深圳市高级中学2018-2019学年第二学期期中测试
高二理科数学
命题人:朱志敏审题人:商亮
注意事项:
1、答第一卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后,再涂其它答案,不能答在试题卷上。
3、考试结束,监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.从某工厂生产的P,Q两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查,对其硬度系数进行统计,统计数据用茎叶图表示(如图所示),则P型号样本数据的中位数和Q型号样本数据的众数分别是()
A.21.5和23 B.22和23
C.22和22 D.21.5和22.5
2.已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为( )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5 B.6 C.8 D.7
3.执行如图所示的程序框图,则输出的
12
A.74
B.83
C.177
D.166
4.抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为3的概率是()
A. B. C. D.
5.在区间内随机取两个数分别记为,,则使得函数有零点的概率为()
A. B. C. D.
6.港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米,桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查,画出频率分布直方图(如图).根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为
A.、 B.、
C.、 D.、
12
7.从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营,每人只能参加其中一项,其中甲、乙两人都不能参加化学比赛,则不同的参赛方案的种数共有()
A. B. C.D.
8.若展开式中含项的系数为21,则实数的值为()
A.3 B.-3 C.2 D.-2
9.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9,活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物,它能活到15岁的概率是()
A. B. C. D.
10.从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数,当三个数字有2和3时,则2需排在3的前面(不一定相邻),这样的三位数有()
A.9个 B.15个 C.45个 D.51个
11.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,满足.若为等腰三角形,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
12.若函数恰有两个极值点,则实数的取值范围为()
A. B. C. D.
二.填空题:共4小题,每小题5分,共20分.
13.曲线在处的切线方程为______.
14.已知
15.如果生男孩和生女孩的概率相等,则有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是
12
16.已知抛物线y=x2-1上一定点B(-1,0)和两个动点P、Q,当P在抛物线上运动时,BP⊥PQ,则Q点的横坐标的取值范围是_________
三、解答题(共6小题,17题10分,18、19、20、21、22各12分,共70分)
17.(10分)从2016年1月1日起,广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围,其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率,具体关系如下表:
上一年出险次数
0
1
2
3
4
5次以上(含5次)
下一年保费倍率
85%
100%
125%
150%
175%
200%
连续两年没出险打7折,连续三年没出险打6折
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系,下面是随机采集的8组数据(其中(单位:万元)表示购车价格,(单位:元)表示商业车险保费):(8,2150),(11,2400),(18,3140),(25,3750),(25,4000),(31,4560),(37,5500),(45,6500),已知由这8组数据得到的回归直线方程为.
(1)求的值;
(2)广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车,
①估计李先生购车时的商业车险保费;
②若该车2017年3月已出过一次险,5月又被刮花了,李先生到汽车维修店询价,预计修车费用为500元,理赔专员建议李先生自费维修(即不出险),你认为李先生是否应该接受该建议?请说明理由.(假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品)
18.(12分)在中,a,b,分别是角,,的对边,且
(Ⅰ)求值;
12
(Ⅱ)若,且,求的面积.
12
19.(12分)如图,已知多面体ABCDEF中,ABCD为菱AB=AE=1,AF⊥BE.
(1)
12
20.(12分)在一个盒子中,放有标号分别为,,的三张卡片,现从这个盒子中,有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、,记.
(Ⅰ)求随机变量的最大值,并求事件“取得最大值”的概率;
(Ⅱ)求随机变量的分布列和数学期望.
21.(12分)已知点,是圆:上的一个动点,为圆心,线段的垂直平分线与直线的交点为.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)设与轴的正半轴交于点,直线:与交于、两点(不经过点),且.证明:直线经过定点,并写出该定点的坐标.
22.(12分)设函数
(I)若存在使不等式能成立,求实数m的最小值;
(II)关于的方程上恰有两个相异实根,求实数a的取值范围.
12
深圳市高级中学2018-2019学年第一学期期末测试
高二数学答案
一、选择题(每题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
B
D
C
A
C
D
B
D
二、填空题(每题5分,共20分)
13.14.11
15.0.5 16 .(-∞,-3∪1,+∞)
17.(1);(2)①,②李先生应接受理赔专员的建议.
(1)(万元),
(元),
由于回归直线经过样本点的中心,即,
所以,解得.
(2)①价值为20万元的车辆的商业车险保费预报值为元.
②由于该车已出险一次,若再出险一次,则保费要增加25%,
即保费增加元.
因为,若出险,2018年增加的保费大于500元,
所以李先生应接受理赔专员的建议.
18.(Ⅰ) (Ⅱ)
12
12
12
∴二面角B-AF-D的余弦值为.
20.解:(Ⅰ)、可能的取值为、、,
,,
,且当或时,.
因此,随机变量的最大值为.
有放回抽两张卡片的所有情况有种,
.
答:随机变量的最大值为,事件“取得最大值”的概率为.
(Ⅱ)的所有取值为.
时,只有这一种情况,
时,有或或或四种情况,
时,有或两种情况.
,,.
则随机变量的分布列为:
因此,数学期望.
21.(1);(2)直线经过定点.
(1)圆的圆心,半径,
由垂直平分线性质知:,
故,
12
由椭圆定义知,点的轨迹是以、为焦点的椭圆,
设:,焦距为,
则,,,,
所以的方程为.
(2)由已知得,由得,
当时,设,,则,,
,,
由得,即,
所以,解得或,
①当时,直线经过点,不符合题意,舍去.
②当时,显然有,直线经过定点.
22.解:(I)依题意得
(II)依题意得,上恰有两个相异实根,
令
12
故在[0,1]上是减函数,在上是增函数,
12