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2018--2019学年度第二学期五校期中联考试卷
高二数学(理)
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分.)
1.复数z满足(1+i)=2i(i为虚数单位),则复数z=( )
A. B. C. D.
2.已知直线在两坐标轴上的截距相等,则实数
A.1 B. C.或1 D.2或1
3.已知命题:,;命题:,,则下列说法中正确的是
A.是假命题 B.是真命题
C.是真命题 D.是假命题
4.已知抛物线的焦点和,点为抛物线上的动点,则取到最小值时点的坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知向量=(-1,x,3),=(2,-4,y)且∥,则x+y的值为( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
6.向量满足,且其夹角为,则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.由曲线,直线及轴所围成的图形的面积为 ( )
A. B.4 C. D.6
8.椭圆的焦点在轴上,一个顶点是抛物线 的焦点,过焦点且垂直于长轴的弦长为2,则椭圆的离心率为 ( )
A. B. C. D.
9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.2 B.
C. D.
10.已知是抛物线的焦点,过点的直线与抛物线交于不同的两点,与圆交于不同的两点(如图),则的值是( )
A. B.2 C.1 D.
11.已知函数存在极值点,且,其中,
A.3 B.2 C.1 D.0
12.若存在直线l与曲线和曲线都相切,则称曲线和曲线为“相关曲线”,有下列四个命题:
①有且只有两条直线l使得曲线和曲线为“相关曲线”;
②曲线和曲线是“相关曲线”;
③当时,曲线和曲线一定不是“相关曲线”;
④必存在正数使得曲线 和曲线 为“相关曲线”.
其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷(非选题,共90分)
二、 填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.命题的否定是__________。
14.在长方体中,,,则异面直线与所成角的余弦值为______.
15.已知三个月球探测器共发回三张月球照片,每个探测器仅发回一张照片。
甲说:照片是发回的;
乙说:发回的照片不是就是;
丙说:照片不是发回的。
若甲、乙、丙三人中有且仅有一人说法正确,则照片是探测器_______发回的。
16.已知直线与平面,下列命题:
①若平行内的一条直线,则;
②若垂直内的两条直线,则;
③若且,则;
④若且,则;
⑤若,且,则;
⑥若,则;
其中正确的命题为______________(填写所有正确命题的编号);
三、解答题.Z(本大题共6小题,共70分。解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.已知曲线.
(Ⅰ) 求曲线在(2,2)处的切线方程;
(Ⅱ) 求曲线过原点的切线方程.
18.已知p:,q:.
(1)若p是q充分不必要条件,求实数的取值范围;
(2)若“非p”是“非q”的充分不必要条件,求实数的取值范围.
19.如图所示,在四棱锥中,平面是正方形,对角线与交于点,平面是边长为2的等边三角形,为的中点.
(1)证明:平面;
(2)若平面平面,求斜线与平面所成角的正弦值.
20.已知直线截圆所得的弦长为.直线的方程为.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若直线过定点,点在圆上,且,Q为线段MN的中点,求点的轨迹方程.
21.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的取值范围;
(3)若直线不过点,求证:直线的斜率互为相反数.
22.已知函数,.
(1)当时,求函数在区间上的最大值和最小值;
(2)若当时,函数的图象恒在直线的下方,求实数的取值范围.
2018--2019学年度第二学期期中考试
高二数学(理)答案
ADCAA CADCA CB
13., 14. 15.α 16.③⑥
17.(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅰ)由题意得,所以, ,可得切线方程为,整理得。
(Ⅱ)令切点为,因为切点在函数图像上,所以,,所以在该点的切线为
因为切线过原点,所以,解得,可得切点为, ,,所以切线方程为或。
18.(1);(2)
⑴∵是的充分不必要条件,
∴是的真子集. .
∴实数的取值范围为. 7分
⑵∵“非”是“非”的充分不必要条件,
∴是的充分不必要条件.
.
∴实数的取值范围为. 12分
考点:充要关系,逆否命题与原命题等价性
19.(1)见解析;(2)
(1)连接,易证为的中位线,所以.
又∵平面,平面,∴平面.
(2)取的中点为,的中点为,连结,则,
因为侧面底面,所以面,又,所以可建立如图所示的坐标系
则,,,,
从而,,
设平面的法向量为,则
,取,则,,所以
设斜线与平面所成的角为,
∴斜线与平面所成角的正弦值
.
∴
20.(Ⅰ);(Ⅱ).
(Ⅰ)根据题意,圆O:x2+y2=r2(r>0)的圆心为(0,0),半径为r,
则圆心到直线l的距离d==,
若直线l:x+y-1=O截圆O:x2+y2=r2(r>0)所得的弦长为,则有2×=,
解可得r=2,则圆的方程为x2+y2=4;
(Ⅱ)直线l1的方程为(1+2m)x+(m-1)y-3m=0,即(x-y)+m(2x+y-3)=0,
则有,解可得,即P的坐标为(1,1),
设MN的中点为Q(x,y),则|MN|=2|PQ|,
则OM2=OQ2+MQ2=OQ2+PQ2,即4=x2+y2+(x-1)2+(y-1)2,
化简可得:(x-)2+(y-)2=,
21.(1);(2);(3)证明见解析.
(1) 设椭圆的方程为 ,因为 ,所以 ,
又因为 ,所以 ,解得 ,故椭圆方程为 .
(2) 将 y=x+m 代入 并整理得 , ,解得 -5