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理科 数 学（七）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．[2019·金山中学]复数，其中为虚数单位，则的虚部是（）
A． B．3 C． D．
2．[2019·上饶联考]已知命题，命题．若命题是的必要不充分条件，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
3．[2019·聊城一模]已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．[2019·永州模拟]正方体被切去一个角后得到的几何体如图所示，其侧视图（由左往右看）是（）
A． B． C． D．
5．[2019·泸县一中]设变量，满足约束条件，若目标函数取得最大值时的最优解不唯一，则实数的值为（ ）
A． B．2 C．或2 D．1或
6．[2019·郑州一中]高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，但去哪个工厂
可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的分配方案有（）
A．48种 B．37种 C．18种 D．16种
7．[2019·兰州一中]一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的条件是（）
A． B． C． D．
8．[2019·宣城调研]我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问：乙应该分得（）白米
A．96石 B．78石 C．60石 D．42石
9．[2019·宝鸡模拟]定义在上的函数满足以下三个条件：
①对于任意的，都有；
②函数的图象关于轴对称；
③对于任意的，，都有，
则、、从小到大的关系是（）
A． B．
C． D．
10．[2019·江淮十校]当动点在正方体的棱上运动时，异面直线与所成角的取值范围（）
A． B． C． D．
11．[2019·马鞍山质检]已知圆，，是同心圆，半径依次为1，2，3，过圆上点作的切线交圆于，两点，为圆上任一点，则的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．[2019·雅安诊断]定义域为的函数图像的两个端点为、，向量，是图像上任意一点，其中，若不等式恒成立，则称函数在上满足“范围线性近似”，其中最小正实数称为该函数的线性近似阈值．若函数定义在上，则该函数的线性近似阈值是（）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．[2019·许昌质检]的展开式中含项的系数为________．
14．[2019·重庆调研]为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，，，，，根据收集到的数据可知，由最小二乘法求得回归直线方程为，则______．
15．[2019·雅安诊断]已知函数，且，则__________．
16．[2019·三明质检]在平面直角坐标系中，点，动点满足以为直径的圆与轴相切．过作直线的垂线，垂足为，则的最小值为______．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）[2019·浦东期中]已知向量，，其中，
若函数的最小正周期为．
（1）求的值；
（2）在中，若，，，求的值．
18．（12分）[2019·安徽联考]某超市开展年终大回馈，设计了两种答题游戏方案：
方案一：顾客先回答一道多选题，从第二道开始都回答单选题；
方案二：顾客全部选择单选题进行回答；
其中每道单选题答对得2分，每道多选题答对得3分，无论单选题还是多选题答错都得0分，每名参与的顾客至多答题3道．在答题过程中得到3分或3分以上立刻停止答题，并获得超市回馈的
赠品．
为了调查顾客对方案的选择情况，研究人员调查了参与游戏的500名顾客，所得结果如下表所示：
男性
女性
选择方案一
150
80
选择方案二
150
120
（1）是否有的把握认为方案的选择与性别有关？
（2）小明回答每道单选题的正确率为，多选题的正确率为．
①若小明选择方案一，记小明的得分为，求的分布列及期望；
②如果你是小明，你觉得选择哪种方案更有可能获得赠品，请通过计算说明理由．
附：，．
19．（12分）[2019·江淮十校]三棱柱中，为的中点，点在侧棱上，平面．
（1）证明：是的中点；
（2）设，四边形为正方形，四边形为矩形，且异面直线与
所成的角为，求两面角的余弦值．
20．（12分）[2019·永州模拟]已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆
过点，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），且的周长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点，分别作斜率为，的直线，，分别交椭圆于，和，四点，
且，求的值．
21．（12分）[2019·安徽联考]已知函数，．
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·安徽联考]已知在极坐标系中，曲线的极坐标方程为．以极点为原点，极轴所在直线为轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．
（1）求曲线的直角坐标方程以及曲线的极坐标方程；
（2）若曲线，交于，两点，且，，求的值．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·延安模拟]已知函数，．
（1）解不等式；
（2）若对，，有，，求证：．
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理科数学答案（七）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】由题意，复数，所以复数的虚部为3，
故选B．
2．【答案】B
【解析】命题表示的集合为；命题表示的集合为，
因为命题是的必要不充分条件，所以是的真子集，则，即．故选B．
3．【答案】D
【解析】双曲线的焦距为，
可得，即，解得，
可得双曲线的方程为，的渐近线方程为．故选D．
4．【答案】A
【解析】从左往右看，是正方形从左上角有一条斜线，故选A．
5．【答案】C
【解析】作可行域，
则直线为直线或直线时取最大值，此时或，故选C．
6．【答案】B
【解析】高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践，共有种方法，
若甲工厂没有班级去，则有种方法，所以所求不同的分配方案有种方法，故选B．
7．【答案】D
【解析】由程序框图知：
第一次循环：初始值为0，，，故，不满足；
第二次循环：，，故，不满足；
第三次循环：，，故，刚好满足；
此时，满足，必须退出循环，故，故选D．
8．【答案】C
【解析】今有白米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，
只知道甲比丙多分三十六石，∴，
，解得（石）．
∴石，∴乙应该分得60石，故选C．
9．【答案】D
【解析】①对于任意的，都有，所以函数的周期为；
②函数的图象关于轴对称，所以函数关于直线对称；
③对于任意的，，都有，所以函数在单调递增，
因为，，，，所以，故选D．
10．【答案】C
【解析】设正方体棱长为1，，则，连接，，
由可知，即为异面直线与所成角，
在中，，，故，
又，，
又在为单调减函数，，故选C．
11．【答案】C
【解析】设同心圆的圆心为，由切线性质可知：，
又因为圆上点作的切线交圆于，两点，所以，，
在中，，
根据，，可知，，
，
，，是的中点，根据向量加法的几何意义得，
代入上式得，
，
，，，故本题选C．
12．【答案】B
【解析】作出函数图像，
它的图象在上的两端点分别为：，，
所以直线的方程为，
设是曲线上的一点，，其中，
由，可知，，三点共线，
所以点的坐标满足直线的方程，
又，，则，
所以，两点的横坐标相等，故，
函数在上满足“范围线性近似”，
所以时，恒成立，即恒成立．
记，整理得，，
，当且仅当时，等号成立．
当时，，
所以，所以，即，
所以该函数的线性近似阈值是，故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】5
【解析】设二项展开式中第项含项，，
所以，，所以，故答案为5．
14．【答案】375
【解析】由题意：，则，，本题正确结果为375．
15．【答案】
【解析】当为奇数时，
．
当为偶数时，
．
，
所以
．
16．【答案】
【解析】由动点满足以为直径的圆与轴相切可知：动点到定点的距离等于动点
到直线的距离，故动点的轨迹为，
由，可得，
，解得，即直线过定点，
又过作直线的垂线，垂足为，
所以点在以为直径的圆上，直径式方程为，
化为标准方程为，圆心，半径．
过作垂直准线，垂足为，
则，
故答案为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1），
∵的最小正周期为，∴，∴．
（2）设中角，，所对的边分别是，，．
∵，∴，即，解得．
∵，∴，
∵，∴，∴，，
∵，∴，，∴，∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）由题意，完善列联表如下表所示：
男性
女性
总计
选择方案一
150
80
230
选择方案二
150
120
270
总计
300
200
500
，
故有的把握认为方案的选择与性别有关．
（2）①的所有可能取值为0，2，3，4，
则，，
，．
故的分布列为：
0
2
3
4
．
②小明选择方案一得分不低于3分的概率为，小明选择方案二得分不低于3分的概率为．
，小明选择方案一时更有可能获得赠品．
19．【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为．
【解析】（1）证明：取的中点，连接、，
因为为中点，所以．
平面，平面，平面．
又由已知平面，且，所以平面平面．
又平面，所平面．
而平面，且平面平面，所以，
而为的中点，所以为的中点．
（2）由题设知：、、两两垂直，以为轴，为轴，为轴，建立
空间直角坐标系．
设，，则，，，，，
所以，．
因为异面直线与所成的角为，
所以，解得，于是．
设平面的法向量为，因为，，
所以，取，则，所以．
又是平面的一个法向量，所以，
即二面角的余弦值为．
20．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得，，解得，，
所以椭圆的方程为．
（2）由题得，，
设直线的方程为，，，
联立，得，
，
则，．
，
同理联立方程，由弦长公式可得，
，，
化简得，则．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，则，故，
又，故所求切线方程为，即．
（2）由题意得，在上恒成立，
设函数，则，
故对任意，不等式恒成立，
①当，即恒成立时，函数在上单调递减，
设，则，
，即，解得，符合题意；
②当时，恒成立，此时函数在上单调递增，
则不等式对任意恒成立，不符合题意；
③当时，设，则，
令，解得，
当时，，此时单调递增，
，
故当时，函数单调递增，
当时，成立，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
22．【答案】（1）；；（2）．
【解析】（1），，
则曲线的直角坐标方程为，
，，
则曲线的极坐标方程为．
（2）由（1）得曲线的参数方程为（为参数），
代入中，整理得，
，解得，
设，对应的参数分别为，，则，
由的几何意义得，，解得，
又，．
23．【答案】（1）；（2）见证明．
【解析】（1）因为，所以，
即，或，或，
解得，或，或．
所以不等式的解集为．
（2）因为，，
所以．
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