２ｘ ＋ ２ ＋ １ ｘ２ ＋ １ ｘ ＞ ０，故φ（ｘ）在（０，＋ ∞ ）上单调递增 ∵ φ（１）＝ ０，∴ 当ｘ ∈ （０，１］时，φ（ｘ）≤ ０ ∴ Ｆ（ｘ）的最小值Ｆ（ｘ０ ）≤ ０ 等价于０ ＜ ｘ０ ≤ １ １１ 分!!!!!!!!!!!!!! 又∵ 函数ｙ ＝ ２ｘ － １ ｘ 在（０，１］上单调递增，∴ ａ ＝ ２ｘ０ － １ ｘ０ ∈ （－ ∞ ，１］ １２ 分!!! ２２． 解：（１）将ｘ ＝ １ ＋ 槡２ ２ ｔ ｙ ＝ 槡２ ２ { ｔ 中参数ｔ 消去得：ｘ － ｙ － １ ＝ ０ 将ｘ ＝ ρｃｏｓθ ｙ ＝ ρｓｉｎ{ θ代入ρｓｉｎ２ θ ＝ ４ｃｏｓθ 得：ｙ２ ＝ ４ｘ ∴ 直线ｌ 和曲线Ｃ 的直角坐标方程分别为：ｘ － ｙ － １ ＝ ０ 和ｙ２ ＝ ４ｘ ５ 分!!!!!! （２）将直线ｌ 的参数方程代入曲线Ｃ 的普通方程，得ｔ２ － 槡４ ２ｔ － ８ ＝ ０ ６ 分!!!!! 设Ａ、Ｂ 两点对应的参数为ｔ１、ｔ２，则｜ ＭＡ ｜ ＝ ｜ ｔ１ ｜ ，｜ ＭＢ ｜ ＝ ｜ ｔ２ ｜ ，且ｔ１ ＋ ｔ２ ＝ 槡４ ２，ｔ１ｔ２ ＝ － ８ ∴ ｜ ｔ１ ｜ ＋｜ ｔ２ ｜ ＝ ｜ ｔ１ － ｔ２ ｜ ＝ （ｔ１ ＋ ｔ２ ）２ － ４ｔ１ ｔ槡 ２ ＝ ８ ８ 分!!!!!!!!!!!! ∴ １ ｜ ＭＡ ｜ ＋ １ ｜ ＭＢ ｜ ＝ １ ｜ ｔ１ ｜ ＋ １ ｜ ｔ２ ｜ ＝ ｜ ｔ１ ｜ ＋｜ ｔ２ ｜ ｜ ｔ１ ｔ２ ｜ ＝ ｜ ｔ１ － ｔ２ ｜ ｜ ｔ１ ｔ２ ｜ ＝ １ １０ 分!!!!! ２３． （１）解：当ａ ＝ １，ｂ ＝ ２ 时，ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － １ ｜ ＋｜ ｘ ＋ ２ ｜ ＜ ｘ ＋ ５ ① 当ｘ ＜ － ２ 时，不等式可化为－ ２ｘ － １ ＜ ｘ ＋ ５，即ｘ ＞ － ２，无解 １ 分!!!!!!! ② 当－ ２ ≤ ｘ ≤ １ 时，不等式可化为３ ＜ ｘ ＋ ５，即ｘ ＞ － ２，得－ ２ ＜ ｘ ≤ １ ２ 分!!! ③ 当ｘ ＞ １ 时，不等式可化为２ｘ ＋ １ ＜ ｘ ＋ ５，即ｘ ＜ ４，得１ ＜ ｘ ＜ ４ ３ 分!!!!! 综上，不等式的解集为｛ｘ ｜ － ２ ＜ ｘ ＜ ４｝ ５ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!! （２）证明：ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － ａ ｜ ＋｜ ｘ ＋ ｂ ｜ ≥｜ ａ ＋ ｂ ｜ ∵ ｆ（ｘ）的值域为［２，＋ ∞ ），ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０，∴ ａ ＋ ｂ ＝ ２， ７ 分!!!!!!!!!!! 故ａ ＋ １ ＋ ｂ ＋ １ ＝ ４ ∴ １ ａ ＋ １ ｂ ＝ １ ２ （ａ ＋ ｂ ａ ＋ ａ ＋ ｂ ｂ ）＝ １ ２ （ｂ ａ ＋ ａ ｂ ＋ ２）≥ １ ２ （２ ＋ ２）＝ ２ ８ 分!!!! １ ａ ＋ １ ＋ １ ｂ ＋ １ ＝ １ ４ （ａ ＋ １ ＋ ｂ ＋ １ ａ ＋ １ ＋ ａ ＋ １ ＋ ｂ ＋ １ ｂ ＋ １ ）＝ １ ４ （ｂ ＋ １ ａ ＋ １ ＋ ａ ＋ １ ｂ ＋ １ ＋ ２） ≥ １ ４ （２ ＋ ２）＝ １ ９ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ∴ １ ａ ＋ １ ａ ＋ １ ＋ １ ｂ ＋ １ ｂ ＋ １ ≥ ３ １０ 分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!