长春市2019年高三质量监测（四）
数学（文科）试题参考答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. A 2. B 3. D 4. B 5.A 6. C
7. B 8. C 9. A 10. A 11. D 12. D
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）
13. 14. 15. 3 16.
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查数列与数学归纳法的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由题意，，或，，
所以相距最近的两个点横坐标满足，（3分）
又函数图像与直线的交点中距离最近的两个交点距离，
因此. 即函数解析式为.（6分）
（Ⅱ）表略（9分）图略. （12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查立体几何的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）由题意得，
故四边形为平行四边形，所以，由平面，
平面，故平面，（2分）
由题意可知，为中点，，
所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，（4分）
又由于相交，所以平面平面（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点到平面距离为到平面距离的3倍.
在中，，，
则.
，则. （8分）
.
.（10分）
，即点到平面的距离为. （12分）
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）依题意，是线段中点，
因为，故，（2分）
代入椭圆的方程，可得（4分）
（Ⅱ）设，则，又（6分），
又所以，，，（8分）
，消去，可得，（10分）
故（12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查概率与统计的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）
男生答卷成绩优秀概率（2分）
女生答卷成绩优秀概率（4分）
（Ⅱ）
男
女
总计
优秀
580
530
1110
非优秀
420
470
890
总计
1000
1000
2000
（6分）
经计算的观测值
所以能在犯错误概率不超过0.025的前提下认为“问卷成绩为优秀等级与性别有关”. （8分）
（III）由频率分布直方图表明：男生成绩的平均分（或中位数）在80到85之间，女生成绩的平均分（中位数）在75到80分之间，且男生的成绩分布集中程度较女生成绩集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定.（12分）
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）令，（2分）
+
极小值
，无极大值；（4分）
（II）对任意，即，
设，，（8分）
①当时，单调递增，单调递增，，成立；（9分）
②当时，令，单调递增，单调递增，，成立；（10分）
③当时，当时，，单调递减，
单调递减，，不成立. （11分）
综上，（12分）
17. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）的直角坐标方程为①，的直角坐标方程为 ②，将①②联立，可求得，由题意： ，求得. （5分）
（II）当时，曲线为直线，解方程组，
得，，于是可求得. （10分）
18. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）
（5分）
（II）
而，所以 （10分）
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