密 封 线
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密 封 线 内 不 得 答 题
太原五中2018-2019学年度第二学期阶段性检测
高 二 数 学（文）
出题人、校对人：刘锦屏、闫晓婷（2019.5.17）
一、选择题（每小题4分,共40分,每小题只有一个正确答案）
1．过点，与极轴垂直的直线的极坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．在极坐标系下，极坐标方程表示的图形是（ ）
A．两个圆 B．一个圆和一条直线
C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线
4．已知圆的极坐标方程为，则其圆心的极坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．为实数，且有解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列直线中，与曲线，(为参数)没有公共点的是（ ）
A． B． C． D．
7．直线，(为参数)的倾斜角是（ ）
A．20° B．70° C．50° D．40°
8．曲线，(为参数)上的点到曲线曲线，(为参数)上的点的最短距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9． 己知在直角坐标系中，曲线C的参数方程为，(为参数)．点，P为C上一点，若，则△POM的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．关于的不等式的解集是，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．在极坐标系中，直线与圆交于A、B两点，则|AB|＝ ．
12．在直角坐标系中，圆O的方程为，将其横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C，则曲线C的普通方程为 ．
13．已知曲线，(为参数)，O为坐标原点，M是曲线C上的一点，OM与x轴的正半轴所成的角为，则＝ ．
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14．对任意实数，若不等式恒成立，则的取值范围是 ．
15．设x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的任一排列，则x1+2x2+3x3+4x4+5x5的最小值是 ．
三、 解答题（每小题10分，共40分）
16．已知直线的极坐标方程为，求点到这条直线的距离.
17．已知函数，且的解集为．
（1）求的值；
（2）若正实数，满足．求的最小值.
18．设．
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
19．设过平面直角坐标系的原点O的直线与圆的一个交点为P，M为线段OP的中点，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求点M的轨迹C的极坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．
答案：
1．C．
【解答】因为过点（4，0），与极轴垂直的直线的直角坐标方程为x＝4，
所以过点（4，0），与极轴垂直的直线的极坐标方程为ρcosθ＝4，故选：C．
2．A．
【解答】∵|1﹣2x|＜1，∴﹣1＜1﹣2x＜1，∴﹣2＜﹣2x＜0，
解得：0＜x＜1，故不等式的解集是（0，1），故选：A．
3．C．
【解答】由题意可得，极坐标方程为：ρ＝3或 ，
据此可得极坐标方程表示的图形是一个圆和一条射线．故选：C．
4．B．
【解答】圆的极坐标方程可化为：ρ2＝2ρsinθ﹣2ρcosθ，
∴圆的普通方程为x2+y2+2x﹣2y＝0，即（x）2+（y）2＝4，
∴圆的圆心的直角坐标为（，），化成极坐标为（2，）．故选：B．
5．C．
【解答】|x﹣5|+|x﹣3|＜m有解，只需m大于|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，
|x﹣5|+|x﹣3|≥2，所以m＞2，|x﹣5|+|x﹣3|＜m有解．故选：C．
6．D．
【解答】曲线C参数方程为：，①×2﹣②得，2x
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﹣y﹣4＝0，
故曲线C为斜率为2的直线，选项中斜率为2的直线为C，D．
而选项C与曲线C重合，有无数个公共点，排除．故选D．
7．C．
【解答】由消去t得y﹣3＝tan50°（x+1），
所以直线过点（﹣1，3），倾斜角为50°．故选：C．
8．A．
【解答】由曲线C1：消去参数θ得（x﹣1）2+y2＝1，
曲线C2消去参数t得x+y+21＝0，
圆心（1，0）到直线x+y+21＝0的距离d2，
∴曲线C1上的点到曲线C2上的点的最短距离为2﹣1＝1．故选：A．
9．B．
【解答】由得y2＝4x，∴M（1，0）为抛物线C的焦点，其准线为x=-1，
设P（a，b），根据抛物线的定义得|PM|＝a﹣（）＝a4，
∴a＝3，|b|＝，
∴S△OPM|OM|•|b|=
10．D．
【解答】不等式ax2﹣|x|+4a≥0的解集是（﹣∞，+∞），
即∀x∈R，ax2﹣|x|+4a≥0恒成立，∴a，
因为，所以.故选：D．
11．2．
【解答】直线ρcosθ＝1的普通方程为x＝1，
圆ρ＝4cosθ的普通方程为x2+y2﹣4x＝0，圆心C（2，0），半径r2，
圆心C（2，0）到直线x＝1的距离d＝1，
∴|AB|＝222．故答案为：2．
12．.
13．
【解答】解：设P（cosφ，sinφ），则tankOM，tanφ，
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故答案为：．
14．k＜﹣3
【解答】令y＝|x+1|﹣|x﹣2|，则y∈[﹣3，3]
若不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞k恒成立，则ymin＞k，即k＜﹣3.
15．35．
【解答】由题意可知：x1，x2，x3，x4，x5是1，2，3，4，5的反序排列时，x1+2x2+3x3+4x4+5x5取得最小值：1×5+2×4+3×3+4×2+5×1＝35．
16.【解答】
直线的可化为，所以直线的直角坐标方程为，点化为直角坐标为，所以点A到直线的距离为.
17．【解答】（1）因为f（x+2）＝m﹣|x|
所以由f（x+2）＞0得|x|＜m.由|x|＜m有解，得m＞0，且其解集为（﹣m，m）
又不等式f（x+2）＞0解集为（﹣1，1），故m＝1；
（2）由（1）知a+2b＝1，又a，b是正实数，
由基本不等式得
当且仅当时取等号，故的最小值为4．
18．【解答】解：（1）由题意得f（x），
因为f（x）≥3，解得或，
所以f（x）≥3的解集为
（2）由（Ⅰ）知f（x）的最小值为﹣3，
因为不等式2f（x）≥3a2﹣a﹣1对任意实数x恒成立，
所以23a2﹣a﹣1，解得﹣1，故实数a的取值范围是[﹣1，]．
19．【解答】（1）设，则，则点P的直角坐标为，代入，得.所以点M的轨迹C的极坐标方程为.
（2）方法一：由题意得点A的直角坐标方程为，
则直线OA的直角坐标方程为.
由（1）得轨迹C的直角坐标方程为，
则圆心到直线OA的距离为.所以点B到直线OA的最大距离为，
所以△OAB面积的最大值为.
方法二：设点B的极坐标为，则.
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△OAB面积为 、
所以，此时，因此.
方法三：△OAB面积为，设，则，
所以.所以.
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