第十八章 平行四边形
一、选择题
1.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD只需要满足一个条件，是( )
A． 四边形ABCD是梯形
B． 四边形ABCD是菱形
C． 对角线AC＝BD
D．AD＝BC
2.下列说法中错误的是( )
A． 平行四边形的对角线互相平分
B． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C． 矩形的对角线相等
D． 有一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形
3.如图，平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.若点A的坐标为(－4,2)，则点C坐标为( )
A． (4，－2)
B． (4,2)
C． (2，－4)
D． (－2，－4)
4.如图，平行四边形ABCD的周长是26 cm，对角线AC与BD交于点O，AC⊥AB，E是BC中点，△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，则AE的长度为( )
A． 3 cm
B． 4 cm
C． 5 cm
D． 8 cm
5.如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形( )
A．OA＝OC，OB＝OD
B． ∠BAD＝∠BCD，AB∥CD
C．AD∥BC，AD＝BC
D．AB＝CD，AO＝CO
6.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝20，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝4.若∠AFC＝90°，则BC的长度为( )
A． 24
B． 28
C． 20
D． 12
7.正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD的中点，则∠CPQ大小为( )
A． 50°
B． 60°
C． 45°
D． 70°
8.如图，△ABC中，AB＝AC＝15，D在BC边上，DE∥BA于点E，DF∥CA交AB于点F，那么四边形
AFDE的周长是( )
A． 30
B． 25
C． 20
D． 15
二、填空题
9.如图，将平行四边形的ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠DCE＝______.
10.如图，AB＝BC，D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，△ABD的面积为12 cm2，则△BCD的面积为________ cm2.
11.如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，且AB＝6，△OCD的周长为27，则平行四边形ABCD的两条对角线的和是__________．
12.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：①AB∥CD；②AD∥BC；③OA＝OC；④OB＝OD，从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的选法有________种．
13.如图，△ABC中，AB＝AC，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC，若DE＝5，AE＝8，则BC的长度为____________．
14.一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米．
15.如图，在△ABC中，D、E、F分别是各边的中点，AH是高，∠DHF＝50°，∠DAF＝________°.
16.如图，点P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E、F，连接EF，下列结论①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP，其中正确的结论是____________(请填序号)
三、解答题
17.在▱ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB边的延长线于点F.
(1)如图1，求证：BF＝AB；
(2)如图2，G是AB边的中点，连接DG并延长，交CB边的延长线于点H，若四边形ABCD为菱形，试判断∠H与∠F的大小，并证明你的结论．
18.如图，BM、CN分别平分△ABC的外角∠ABD、∠ACE，过A分别作BM、CN的垂线，垂足分别为M、N，交CB、BC的延长线于D、E，连接MN.
求证：MN＝(AB＋BC＋AC)．
19.如图，△ABC中，AB＝AC，E、F分别是BC、AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC.
(1)求证：FE＝FD；
(2)若∠CAD＝∠CAB＝24°，求∠EDF的度数．
20.小红同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1所示的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
(1)在方框中填空，以补全已知求证；
(2)按图2中小红的想法写出证明；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为____________________．
21.如图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)判断OE与OF的大小关系？并说明理由；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说出你的理由；
(3)在(2)的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形AECF
是正方形．直接写出答案，不需说明理由．
22.如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接ED、FB，判断四边形BEDF是否是平行四边形，说明理由．
答案解析
1.【答案】D
【解析】∵在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，
∴EF∥AD，HG∥AD，
∴EF∥HG；
同理，HE∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形；
A．若四边形ABCD是梯形时，AD≠CD，则GH≠FE，这与平行四边形EFGH的对边GH＝FE相矛盾；故本选项错误；
B．若四边形ABCD是菱形时，点EFGH四点共线；故本选项错误；
C．若对角线AC＝BD时，四边形ABCD可能是等腰梯形，证明同A选项；故本选项错误；
D．当AD＝BC时，GH＝GF；所以平行四边形EFGH是菱形；故本选项正确；
故选D.
2.【答案】D
【解析】A.对角线互相平分是平行四边形的一条重要性质，故该选项正确；
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形，这是平行四边形的定义，故该选项正确；
C．矩形的对角线相等，是矩形的重要性质，故该选项正确；
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，而不是一般的四边形，故该选项错误．
故选D.
3.【答案】A
【解析】如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线交于原点O，
∴点A与点C关于原点O对称，
∵点A(－4,2)，
∴点C(4，－2)．
故选A.
4.【答案】B
【解析】∵▱ABCD的周长为26 cm，
∴AB＋AD＝13 cm，OB＝OD，
∵△AOD的周长比△AOB的周长多3 cm，
∴(OA＋OD＋AD)－(OA＋OB＋AB)＝AD－AB＝3 cm，
∴AB＝5 cm，AD＝8 cm.
∴BC＝AD＝8 cm.
∵AC⊥AB，E是BC中点，
∴AE＝BC＝4 cm；
故选B.
5.【答案】D
【解析】A.根据对角线互相平分，可得四边形是平行四边形，故此选项可以证明四边形ABCD是平行四边形；
B．根据AB∥CD可得：∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°，又由∠BAD＝∠BCD可得：∠ABC＝∠ADC，根据两组对角对应相等的四边形是平行四边形可以判定；
C．根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可以证明四边形ABCD是平行四边形；
D．AB＝CD，AO＝CO不能证明四边形ABCD是平行四边形．
故选D.
6.【答案】B
【解析】如题图，∵∠AFC＝90°，AE＝CE，AC＝20，
∴EF＝AC＝10，
又DF＝4，
∴DE＝4＋10＝14；
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝28，
故选B.
7.【答案】C
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴BA＝DA＝BC＝CD，
∵P、Q分别为BC、CD的中点，
∴DQ＝BP，
∴CP＝CQ，
∵∠C＝90°，
∴∠CPQ＝45°，
故选C.
8.【答案】A
【解析】∵AB＝AC＝15，∴∠B＝∠C，
由DF∥AC，得∠FDB＝∠C＝∠B，
∴FD＝FB，
同理，得DE＝EC.
∴四边形AFDE的周长＝AF＋AE＋FD＋DE
＝AF＋FB＋AE＋EC
＝AB＋AC
＝15＋15＝30.
故选A.
9.【答案】70°
【解析】∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，
∴∠BCD＝∠A＝110°，
∴∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－110°＝70°.
10.【答案】12
【解析】过D作DE⊥AB于E，
∵D在∠ABC外角平分线上，且CD⊥BC，
∴DC＝DE，
∵△BCD的面积为BC·DC，△ABD的面积为AB·DE，
又∵AB＝BC，
∴△BCD的面积与△ABD的面积相等为12 cm2.
故答案为12 cm2.
11.【答案】42
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵△OCD的周长为27，
∴OD＋OC＝27－6＝21，
∵BD＝2DO，AC＝2OC，
∴平行四边形ABCD的两条对角线的和＝BD＋AC＝2(DO＋OC)＝42.
12.【答案】6
【解析】任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有①②；③④；①③；①④；②③；②④.
13.【答案】2
【解析】∵BE⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∵D为AB中点，
∴AB＝2DE＝2×5＝10，
∵AE＝8，
∴BE＝＝6.
∴BC＝＝＝2，
14.【答案】2.5
【解析】设长边和短边长分别为5xm,3xm，
∴2(5x＋3x)＝8，
解得x＝0.5，
∴长边的长是2.5米．
15.【答案】50
【解析】如图．∵AH⊥BC于H，
又∵D为AB的中点，
∴DH＝AB＝AD，
∴∠1＝∠2，
同理可证：∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
即∠DHF＝∠DAF，
∵∠DHF＝50°，
∴∠DAF＝50°；
16.【答案】①②④
【解析】如图，
∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，
∴PA＝PC，∠C＝90°，
∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，
∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠C＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，
∴PA＝EF，故②正确，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°，
∵∠PFC＝∠C＝90°，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝45°，
∵∠DFP＝90°，
∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，
在△PAB和△PCB中，，
∴△PAB≌△PCB，
∴∠BAP＝∠BCP，
在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，
∴∠PFE＝∠BAP.故④正确，
∵点P是正方形对角线BD上任意一点，
∴AD不一定等于PD，
只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误，
17.【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC＝AB，DC∥AB，
∴∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F，
又∵E是CB的中点，
∴CE＝BE，
在△CDE和△BFE中，
∴△CDE≌△BFE(AAS)，
∴BF＝DC，
∴BF＝AB；
(2)解 ∠F＝∠H，
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠ADH＝∠H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC＝CB＝AB，∠A＝∠C，
∵E、G分别是CB、AB的中点，
∴AG＝CE，
在△ADG和△CDE中，
∴△ADG≌△CDE(SAS)，
∴∠CDE＝∠ADG，
∴∠H＝∠F.
【解析】(1)根据平行四边形性质推出DC＝AB，DC∥AB，得出∠C＝∠EBF，∠CDE＝∠F，根据AAS证△CDE≌△BFE即可；
(2)根据菱形的性质推出AD＝CD，AG＝CE，∠A＝∠C，推出△ADG≌△CDE，得出∠CDE＝∠ADG，根据平行线性质推出∠CDE＝∠F，∠ADH＝∠H，即可得到答案．
18.【答案】证明 ∵AM⊥BM，
∴∠AMB＝∠DMB＝90°，
∵BM平分∠ABD，
∴∠ABM＝∠DBM，
在△ABM与△DBM中，
∠AMB＝∠DMB，
BM＝BM，
∠ABM＝∠DBM，
∴△ABM≌△DBM(ASA)，
∴AB＝DB，AM＝DM，
同理：AN＝EN，AC＝CE，
∴MN＝DE＝(DB＋BC＋CE)＝(AB＋BC＋AC)．
【解析】首先通过△ABM≌△DBM，得到AB＝DB，AM＝DM，同理：AN＝EN，AC＝CE，再根据三角形的中位线定理即可得到结果．
19.【答案】(1)证明 ∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE＝AB，
∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴FD＝AC，
∵AB＝AC，
∴FE＝FD；
(2)解 ∵E、F分别是BC、AC的中点，
∴FE∥AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝24°，
∵F是AC的中点，∠ADC＝90°，
∴FD＝AF.
∴∠ADF＝∠DAF＝24°，
∴∠DFC＝48°，
∴∠EFD＝72°，
∵FE＝FD，
∴∠FED＝∠EDF＝54°.
【解析】(1)根据三角形的中位线定理得到FE＝AB，根据直角三角形的性质得到FD＝AC，等量代换即可；
(2)根据平行线的性质得到∠EFC＝∠BAC＝24°，根据直角三角形的性质得到∠DFC＝48°，根据等腰三角形的性质计算即可．
20.【答案】(1)解 已知：如图1，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD
求证：四边形ABCD是平行四边形，
故答案为CD，平行；
(2)证明 连接BD，
在△ABD和△CDB中，
∴△ABD≌△CDB(SSS)
∴∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为：平行四边形两组对边分别相等．
故答案为平行四边形两组对边分别相等．
【解析】(1)命题的题设为“两组对边分别相等的四边形”，结论是“是平行四边形”，根据题设可得已知：在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝CD，求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)连接BD，利用SSS定理证明△ABD≌△CDB可得∠ADB＝∠DBC，∠ABD＝∠CDB，进而可得AB∥CD，AD∥CB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；
(3)把命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的题设和结论对换可得平行四边形两组对边分别相等．
21.【答案】解 (1)∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB，
∴∠OEC＝∠ACE，
∴OE＝OC，
同理可得：OC＝OF，
∴OE＝OF；
(2)当O为AC中点时，四边形AECF是矩形；
理由如下：
∵OA＝OC，OE＝OF(已证)，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EC平分∠ACB，CF平分∠ACG，
∴∠ACE＝∠ACB，∠ACF＝∠ACG，
∴∠ACE＋∠ACF＝(∠ACB＋∠ACG)＝×180°＝90°，
即∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形；
(3)当△ABC是直角三角形时，即当∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形；
理由：由(2)得，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵∠ACB＝90°，CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ECB＝45°，
∴∠OEC＝∠ECB＝45°，
∴∠EOC＝90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
【解析】(1)利用平行线的性质，得∠OEC＝∠ECB，根据角平分线的定义可知：∠ACE＝∠ECB，由等量代换和等角对等边，得OE＝OC，同理：OC＝OF，可得结论；
(2)先根据对角线互相平分证明四边形AECF是平行四边形，再由角平分线可得：∠ECF＝90°，利用有一个角是直角的平行四边形可得结论；
(3)由(2)可知，当点O为AC的中点时，四边形AECF是矩形，再证明AC⊥EF，即可得出答案．
22.【答案】(1)证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∵BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，
∴∠ABE＝∠ABC，∠CDF＝∠ADC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴AE＝CF；
(2)解 是平行四边形；
连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF.
即EO＝FO.
∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
【解析】(1)根据角平分线的性质先得出∠BEC＝∠DFA，然后再证∠ACB＝∠CAD，再证出△ABE≌△CDF，从而得出AE＝CF；
(2)连接BD交AC于O，则可知OB＝OD，OA＝OC，又AE＝CF，所以OE＝OF，然后依据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
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