第二十八章 锐角三角函数
一、选择题
1.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵倾斜的大树AB与地面成30°角,这时测得大树在地面的影长BC为10 m,则大树的长为( )
A. 5m
B. 10m
C. 15m
D. 20m
2.如图,长为6米的梯子AB靠在墙上,梯子地面上的一端B到墙面AC的距离BC为2.4米,则梯子与地面所成的锐角α的大小大致在下列哪个范围内( )
A. 0°<α<30°
B. 30°<α<45°
C. 45°<α<60°
D. 60°<α<90°
3.如图,每个小正方形的边长为1,点A、B、C是小正方形的顶点,则∠ABC的正弦值为( )
A.
B.
C.
D. 不能确定
4.已知tanα=,则锐角α的取值范围是( )
A. 0°<α<30°
B. 30°<α<45°
C. 45°<α<60°
D. 60°<α<90°
5.若规定sin (α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,则sin 15°等于( )
A.
B.
C.
D.
6.cosα表示的是( )
A. 一个角
B. 一个实数
C. 一个点
D. 一条射线
7.四位学生用计算器求sin 62°20′的值正确的是( )
A. 0.8857
B. 0.8856
C. 0.8852
D. 0.8851
8.对于锐角α,sinα的值不可能为( )
A.
B.
C.
D. 2
9.在△ABC中,∠C=90°,AB=6,cosA=,则AC等于( )
A. 18
B. 2
C.
D.
10.如图,在楼顶点A处观察旗杆CD测得旗杆顶部C的仰角为30°,旗杆底部D的俯角为45°.已知楼高AB=9 m,则旗杆CD的高度为( )
A. (9+) m
B. (9+3) m
C. 9m
D. 12m
二、填空题
11.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,且AC=1,BC=2,则sin ∠A=____________.
12.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C对边,如果2b=3a,则tanA=__________.
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,2a=c,则∠B=________.
14.如图,航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°,测得底部C的俯角为60°,此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米,那么该建筑物的高度BC约为________米.(精确到1米,参考数据:≈1.73)
15.如图,Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC于点D,若AD:CD=4∶3,则tanB=__________.
16.已知Rt△ABC中,∠C=90°,3a=b,则∠B=__________.
17.如图,若点A的坐标为(1,),则sin ∠1=________.
18.在△ABC中,sinB=cos (90°-C)=,那么△ABC是__________三角形.
19.某校初三(一)班课外活动小组为了测得学校旗杆的高度,它们在离旗杆6米的A处,用高为1.5米的仪器测得旗杆顶部B处的仰角为60°,如图所示,则旗杆的高度为__________米.(已知≈1.732结果精确到0.1米)
20.有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P,轮船沿正南方向航行至B处,测得小岛P在南偏东45°方向上,按原方向再航行10海里至C处,测得小岛P在正东方向上,则A,B之间的距离是__________海里.(结果取整数)(参考数据:≈1.73)
三、解答题
21.计算:(1)tan 30°cos 60°+tan 45°cos 30°;
(2)tan260°-2sin 30°cos 45°.
22.计算:cos245°+cot230°.
23.某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
24.计算:sin 45°+cos230°+2sin 60°.
25.小明周日在广场放风筝,如图,小明为了计算风筝离地面的高度,他测得风筝的仰角为60°,已知风筝线BC的长为20米,小明的身高AB为1.75米,请你帮小明计算出风筝离地面的高度.(结果精确到0.1米,参考数据≈1.41,≈1.73)
26.计算:sin 45°+sin 60°-2tan 45°.
27.如图,长方形广告牌架在楼房顶部,已知CD=2 m,经测量得到∠CAH=37°,∠DBH=60°,AB
=10 m,求GH的长.(参考数据:tan 37°≈0.75,≈1.732,结果精确到0.1 m)
28.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高CD,在课外活动时间测得下列数据:如图,从地面E点测得地下停车场的俯角为30°,斜坡AE的长为16米,地面B点(与E点在同一个水平线)距停车场顶部C点(A、C、B在同一条直线上且与水平线垂直)1.2米.试求该校地下停车场的高度AC及限高CD(结果精确到0.1米).
答案解析
1.【答案】B
【解析】如图,作AD⊥CD于D点.
因为∠B=30°,∠ACD=60°,
且∠ACD=∠B+∠CAB,
∴∠CAB=30°.
∴BC=AC=10 m,
在Rt△ACD中,CD=AC·cos 60°=10×0.5=5 m,
∴BD=15.
∴在Rt△ABD中,
AB=BD÷cos 30°=15÷=10m.
故选B.
2.【答案】D
【解析】如图所示,在直角△ABC中,∵∠ACB=90°,AB=6,BC=2.4,
∴cosα===0.4,
∴∠α≈66.4°,
∴60°<α<90°.
故选D.
3.【答案】B
【解析】如图,连接AC,根据勾股定理可以得到AC=AB=,BC=2.
∵()2+()2=(2)2.
∴AC2+AB2=BC2.
∴△CAB是等腰直角三角形.
∴∠ABC=45°,
∴∠ABC的正弦值为.
故选B.
4.【答案】C
【解析】∵tan 30°=≈0.577,tan 45°=1,tan 60°=≈1.732,
又∵tanα==1.2,
∴tan 45°<tanα<tan 60°,
∵锐角的正切值随角度的增大而增大,
∴45°<α<60°,
故选C.
5.【答案】D
【解析】由题意得,sin 15°=sin (45°-30°)
=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°
=××
=,
故选D.
6.【答案】B
【解析】由三角函数的定义可知,三角函数是线段的比值,所以三角函数是一个实数,故选B.
7.【答案】A
【解析】本题要求熟练应用计算器,根据计算器给出的结果进行判断.
sin 62°20′≈0.8857,
故选A.
8.【答案】D
【解析】∵α是锐角,
∴sinα的取值范围是sinα<1,
∴sinα的值不可能为2.
故选D.
9.【答案】B
【解析】∵在△ABC中,∠C=90°,
∴cosA=,
∵cosA=,AB=6,
∴AC=AB=2,
故选B.
10.【答案】B
【解析】如图,过点A作AE⊥CD于点E,
∵AE∥BD,
∴∠ADB=∠EAD=45°,
∴AB=BD=9 m.
∵AB⊥BD,ED⊥BD,AE⊥CD,AB=BD,
∴四边形ABDE是正方形,
∴AE=BD=AB=DE=9 m.
在Rt△ACE中,
∵∠CAE=30°,
∴CE=AE·tan 30°=9×=3,
∴CD=CE+DE=(3+9) m.
故选B.
11.【答案】
【解析】∵∠C=90°,
∴AC2+BC2=AB2,
∵AC=1,BC=2,
∴AB=;
∴sin ∠A===.
12.【答案】
【解析】∵∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C对边,
∴tanA=,
∵2b=3a,
∴=,
∴tanA==.
13.【答案】30°
【解析】在Rt△ABC中,
∵∠C=90°,2a=c,
∴b==,
则sin ∠B==,
∴∠B=30°.
14.【答案】208
【解析】由题意可得:tan 30°===,
解得:BD=30,
tan 60°===,
解得DC=90,
故该建筑物的高度为BC=BD+DC=120≈208(m).
15.【答案】
【解析】∵Rt△ABC中,∠A=90°,AD⊥BC,
∴∠B=∠CAD,
∵AD:CD=4:3,
∴tanB=tan ∠CAD==.
16.【答案】60°
【解析】∵∠C=90°,3a=b,
∴=,
即tanB=,
∴∠B=60°.
17.【答案】
【解析】如图,过点A作AB⊥x轴于点B,
∵点A的坐标为(1,) ,
∴OB=1,AB=,
由勾股定理,得OA==2.
sin ∠1==.
18.【答案】等腰
【解析】∵sinB=cos (90°-C)=,
即sinB=,
∴∠B=30°;
cos (90°-C)=,
∴90°-∠C=60°,
∴∠C=30°,
∴∠C=∠B.
∴△ABC是等腰三角形.
19.【答案】11.9
【解析】在Rt△ABC中,BC=AC×tan ∠BAC=6×≈10.4米,
10.4+1.5=11.9米.
20.【答案】7
【解析】由题意得:∠CAP=30°,∠CBP=45°,BC=10海里,
在Rt△APC中,∵∠CAP=30°,
∴AC===10≈17.3海里,
∴AB=AC-BC≈17.3-10≈7海里.
21.【答案】解 (1)tan 30°cos 60°+tan 45°cos 30°
=×+1×
=+
=.
(2)原式=()2-2××
=3-1-1
=1.
【解析】将特殊角的三角函数值代入求解.
22.【答案】解 原式=2+()2
=+3
=.
【解析】根据特殊角三角函数值,可得实数的运算,根据实数的运算,可得答案.
23.【答案】解 作AD⊥BC于D,
∵∠EAB=30°,AE∥BF,
∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,
∴∠ABD=45°,又AB=60,
∴AD=BD=30,
∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,
∴∠C=60°,
在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=30,
则tanC=,
∴CD==10,
∴BC=30+10.
故该船与B港口之间的距离CB的长为30+10海里.
【解析】作AD⊥BC于D,根据题意求出∠ABD=45°,得到AD=BD=30,求出∠C=60°,根据正切的概念求出CD的长,得到答案.
24.【答案】解 原式=×+2+2×
=++
=1+.
【解析】先把各特殊角的三角函数值代入,再根据二次根式混合运算的法则进行计算即可.
25.【答案】解 ∵在Rt△CBE中,sin 60°=,
∴CE=BC·sin 60°=20×≈17.3 m,
∴CD=CE+ED=17.3+1.75=19.05≈19.1 m.
答:风筝离地面的高度是19.1 m.
【解析】先根据锐角三角函数的定义求出CE的长,再由CD=CE+ED即可得出结论.
26.【答案】解 原式=×+2×-2×1
=+3-2
=.
【解析】根据特殊角的三角函数值进行计算.
30°、45°、60°角的各种三角函数值.
sin 30°=; cos 30°=;tan 30°=;
sin 45°=;cos 45°=;tan 45°=1;
sin 60°=;cos 60°=; tan 60°=.
27.【答案】解 延长CD交AH于点E,如图所示:根据题意得CE⊥AH,
设DE=xm,则CE=(x+2)m,
在Rt△AEC和Rt△BED中,tan 37°=,tan 60°=,
∴AE=,BE=,
∵AE-BE=AB,
∴=10,
即-=10,
解得x≈5.8,
∴DE=5.8 m,
∴GH=CE=CD+DE=2 m+5.8 m=7.8 m.
答:GH的长为7.8 m.
【解析】首先构造直角三角形,设DE=xm,则CE=(x+2)m,由三角函数得出AE和BE,由AE=BE=AB得出方程,解方程求出DE,即可得出GH的长.
28.【答案】解 由题意得,AB⊥EB,CD⊥AE,
∴∠CDA=∠EBA=90°,
∵∠E=30°,
∴AB=AE=8米,
∵BC=1.2米,
∴AC=AB-BC=6.8米,
∵∠DCA=90°-∠A=30°,
∴CD=AC×cos ∠DCA=6.8×≈5.9米.
答:该校地下停车场的高度AC为6.8米,限高CD约为5.9米.
【解析】根据题意和正弦的定义求出AB的长,根据余弦的定义求出CD的长.