深圳市高级中学2018－2019学年第二学期期中测试
高二理科数学
命题人：朱志敏审题人：商亮
注意事项：
1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。
3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．从某工厂生产的P,Q两种型号的玻璃中分别随机抽取8个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），则P型号样本数据的中位数和Q型号样本数据的众数分别是（）
A．21.5和23 B．22和23
C．22和22 D．21.5和22.5
2．已知某一随机变量X的分布列如下,且E(X)=6.3,则a的值为( )
X
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A．5 B．6 C．8 D．7
3．执行如图所示的程序框图，则输出的
12
A．74
B．83
C．177
D．166
4．抛掷两枚质地均匀的骰子，向上的点数之差的绝对值为3的概率是（）
A． B． C． D．
5．在区间内随机取两个数分别记为，，则使得函数有零点的概率为（）
A． B． C． D．
6．港珠澳大桥于2018年10月24日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米，桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100 km/h. 现对大桥某路段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出频率分布直方图（如图）.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过90 km/h的概率分别为
A．、 B．、
C．、 D．、
12
7．从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）
A． B． C．D．
8．若展开式中含项的系数为21，则实数的值为（）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
9．设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6.现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是（）
A. B. C. D.
10．从1、2、3、4、5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字有2和3时，则2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）
A．9个 B．15个 C．45个 D．51个
11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，满足.若为等腰三角形，则双曲线的离心率为（）
A． B． C． D．
12．若函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（）
A． B． C． D．
二．填空题：共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线在处的切线方程为______．
14．已知
15．如果生男孩和生女孩的概率相等，则有3个小孩的家庭中至少有2个女孩的概率是
12
16．已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________
三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22各12分，共70分）
17．（10分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
上一年出险次数
0
1
2
3
4
5次以上(含5次)
下一年保费倍率
85%
100%
125%
150%
175%
200%
连续两年没出险打7折，连续三年没出险打6折
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(其中(单位：万元)表示购车价格，(单位：元)表示商业车险保费)：(8，2150)，(11，2400)，(18，3140)，(25，3750)，(25，4000)，(31，4560)，(37，5500)，(45，6500)，已知由这8组数据得到的回归直线方程为．
（1）求的值；
（2）广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车，
①估计李先生购车时的商业车险保费；
②若该车2017年3月已出过一次险，5月又被刮花了，李先生到汽车维修店询价，预计修车费用为500元，理赔专员建议李先生自费维修(即不出险)，你认为李先生是否应该接受该建议？请说明理由．(假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品)
18．（12分）在中，a,b,分别是角，，的对边，且
（Ⅰ）求值；
12
（Ⅱ）若，且，求的面积.
12
19.(12分)如图，已知多面体ABCDEF中，ABCD为菱AB=AE=1，AF⊥BE.
（1）
12
20．（12分）在一个盒子中，放有标号分别为，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为、，记．
（Ⅰ）求随机变量的最大值，并求事件“取得最大值”的概率；
（Ⅱ）求随机变量的分布列和数学期望．
21．（12分）已知点，是圆：上的一个动点，为圆心，线段的垂直平分线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设与轴的正半轴交于点，直线：与交于、两点（不经过点），且.证明：直线经过定点，并写出该定点的坐标.
22．（12分）设函数
（I）若存在使不等式能成立，求实数m的最小值；
（II）关于的方程上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围.
12
深圳市高级中学2018－2019学年第一学期期末测试
高二数学答案
一、选择题（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
C
B
B
D
C
A
C
D
B
D
二、填空题（每题5分，共20分）
13.14.11
15.0.5 16 .(－∞,－3∪1,+∞)
17．（1）；（2）①，②李先生应接受理赔专员的建议．
（1）(万元)，
(元)，
由于回归直线经过样本点的中心，即，
所以，解得．
（2）①价值为20万元的车辆的商业车险保费预报值为元．
②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，
即保费增加元．
因为，若出险，2018年增加的保费大于500元，
所以李先生应接受理赔专员的建议．
18．(Ⅰ) （Ⅱ）
12
12
12
∴二面角B-AF-D的余弦值为.
20．解：（Ⅰ）、可能的取值为、、，
，，
，且当或时，．
因此，随机变量的最大值为．
有放回抽两张卡片的所有情况有种，
．
答：随机变量的最大值为，事件“取得最大值”的概率为．
（Ⅱ）的所有取值为．
时，只有这一种情况，
时，有或或或四种情况，
时，有或两种情况．
，，．
则随机变量的分布列为：
因此，数学期望．
21．（1）；（2）直线经过定点.
（1）圆的圆心，半径，
由垂直平分线性质知：，
故，
12
由椭圆定义知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，
设：，焦距为，
则，，，，
所以的方程为.
（2）由已知得，由得，
当时，设，，则，，
，，
由得，即，
所以，解得或，
①当时，直线经过点，不符合题意，舍去.
②当时，显然有，直线经过定点.
22．解：（I）依题意得
（II）依题意得，上恰有两个相异实根，
令
12
故在[0，1]上是减函数，在上是增函数，
12
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