长春市2019年高三质量监测（四）
数学（理科）试题参考答案及评分参考
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. A 2. B 3. C 4. B 5. A 6. C
7. B 8. B 9. A 10. A 11. D 12. A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查数列与数学归纳法的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知，. （3分）
可猜得. （6分）
（Ⅱ）当时，成立，（8分）
假设当时，成立，（10分）
当时，成立
综上，. （12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本题考查立体几何的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）由题意得，
故四边形为平行四边形，所以，
由平面，平面，故平面，（2分）
由题意可知，为中点，，
所以四边形为平行四边形，所以，所以平面，（4分）
又由于相交，所以平面平面（6分）
（II）由题意，以为坐标原点，分别以方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，点，设平面的一个法向量为，有，令，则，（8分）
，（10分）
令为直线与平面所成的角，则（12分）
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查圆锥曲线的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）依题意，是线段中点，
因为，故，（2分）
代入椭圆的方程，可得（4分）
（Ⅱ）设，则，又，（6分）
又，所以，，，（8分）
，消去，可得，（10分）
故（12分）
18. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题考查函数与导数的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ），（2分）
可知在上单调递减， 在单调递增，
所以. （4分）
（Ⅱ）对任意
设，（6分）
由（Ⅰ）知单调递增，. （7分）
①当时，，，所以单调递增，
则，即. （9分）
②当时，，可知存在使得，
单调递减，，
所以存在，，故不成立. （11分）
综上所述，. （12分）
17. (本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考查概率与统计的相关知识.
【试题解析】（Ⅰ）
（千元） （4分）
（Ⅱ）由题意，（6分）
（i），所以时满足题意，
即最低年收入大约为千元（8分）
（ii）由
得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为，
记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，
则，（9分）
于是恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是，（10分）
从而由（11分）
所以当时，
当时，
由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数大约为978.
（12分）
17. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）的直角坐标方程为①，的直角坐标方程为 ②，将①②联立，可求得，由题意： ，求得. （5分）
（Ⅱ）当时，曲线为直线，解方程组，得 ，，于是可求得. （10分）
18. (本小题满分10分)
【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识.
【试题解析】解：（Ⅰ）
（5分）
（Ⅱ）
而，所以 （10分）
微信/支付宝扫码支付