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秘密★启用前
数学（理科）测试试题卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题:本题共12小题, 每小题5分, 共60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内的共轭复数所对应的点为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量，且，则（ ）
A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.7
3. 观察下列各式： ，…，根据以上规律，则（ ）
A. 123 B. 76 C. 47 D.40
4. 右图的折线图为某小区小型超市今
年一月份到五月份的营业额和支出数据（利润营业额支出），根据折线图，下列说法中错误的是（
）
A. 该超市这五个月中的营业额一直在增长；
B. 该超市这五个月的利润一直在增长；
C. 该超市这五个月中五月份的利润最高；
D. 该超市这五个月中的营业额和支出呈正相关.
1. （原创）已知某射击运动员射击1次命中目标的概率为，记他在次独立射击中命中目标的次数为随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
2. （原创）为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：
天数（天）
3
4
5
6
繁殖个数（千个）
2.5
3
4.5
由最小二乘法得与
的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（ ）
A. 4.9 B. 5.25 C. 5.95 D. 6.15
1. （原创）抛掷两枚均匀骰子，观察向上的点数，记事件为“两个点数不同”，事件为“两个点数中最大点数为4”，则（ ）
A. B. C. D.
2. （原创）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相，其中要求甲和乙必须相邻，且丙不能排最左端，则不同的排法共有（ ）
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
3. （原创）已知二项式，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. （原创）某学生寝室6个人在“五一节”前一天各自准备了一份礼物送给室友，他们把6份礼物全部放在一个箱子里，每人从中随机拿一份礼物，则恰好有3个人拿到自己准备的那份礼物的概率为（ ）
A. B. C. D.
1. （原创）已知在三棱锥中，底面为等腰三角形， 且，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知函数，若对区间内的任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为__________.
4. （原创）若曲线在点处的切线与直线垂直，则常数___.
5. （原创）已知的二项展开式中二项式系数的最大项是第3项和第4项，则的展开式中的常数项为_________.
6. （原创）已知双曲线的渐近线方程为，抛物线：的焦点与双曲线的右焦点重合，过的直线交抛物线于两点，为坐标原点，若向量与的夹角为，则的面积为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7. （本小题满分10分）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已
知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为(为参数)．
（I）分别求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（II）设曲线和直线相交于两点，求弦长的值．
18.
（本小题满分12分）（原创）已知函数．
（I）求不等式的解集；
（II）记函数的最小值为，若且，求证．
1. （本小题满分12分）（原创）如图，在直三棱柱 中，
为的中点，．
（
I）求证：平面；
（II）若，求二面角的余弦值．
20. （本小题满分12分）（原创）今年4月23
日我市正式宣布实施“3+1+2”的高考新方案，“3
”是指必考的语文、数学、外语三门学科，“1
”是指在物理和历史中必选一科，“2”是指在化学、生物、政治、地理四科中任选两科．
为了解我校高一学生在物理和历史中的选科意愿情况，进行了一次模拟选科
. 已知我校高一参与物理和历史选科的有1800名学生，其中男生
1000人，女生800人. 按分层抽样的方法从中抽取了36
个样本，统计知其中有17个男生选物理，6个女生选历史．
（I
）根据所抽取的样本数据，填写答题卷中的列联表. 并根据
统计量判断能否有的把握认为选择物理还是历史与性别有关？
（II
）在样本里选历史的人中任选4人，记选出4人中男生有人，女生有
人，求随机变量 的分布列和数学期望．（的计算公式见下页）
附：统计量，其中.
临界值表
21. （本小题满分
12分）（原创）已知是右焦点为的椭圆：上一动点，若
的最小值为，椭圆的离心率为．
（I）求椭圆的方程；
（II）当轴且点
在轴上方时，设直线与椭圆交于不同的两点，若平分
，则直线
的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．
22. （本小题满分12分）已知函数，是
的极值点，且曲线 在两点、（）处的切线、
相互平行．
（I）求的值；
（II）设切线、在轴上的截距分别为、，求的取值范围．
2019年重庆一中高2020级高二下期期中考试
数学（理科）参考答案
一、选择题：
1-5 BACBD； 6-10 BCCDA； 11-12 AD
二、填空题：
13. 2 14. 15. 16.
三、解答题：
17
题：【解析】（I）：； ：
（II）法一：圆的圆心为，半径
，圆心到直线的距离为，所以弦长.
法二：将
代入圆得：，解得：
由直线的参数的几何意义知：弦长.
18题：【解析】（I）不等式即：，所以的解集为；
（II）函数，由绝对值不等式的性质有，
所以，即，，又，
.
又，同理，，故.
19题：【解析】（I）证明：连结，设，连结
为的中点，为的中点，
又平面，平面，平面；
（II）解：在直三棱柱 中，，且，
平面，.
如图以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，则：
，
令，得，所以
又平面的法向量
设二面角的平面角为，则由图易知为锐角
所以.
物理
历史
合计
男生
17
3
20
女生
10
6
16
合计
27
9
36
20题：【解析】（I）由条件知，按分层抽样法抽取的36个样本数据中有个男生，16个女生，结合题目数据可得列联表为（如右表）：
根据表中数据，可知：
而，所以没有90%的把握认为选择物理还是历史与性别有关.
（II）由（I）知在样本里选历史的有9人. 其中男生3人，女生6人。
所以可能的取值有2，0，，.
且，；，
2
0
所以的分布列为：
所以的期望.
21题：【解析】（I）由条件知，解得：，所以椭圆的方程为；
（II）轴且点在轴上方，，设
平分，，.
设直线的斜率为，则直线的方程为
由得：
；同理可得：
直线的斜率（定值）.
22.题：【解析】（I）
是的极值点，，即，
曲线在点处切线的斜率为
曲线在点处切线的斜率为
又这两条切线互相平行，则，.
（II）由（I）知且，，，即
设在点处的切线方程为
在点处的切线方程为
令，则，
令，
在区间上递减，，即
故的取值范围是.
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