湖北省三校（龙泉中学、荆州中学、宜昌一中）2019届高三5月联考数学（理科）试题（PDF版）.pdf

龙泉中学、荆州中学、宜昌一中三校 ２０１９ 届高三 ５ 月联考Ű数学(理科) 参考答案、提示及评分细则 一、选择题(本题共 １２ 小题,每小题 ５ 分,共 ６０ 分.) 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 D B D B A A C C B C D A 二、填空题(本大题共有 ４ 小题,每小题 ５ 分,共 ２０ 分.) １３ư０　　　　１４ư－１　　　　１５ư－１ ２　　　　１６ư①②④ 三、解答题．(本大题共 ６ 小题,共 ７０ 分.) １７ư(１２ 分) (１)由正弦定理得:sinAcosC＋sinCcosA－２sinBcosA＝０, sin(A＋C)－２sinBcosA＝０,所以有 sinB－２sinBcosA＝０． (２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 又 sinB≠０,所以 cosA＝１ ２ (４ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 由 A∈(０,π)得 A＝ π ３ ． (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)∵c＝２b,A＝ π ３,∴a２ ＝(２b)２ ＋b２ －２Ű(２b)Űbcos π ３＝３b２ , 故c２ ＝a２ ＋b２ ,C＝ π ２ ． (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 设所求 ∠PCB＝θ,则 ∠PCA＝９０°－θ,PC＝bcos∠PCA＝bsinθ, 由正弦定理: a sin１２０°＝ bsinθ sin(６０°－θ) (９ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 由 ２sin(６０°－θ)＝sinθ,即 ３cosθ＝２sinθ,∴tanθ＝ ３ ２ ,即为所求． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺ １８ư(１２ 分) (１)证明:由已知 AB∥CD,且 ∠BAD 为直角,F 为CD 的中点, ∵FD＝AB,故 ABFD 是矩形,∴AD∥BF,∴BF∥ 平面 APD, 又 ∵E,F 分别为PC,CD 的中点,∴EF∥PD　∴EF∥ 平面 APD, 又 ∵ BF⊂ 平面BEF EF⊂ 平面BEF EF∩BF＝F EF,BF⊄ 平面BEF ì î í ï ïï ï ïï ,∴ 平面 APD∥BEF． (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系, 设 AB＝１,则B(１,０,０),D(０,２,０),P(０,０,k),C(２,２,０),故E(１,１, k ２) 】页 ４ 共 　 页 １ 第 　 案答考参)科理(学数Ű考联校三【从而BD→＝(－１,２,０),BE→＝(０,１, k ２), 取平面BCD 的法向量为m１→＝(０,０,１), 设平面BDE 的法向量为m２→＝(x,y,z) 则 m２→ŰBD→＝０ m２→ŰBE→＝０ { ,∴ －x＋２y＝０ y＋ kz ２ ＝０ ì î í ïï ïï , 取y＝１,可得m２→＝(２,１,－２k ), 设二角面EＧBDＧC 的大小为θ,因为k＞０, 则 cosθ＝|cos＜m１→,m２→＞|＝ ２k ２ ２ ＋１＋４k２ ＜１ ２, 化简得k２ ＞１２ ５,则k＞２ １５ ５ ． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ １９ư(１２ 分) (１)根据题意可知a＝２,所以x２ ４ ＋ y２ b２ ＝１, 由椭圆C 与直线y＝ ６ ２ x＋３ 相切,联立得 x２ ４ ＋ y２ b２ ＝１, y＝ ６ ２ x＋３ ì î í ï ïï ï ï 消去y 可得:(b２ ＋６)x２ ＋１２ ６x＋３６－４b２ ＝０ (３ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ △＝０,即(１２ ６)２ －４(b２ ＋６)(３６－４b２ )＝０,解得:b２ ＝０舍 或 ３． 所以椭圆的标准方程为: x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１． (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)当过点 P 的直线AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为y＝kx＋１, 设 A、B 两点的坐标分别为(x１,y１),(x２,y２), 联立得 x２ ４ ＋ y２ ３ ＝１ y＝kx＋１ ì î í ïï ïï ,化简(３＋４k２ )x２ ＋８kx－８＝０, 所以 x１＋x２＝－ ８k ４k２ ＋３ x１x２＝－ ８ ４k２ ＋３ △＞０(恒成立) ì î í ï ï ï ï ïï (７ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以OA→ŰOB→＋λPA→ŰPB→＝x１x２＋y１y２＋λ[x１x２＋(y１－１)(y２－１)] ＝(１＋λ)(１＋k２ )x１x２＋k(x１＋x２)＋１ ＝－８(１＋λ)(１＋k２ ) ４k２ ＋３ － ８k２ ４k２ ＋３＋１ 】页 ４ 共 　 页 ２ 第 　 案答考参)科理(学数Ű考联校三【＝－２λ＋４－４(４k２ ＋３)－２λ(４k２ ＋３) ４k２ ＋３ ＋１ ＝－２λ＋４ ４k２ ＋３ －２λ－３,所以当λ＝２ 时,OA→ŰOB→＋λPA→ŰPB→＝－７ (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺ 当过点 P 的直线AB 的斜率不存在时,直线即与y 轴重合,此时 A(０,３),B(０,－ ３), 所以OA→ŰOB＋λPA→ŰPB→＝－３＋λ[(３－１)(－ ３－１)]＝－３－２λ, 所以当λ＝２ 时,OA→ŰOB→＋λPA→ŰPB→＝－７ 综上所述,当λ＝２ 时,OA→ŰOB→＋λPA→ŰPB→＝－７． (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２０ư(１２ 分) (１)由已知条件作出x、y 所符合的平面区域, 即为符合y≤ a ２sinx 的区域,而S 阴影 ∫ π ０ a ２sinxdx＝a (２ 分) ƺƺƺ ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 所以p(有利) S阴影 S矩形 ＝ a a ２Űπ＝２π ≈ m n ． 故π 的估计值为２n m ． (６ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)由题意,X~B(１００００,２π ),∴EX＝１００００Ű２π ＝２００００π (８ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 估计值２n m ＝２００００X ,∴ 由 ２００００X －π ＜０．０１ 得 ２００００π＋０．０１＜X＜ ２００００π－０．０１ 由参考数值知 ６３４６＜X＜６３８６ (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 故所求概率为 P(６３４６＜X＜６３８６)＝P(６３８５)－P(６３４６)＝０．３１４８ (１２ 分)ƺƺƺƺƺƺ ２１ư(１２ 分) (１)f′(x)＝ １x＋１＋２ax＋a＝２ax２ ＋３ax＋a＋１x＋１ ,且x＞０． (１ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 当a≤－１ 时,易知f′(x)＜０ 在(０,＋∞)始终成立,∴f(x)单调递减． (３ 分)ƺƺƺƺƺ 当a∈(０,x０)时由 ２ax２ ＋３ax＋a＋１＝０ 知仅有x０＝－３ ４＋ １ １６－ １ ２a ＞０． 由x∈(０,x０)时,f′(x)＞０,x∈(x０,＋∞)时,f′(x)＜０, 得f(x)在(０,x０)上单调递增,在(x０,＋∞)单调递减． (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 综上:当a∈(－∞,－１]时,f(x)在(０,＋∞)上单调递减; 当a∈(－１,０)时,f(x)在(０,－３ ４＋ １ １６－ １ ２a)上单调递增, 在(－３ ４＋ １ １６－ １ ２a ,＋∞)单调递减． (２)令φ(x)＝g(x)－f(x), 得φ′(x)＝g′(x)－f′(x)＝２ex － １x＋１－a(２x＋１),注意到φ(０)＝０, (６ 分)ƺƺƺƺƺ 】页 ４ 共 　 页 ３ 第 　 案答考参)科理(学数Ű考联校三【① 当a≤１ 时,φ′(x)≥２ex － １x＋１－(２x＋１)＝２(ex －x－１)＋１－ １x＋１, x＞０ 时,(ex －x－１)′＝ex －１＞０,则ex －x－１＞e０ －０－１＝０,且 １＞ １ １＋x, ∴φ′(x)＞０,φ(x)在[０,＋∞)上单增,φ(x)≥φ(０)＝０, 即g(x)＞f(x)在(０,＋∞)恒成立． (９ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ② 当a＞１ 时,考查函数h(x)＝２ex － １x＋１－２x, ∵h′(x)＝２ex －２＋ １ (x＋１)２ ,h′(x)在(０,＋∞)上大于零恒成立, 故h(x)在(０,＋∞)上单调递增． 且x＜＋∞ 时,h(x)→＋∞,h(x)在(０,＋∞)上的值域为(１,＋∞), 故对于任意a＞１,一定存在x０∈(０,＋∞),使得h(x０)＝a, ∴ 当x∈(０,x０)时,h(x)＜a,φ′(x)＝２ex － １x＋１－２ax－a＜h(x)－a＜０, φ(x)在(０,x０)上单减,φ(x)＜φ(０)＝０,g(x)＞f(x)不成立, 综上可知:使f(x)＜g(x)成立的a 的取值范围是a∈(－∞,１]． (１２ 分)ƺƺƺƺƺ ２２ư(１０ 分) (１)C１:x２ ＋y２ ＝１,C２:(x－１)２ ＋(y－２)２ ＝r２． (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)结合图形可知当圆C１ 与圆C２ 有两交点时, r－１＜ ５＜r＋１,故r∈(５－１,５＋１)． (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ ２３ư(１０ 分) (１)∵ |x－３|－|x＋２| ≤ (x－３)－(x＋２) ＝５ ∴|m－１|≤５,解得 －４≤m≤６,故 M ＝－４． (５ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ (２)由(１)得 ３a＋b＝４,∴(３b ＋１a )(３a＋b)≥(３＋ ３)２ ＝１２, 则３b ＋１a ≥３,当且仅当 ３a＝b＝２ 时等号成立． (１０ 分)ƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺƺ 】页 ４ 共 　 页 ４ 第 　 案答考参)科理(学数Ű考联校三【