四川宜宾市2019届高三数学(文)三诊试卷(含答案)
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资料简介
四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学(文)试题 一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)‎ 1. 设全集是实数集R,M={x|x>1},N={x|x<2},则M∩N=(  )‎ A. B. ,或 C. D. ,或 2. 复数z=1+2i3(i为虚数单位),则|z|=(  )‎ A. B. C. D. 5‎ 3. 设命题,则¬p为(  )‎ A. B. C. D. 4. 执行如图所示的程序框图,输出的结果为(  ) ‎ A. 64 B. 32 C. 16 D. 5 ‎ 5. 已知实数x,y满足则z=x+2y的最小值为(  )‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ 6. 已知函数y=sin3x,则下列说法正确的是(  )‎ A. 函数图象关于y轴对称 B. 函数图象关于原点对称 C. 函数在上是减函数 D. 函数在上是增函数 7. 已知函数f(x)满足f(0)=2,且对任意x∈R都满足f(x+3)=-f(x),则f(2019)的值为(  )‎ A. 2019 B. 2 C. 0 D. 1. 一个四棱柱的底面是正方形,且侧棱与底面垂直,其正(主)视图如图所示,则其表面积等于(  )‎ A. 16 B. 8 C. D. 2. 在△ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且b=2,B=60°,△ABC的面积为,则a+c=(  )‎ A. 4 B. C. 2 D. 3. 如图,已知AB是圆心为C的圆的一条弦,且,则=(  ) ‎ A. 3 B. 9 C. D. ‎ 4. 如图,矩形ABCD中,|AB|=8,|BC|=6,O为坐标原点,E,F,G,H分别是矩形四条边的中点,R,T在线段OF,CF上,OR=kOF,CT=kCF,直线ER与直线GT相交于点M,则点M与椭圆C1:+=1的位置关系是(  ) ‎ A. 点M在椭圆内 B. 点M在椭圆上 C. 点M在椭圆外 D. 不确定 5. 若a∈R,且a>1,函数,则不等式f(x2-2x)<1的解集是(  )‎ A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)‎ 6. 若函数f(x)=x3-2x+3,则曲线l在点x=1处的切线的斜率为______.‎ 1. 已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,点P(1,),在角α的终边上,则=______.‎ 2. 已知直线x+ay+3=0与圆O:x2+y2=4相交于A,B两点(O为坐标原点),且△AOB为等边三角形,则实数a的值为______.‎ 3. 如图所示,球O半径为R,圆柱O1O2内接于球O,当圆柱体积最大值时,圆柱的体积V=π,则R=______. ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共82.0分)‎ 4. 已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=2an-1,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=log2an+1,求数列的前n项和Tn. ‎ 5. 某手机商家为了更好地制定手机销售策略,随机对顾客进行了一次更换手机时间间隔的调查.从更换手机的时间间隔不少于3个月且不超过24个月的顾客中选取350名作为调查对象,其中男性顾客和女性顾客的比为.商家认为一年以内(含一年)更换手机为频繁更换手机,否则视为未频繁更换手机.现按照性别采用分层抽样的方法从中抽取105人,并按性别分为两组,得到如下表所示的频数分布表:‎ 时间间隔(月)‎ ‎[3,6]‎ ‎(6,9]‎ ‎(9,12]‎ ‎(12,15]‎ ‎(15,18]‎ ‎(18,21]‎ ‎(21,24]‎ 男性 x ‎8‎ ‎9‎ ‎18‎ ‎12‎ ‎8‎ ‎4‎ 女性 y ‎2‎ ‎5‎ ‎13‎ ‎11‎ ‎7‎ ‎2‎ ‎(1)计算表格中x、y的值; (2)若以频率作为概率,从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月(含3个月和6个月)的顾客中,随机抽取2人,求这2人均为男性的概率; (3)请根据频率分布表填写2×2列联表,并判断是否有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.‎ 频繁更换手机 未频繁更换手机 合计 男性顾客 女性顾客 合计 附表及公式:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎ ‎ 1. 在五面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,∠FAD=90°,EF∥AD,平面ADEF⊥平面ABCD,AF=AB=2,BC=4,EF=1. (1)求证:CD⊥DE; (2)求五面体ABCDEF的体积. ‎ ‎ ‎ 2. 已知点M(1,-2)在抛物线E:y2=2px(p>0)上. (1)求抛物线E的方程; (2)直线l1,l2都过点(2,0),l1,l2的斜率之积为-1,且l1,l2分别与抛物线E相交于点A,C和点B,D,设M是AC的中点,N是BD的中点,求证:直线MN恒过定点. ‎ 1. 已知函数f(x)=lnx. (1)求函数y=f(x)-x的单调区间; (2)求证:函数g(x)=ex-e2f(x)的图象在x轴上方. ‎ 2. 在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的参数方程为(α为参数). (1)写出C的普通方程,求C的极坐标方程; (2)若过原点的直线l与C相交于A,B两点,AB中点D的极坐标为,求D的直角坐标. ‎ 3. 设函数f(x)=x+|2x-4|+1,. (1)解不等式f(x)≤4; (2)设f(x),g(x)的值域分别为A,B,若A⊆B,求实数m的取值范围. ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ 解:∵M={x|x>1},N={x|x<2}; ∴M∩N={x|1<x<2}. 故选:C. 进行交集的运算即可. 考查描述法的定义,以及交集的运算.‎ ‎2.【答案】C 【解析】‎ 解:复数z=1+2i3=1-2i, 则|z|==. 故选:C. 化简复数z,根据模长的定义计算|z|的值. 本题考查了复数的定义与运算问题,是基础题.‎ ‎3.【答案】A 【解析】‎ 解:命题是全称命题,则命题的否定是特称命题, 即¬p:∃x0∈[0,),sinx0≥cosx0, 故选:A. 根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 本题主要考查含有量词的命题的否定,根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎4.【答案】C 【解析】‎ 解:n=2,A=2,n≥5否, n=3,A=4,n≥5否, n=4,A=8,n≥5否, n=5,A=16,n≥5是, 输出A=16, 故选:C. 根据程序框图进行模拟运算即可. 本题主要考查程序框图的识别和判断,利用模拟运算法是解决本题的关键.‎ ‎5.【答案】D 【解析】‎ 解:作出实数x,y满足对应的平面区域如图: ‎ 由z=x+2y得y=-x+z,平移直线y=-x+z, 由图象可知当直线y=-x+z经过点A(1,0)时,直线的截距最小,此时z最小. 即z=1+2×0=1, 故选:D. 求出不等式组对应的平面区域,利用z的几何意义,件即可求出z的最小值. 本题主要考查线性规划的应用,利用z的几何意义,结合数形结合是解决本题的关键.‎ ‎6.【答案】B 【解析】‎ 解:函数为奇函数,图象关于原点对称,则B正确,A错误, 当-<x<时,-<3x<π,此时函数y=sin3x,不是单调函数,则C,D错误, 故选:B. 根据三角函数的奇偶性和单调性进行判断即可. 本题主要考查三角函数的图象和性质,结合三角函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.比较基础.‎ ‎7.【答案】D 【解析】‎ 解:∵f(x+3)=-f(x), ∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x), ∴f(x)的周期为6, ∴f(2019)=f(3), 又f(3)=-f(0)=-2, ∴f(2019)=-2. 故选:D. 先判断f(x)的周期,得出f(2019)=f(3),再根据条件计算f(3)即可. 本题考查了函数周期的判断与应用,属于中档题.‎ ‎8.【答案】D 【解析】‎ 解:根据几何体的三视图, 该几何体的为底面边长为,高为1的正四棱柱. 故:S==4+4. 故选:D. 首先把三视图转换为几何体,进一步利用体积公式求出结果. 本题考查的知识要点:三视图和几何体之间的转换,几何体的体积公式的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题.‎ ‎9.【答案】A 【解析】‎ 解:△ABC中,b=2,B=60°, 所以△ABC的面积为S=acsinB=ac•=, 解得ac=4; ‎ 又b2=a2+c2-2accosB, 即4=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-12, 所以(a+c)2=16, 解得a+c=4. 故选:A. 利用三角形的面积公式和余弦定理,即可求出a+c的值. 本题考查了余弦定理和三角形面积公式的应用问题,也考查了特殊角的三角函数值应用问题,是基础题.‎ ‎10.【答案】A 【解析】‎ 解:过点C作CD⊥AB于D,则D为AB的中点. Rt△ACD中,AD=AB,=, ====. 所以=3. 故选:A. 过点C作CD⊥AB于D,可得AD=AB,Rt△ACD中利用三角函数的定义算出=,再由向量数量积的公式加以计算,结合,求解即可. 本题已知圆的弦长,求向量的数量积.着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识,属于基础题.‎ ‎11.【答案】B 【解析】‎ 解:∵OR=kOF,CT=kCF,∴R(4k,0),T(4,3-3k) 直线GT的方程为y=-x+3   ① 又E(0,-3)则直线ER的方程为y=x-3    ② 由①②消去k,得到直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程:+=1. ∴点M在椭圆C1:+=1上. 故选:B. OR=kOF,CT=kCF,可得R(4k,0),T(4,3-3k),可得直线GT、ER的方程,联立解得直线ER与直线GS的交点M的轨迹方程,即可判断出结论. 本题考查了椭圆的标准方程、直线的交点,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎12.【答案】B 【解析】‎ 解:由>0,解得-1<x<1. 可得函数f(x)的定义域为:(-1,1). y==2-在(-1,1)上单调递增. y==-1在(-1,1)上单调递增,a>1, ∴y=在(-1,1)上单调递增. ∴f(x)在(-1,1)上单调递增. 又f(0)=1. ∴不等式f(x2-2x)<1即不等式f(x2-2x)<f(0), ∴-1<x2-2x<0, 解得0<x<2,且x≠1. ∴不等式f(x2-2x)<1的解集为(0,1)∪(1,2). 故选:B. 由>0,解得-1<x<1.可得函数f(x)的定义域为:(-1,1).分别判定函数y=,y=,y=在(-1,1)上单调性质,可得f(x)在(-1,1)上单调性,利用单调性即可解出不等式f(x2-2x)<1即不等式f(x2-2x)<f(0)的解集. 本题考查了函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎13.【答案】1 【解析】‎ 解:函数f(x)=x3-2x+3,导函数f′(x)=3x2-2, 则曲线l在点x=1处的切线的斜率为:f′(1)=1. 故答案为:1. 求出函数的导数,代入x=1即可得到切线的斜率. 本题考查函数的导数的应用,切线的斜率的求法,考查计算能力.‎ ‎14.【答案】 【解析】‎ 解:∵角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,点P(1,),在角α的终边上, ‎ ‎∴tanα=,∴α=+2kπ,k∈Z, 则=sin(+2kπ)=sin=, 故答案为:. 由题意利用任意角的三角函数的定义,求得α的值,可得要求式子的值. 本题主要考查任意角的三角函数的定义,属于基础题.‎ ‎15.【答案】 【解析】‎ 解:圆心(0,0)到直线x+ay+3=0的距离d=, 依题意cos30°=,即=,解得a=. 故答案为:±. 先求圆心到直线的距离d,再根据△AOB为等边三角形意cos30°=,可解得. 本题考查了直线与圆的位置关系,属中档题.‎ ‎16.【答案】 【解析】‎ 解:设小圆O1,O2的半径为r, 如图,作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD, 由题意得到AB=CD=2r, 当BC=AD=2r时,圆柱的体积最大, 此时R2+R2=4r2,即R=, 圆柱体积V=, 解得r=, ∴R==. 故答案为:. 设小圆O1,O2的半径为r,作出球O及其内接圆柱的轴截面得到四边形ABCD,当BC=AD=2r时,圆柱的体积最大,由此能求出结果. 本题考查球半径的求法,考查球、内接圆柱的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,是中档题.‎ ‎17.【答案】解:(1)∵,∴n=1时,a1=2a1-1,解得a1=1. ‎ n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-1-(2an-1-1),可得an=2an-1. ∴数列{an}是以首项为1,公比为2的等比数列, ∴an=2n-1. (2)bn=log2an+1=n. ∴==. ∴Tn=+…+=1-=. 【解析】‎ ‎ (1)由,可得n=1时,a1=2a1-1,解得a1.n≥2时,an=Sn-Sn-1,可得an=2an-1.再利用等比数列的通项公式即可得出. (2)bn=log2an+1=n.可得==.利用“裂项求和”方法即可得出. 本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎18.【答案】解:(1)由题知男性顾客共有人, 女性顾客共有人, 按分层抽样抽取105人,则应该抽取男性顾客人, 女性顾客人; 所以x=63-(8+9+18+12+8+4)=4, y=42-(2+5+13+11+7+2)=2;………………………………(3分) (2)记“随机从已抽取的105名且更换手机时间间隔为3至6个月(含3个月和6个月)的顾客中, 抽取2人”为事件A,设男性分别为a,b,c,d,女性分别为e,f, 则事件A共包含(a,b)(a,c)(a,d)(a,e)(a,f) (b,c)(b,d)(b,e)(b,f) (c,d)(c,e)(c,f) (d,e)(d,f)(e,f)15个可能结果, 其中2人均男性有(a,b)(a,c)(a,d) (b,c)(b,d)(c,d)6种可能结果,‎ ‎ 所以2人均男性的概率为P(A)==;………………………………(7分) (3)由频率分布表可知,在抽取的105人中,男性顾客中频繁更换手机的有21人, 女性顾客中频繁更换手机的有9人,据此可得2×2列联表:‎ 频繁更换手机 未频繁更换手机 合计 男性顾客 ‎21‎ ‎42‎ ‎63‎ 女性顾客 ‎9‎ ‎33‎ ‎42‎ 合计 ‎30‎ ‎75‎ ‎105‎ 所以;……………………(11分) 因为1.75<2.706, 所以没有90%以上的把握认为“频繁更换手机与性别有关”.……………………(12分) 【解析】‎ ‎ (1)由题意利用分层抽样原理计算应该抽取的男性、女性顾客人数,从而求得x、y的值; (2)用列举法求出基本事件数,计算所求的概率值; (3)由题意填写列联表,计算观测值,对照临界值得出结论. 本题考查了频率分布表与独立性检验的应用问题,也考查了古典概型的概率计算问题,是中档题.‎ ‎19.【答案】证明:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴AD⊥DC, ∵平面ADEF⊥平面ABCD且平面ADEF∩平面ABCD=AD,∠FAD=90°, ∴FA⊥平面ABCD, ∴FA⊥CD, ∵FA∩AD=A,FA、AD⊂面ADEF,∴CD⊥面ADEF, ∴CD⊥DE………………………………………………………(6分) (2)作EH⊥AD于点H,连接BH,∵平面ADEF⊥平面ABCD且平面ADEF∩平面ABCD=AD, ∴EH⊥平面ABCD, ∵∠FAD=90°, ∴FA∥EH, ∵EF∥AD, ∴四边形AHEF是矩形, ∵EF=1 ∴AH=1 ∵AB=2,BC=4, ‎ ‎===6………………………………………………(12分) 【解析】‎ ‎ (1)说明AD⊥DC,推出FA⊥平面ABCD,得到FA⊥CD,即可证明CD⊥面ADEF,即可得到CD⊥DE. (2)作EH⊥AD于点H,连接BH,证明四边形AHEF是矩形,,求解即可. 本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.‎ ‎20.【答案】(12分)解:(1)∵点M(1,-2)在抛物线E:y2=2px上, ∴(-2)2=2p, ∴解得p=2, ∴抛物线E的方程为:y2=4x………………………………………(4分) (2)由l1,l2分别与E相交于点A,C和点B,D,且由条件知:两直线的斜率存在且不为零. ∴设l1:x=m1y+2,l2:x=m2y+2 由得:y2-4m1y-8=0……………………………………(7分) 设A(x1,y1),C(x2,y2),则y1+y2=4m1∴yM=2m1,又,即 同理可得:………………………………………………………………………(9分) ∴, ∴ 即, ∵l1,l2的斜率之积为-1, ∴即m1m2=-1, ∴,‎ ‎ 即直线MN过定点(4,0).………………………………………(12分) 【解析】‎ ‎ (1)求出p即可求解抛物线方程. (2)设l1:x=m1y+2,l2:x=m2y+2,由得:y2-4m1y-8=0,设A(x1,y1),C(x2,y2),利用韦达定理求出M,同理可得:N,求出斜率,推出直线方程,利用直线系求解直线MN过定点(4,0). 本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用,抛物线的简单性质的应用,考查计算能力.‎ ‎21.【答案】解:(1)由题意得:……………………………………………………………(2分) 令y'=0则x=1…….………………………………………………………………………………(3分) 当0<x<1时,y'>0,∴函数在(0,1)上单调递增;……………………………………………(4分) 当1<x时,y'<0∴函数在(1,+∞)上单调递减;………………………………………………(5分) (2)记函数g(x)=ex-e2lnx(x>0)∴,易知g′(x)单调递增………………………………………………………(7分) 又g′(1)=e-e2<0,,∴在(0,+∞)上存在一个x0∈(1,2), 使得:, 即:,且lnx0=-x0+2………………………………………………………………(9分) 当x∈(0,x0),有g′(x)<0,g(x)单调递减; 当x∈(x0,+∞),有g′(x)>0,g(x)单调递增. ∴, ∴ex-e2lnx>0, ∴函数g(x)=ex-e2f(x)的图象在x轴上方………………………………………………(12分) 【解析】‎ ‎ (1)求出导函数,利用导函数的符号,判断函数的单调性即可. ‎ ‎(2)记函数g(x)=ex-e2lnx(x>0)∴,易知g′(x)单调递增,又g′(1)=e-e2<0,,说明在(0,+∞)上存在一个x0∈(1,2),使得:,然后利用单调性,推出函数的最值与0的关系,说明结果即可. 本题考查函数的导数的应用,考查转化思想以及计算能力,难度比较大.‎ ‎22.【答案】解:(1)C的普通方程 ∴……..………………..………………………..……………(3分) C的极坐标方程…………………………….……………(5分) (2)由已知得直线l的极坐标方程为,代入, 得ρ2-9ρ+17=0∴△=92-4×17>0,……..……………..………(7分) ∵D是AB中点∴,∴………..…………..………(9分) ∴D的直角坐标为.…….……..……….………(10分) 【解析】‎ ‎ (1)利用sin2α+cos2α=1消去参数α可得曲线C的普通方程,再根据x=ρcosθ,y=ρsinθ可得曲线C的极坐标方程‘ (2)联立直线l和曲线C的极坐标方程,根据韦达定理和中点公式可得D的极坐标,再化成直角坐标. 本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.‎ ‎23.【答案】解:(1) 由f(x)≤4得,或, 解得1≤x≤ ‎ ‎∴f(x)≤4的解集为……..………………..………………………………………(5分) (2),由分段函数的单调性得A=[3,+∞), ,当x=-m时取等号, ∴B=时A⊆B∴ ∴m的取值范围[-2,-1]∪[1,2]………………..………………………………………(10分) 【解析】‎ ‎ (1)分2段去绝对值解不等式再相并可得; (2)利用分段函数的单调性得A,利用绝对值不等式的性质得B,再根据子集关系列不等式可解得. 本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.‎

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