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龙泉高二下学期数学试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列说法中错误的是（ ）
A．给定两个命题，若为真命题，则都是假命题；
B．命题“若，则”的逆否命题是“若，则”；
C．若命题，则，使得；
D．函数在处的导数存在，是的极值点.则是的充要条件.
2．直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合，设，在集合内随机取出一个元素为点的坐标，则点到直线的距离不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“方程为双曲线的方程”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知直线是圆的一条对称轴，过点向圆 作切线，切点为，则（ ）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点作倾斜角为的直线交抛物线于两点，且，则（ ）
A． B． C．2 D．3
7．如图是某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）.
A．84 4.84 B．84 1.6 C．85 4 D．85 1.6
8．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，当取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则此双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的定义域为，且满足，的导函数的图象如右图，若正实数 满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．现有4种不同品牌的小车各2辆（同一品牌的小车完全相同），计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆），则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法有（ ）种
A．144 B．108 C．96 D．72
11．如图，在三棱锥 中，，
平面 平面为中点， 分别为线段
上的动点（不含端点），且 ，则三棱锥 体积的
最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数,若,且对任意的恒成立，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．曲线在处的切线与曲线相切，则 .
14．椭圆的长轴长是短轴长的两倍，则的值为 ．
15． .
16．已知定义在上的函数满足，且的导函数，则不等式
的解集为 .
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）对一批电子元件进行寿命追踪调查，从这批产品中抽取个产品（其中），得到频率分布直方图如图.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从频率分布直方图估算这批电子元件寿命
的平均数、中位数分别是多少？
（Ⅲ）现要从这批电子元件中按频率分布直方图用分层抽样的方法抽取一个样本容量为20的样本，则在400500及500600这两组中抽出两个电子元件的使用寿命之和大于1000小时的概率是多少？
18．（本小题满分12分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品须向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件．经物价部门核定每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元．
(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)万元与每件产品的售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
19．（本小题满分12分）已知以点（）为圆心的圆与轴交于点和点，与轴交于点和点，其中为原点．
（1）求证：△的面积为定值；
（2）设直线与圆交于点,，若，求圆的方程．
20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．
（1）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（2）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面
EAC所成角的正弦值．
21．（本小题满分12分）设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）若过、、三点的圆恰好与直线
相切，求椭圆的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设直线： (其中、)与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点．问是否存在直线，使向量，若存在，指出这样的直线有多少条，若不存在，请说明理由．
22. （本小题满分12分）已知函数.
（1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
（2）当时，试比较与1的大小；
（3）证明：
龙泉中学高二下学期数学试卷答案
1-12：D B D D C D D C B D A C
12．解：令则，令，
则在上递增。
由
得，使得在上递减，在上递增，
，代入上式得：
，故.
13.1 14. 4或 15. 16.
17. 解：（Ⅰ）由得
， 。。。。。。3分
（Ⅱ）平均数估计值为
，前2组的
频率为0.25，前3组的频率为0.65，所以中位数的估计值为. ……7
（Ⅲ）使用寿命在400—500有人，在500—600有人，
故 ……10分
18.解：解：(1)由题意，该产品一年的销售量y＝，
将x＝40，y＝500代入，得k＝500e40.
该产品一年的销售量y(万件)关于x(元)的函数关系式为y＝500e40－x.
L(x)＝(x－30－a)y＝500(x－30－a)e40－x(35≤x≤41)．
(2)L′(x)＝500[e40－x－(x－30－a)e40－x]
＝500e40－x(31＋a－x)．
①当2≤a≤4时，L′(x)≤500e40－x(31＋4－35)＝0，
当且仅当a＝4，x＝35时取等号．
所以L(x)在[35,41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(35)＝500(5－a)e5.
②当4＜a≤5时，L′(x)＞0⇔35≤x＜31＋a；
L′(x)＜0⇔31＋a＜x≤41.
所以L(x)在[35,31＋a)上单调递增，在(31＋a,41]上单调递减．
因此，L(x)max＝L(31＋a)＝500e9－a.
答：当2≤a≤4时，每件产品的售价为35元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500(5－a)e5万元；
当4＜a≤5时，每件产品的售价为(31＋a)元，该产品一年的利润L(x)最大，最大为500e9－a万元．
19. 解：（1），
设圆的方程是
令，得；令，得
，即：的面积为定值．
（2）垂直平分线段．
，直线的方程是,，
解得：,当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离，圆与直线相交于两点．
当时，圆心的坐标为，，
此时到直线的距离
圆与直线不相交，不符合题意舍去．
圆的方程为
20.（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，
又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．……4分
（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．
设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…（6分）
=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），
取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．
设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，
即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），
依题意，|cos＜， ＞|===，则a=2．…（10分）
于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．
设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，
即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…（12分）
21. 解：（Ⅰ）由题意知，， ，∵知为的中点，
⊥
∴中，，，又
∴，故椭圆的离心率 ………………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知得，于是, ，
的外接圆圆心为（，0），半径，
所以，解得=2，∴，，
所求椭圆方程为 ……………………………………………………6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， 得：
△①
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则， ----------------7分
由 得：
②
设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则，---------- 8分
由得：
∴，解得：或 ---------------10分
当时，由①②得：，又，∴
当时，由①②得：，又，∴
∴满足条件的直线有5条．---------------12分
22．解：（1）当时，，其定义域是
，，当或时，
；当时，.∴函数在上单调递增，在上单调递减. ∴的极大值是极小值是.当仅有一个零点时，的取值范围是或……4分
（2）当时，，其定义域为，
令，∵，∴
在上是增函数.
① 当时，，即.
② 当时，，即.
③当时，即，即. ……8分
（3）根据（2）的结论，当时，，即，令，
则有，∴
∴ ……12分
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