秘密★启用前
数学（理科）测试试题卷
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（是虚数单位），则=
A． B． C． D．
2. 已知集合，，则=
A． B． C． D．
开始
否
是
输出
结束
3. 若，，，则实数的大小关系为
A. B． C． D．
4. 下列说法正确的是
A. 设是实数，若方程表示双曲线，则．
B.“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件．
C. 命题“，使得”的否定是：“，
”．
D. 命题“若为的极值点，则”的逆命题是真命题．
5. 执行右边的程序框图，若输出的的值为，则判断框中
可以填入的关于的判断条件是
A． B． C． D．
6. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的
三人先独立思考完成，然后一起讨论。甲说：“我做错了！”
乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师 （第5题）
看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对
了，有且只有一人说对了。”请问下列说法正确的是
A.甲说对了 B. 甲做对了 C. 乙说对了 D. 乙做对了
7. 割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以
盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现。
右图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法。在内任取
一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为
A. B. C. D.
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8. 将函数的图像向左平移（）个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的值可能为
A． B． C． D．
9. 已知空间中不同直线、和不同平面、，下面四个结论：
①若、互为异面直线，，则；
②若，，，则；
③若，，则；
④若，，，则. 其中正确的是
A. ①② B.②③ C. ③④ D. ①③
10. 在中，三内角、、对应的边分别为、、，且，，
边上的高为，则的最大值为
A． B． C． D．
11. 若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”.试问用数字
组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有（ ）个
A. B. C. D.
12. 设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有个解，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答。第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答。
二．填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若实数满足约束条件则的最大值是_____.
14. 已知平面向量的夹角为，且，则_____.
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15. 在的二项展开式中，只有第项的二项式系数最大，且所有项的系数和为，则含
的项的系数为______.
16. 已知抛物线与直线交于、两点（、两点分别在轴的上、下方），且弦长，则过两点、圆心在第一象限且与直线相切的圆的方程为______.
三．解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（一）必考题：共60分
17. 已知数列满足：，数列中，，且成等比数列.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若是数列的前项和，求数列的前项和.
18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕（）个，以（单位：个，）表示当天的市场需求量，（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.
需求量/个
天数
15
25
30
20
10
（1）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；
（2）当时，根据上表，从利润不少于元的天数中，按需求量分层抽样抽取天，
（）求此时利润关于市场需求量的函数解析式，并求这天中利润为元的天数；
（）再从这天中抽取天做进一步分析，设这天中利润为元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.
19. 如图，已知四棱锥，底面为菱形，,,
,为的中点.
（1）求证：平面平面；
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（2）若点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长.
20. 已知点，过点作抛物线的切线，切点在第二象限.
（1）求切点的纵坐标；
（2）有一离心率为的椭圆:恰好经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线、、的斜率分别为、、，若，求椭圆的方程.
21．已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）设函数（其中为的导函数），判断在上的单调性；
（2）若函数在定义域内无零点，试确定正数的取值范围.
(二）选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以坐标原点
为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线
（1）求与交点的直角坐标；
（2）若直线与曲线,分别相交于异于原点的点,求的最大值.
23．设函数.
（1）若存在，使得，求实数的取值范围；
（2）若是（1）中的最大值，且正数满足，证明：.
数学（理科）答案
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一．选择题
CCABB ACDDC AA
二．填空题
13. 2 14. 15. 16.
三．解答题
17. 解：（1）
数列是公差为的等差数列；
（2） 由题意可得 ，所以
18.（1）时，元；时, 元 ， ；
（2）（）当时，利润
当 ，
又，所以利润不少于元时，需求量，共有60天 ，
按分层抽样抽取，则这天中利润为元的天数： ，
（）由题意可知,其中, ,
, .
故的分布列为
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19. （1）证明：由题意易得,且，在中，,
,, 在中，, 又，, 又，平面平面
（2）由（1）可知 ， 所以以点为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系，则
，则，,
,
设平面的一个法向量为
，
解得或（舍） 故
20.解：（1）设切点则有
由切线的斜率为得的方程为
又点在上所以即所以点的纵坐标
（2）由（1）得，切线斜率 设，切线方程为
由得又，所以
所以椭圆方程为，
由得
又因为，即
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解得，所以.所以椭圆方程为
21.解：（1）因为，则， ，
，在上单调递增.
（2）由知，
由（1）知在上单调递增，且，可知当时，，
则有唯一零点，设此零点为,
易知时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
故，其中.
令，则,
易知在上恒成立，所以，在上单调递增，且.
①当时， ，由在上单调递增知，
则，由在上单调递增， ，所以，故在上有零点，不符合题意；
②当时，,由的单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意；
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③当时，，由的单调性知，则，此时没有零点.
综上所述，当无零点时，正数的取值范围是.
（二）选考题：
22.解：（1）曲线的直角坐标方程为
曲线的直角坐标方程为. 由解得或
故与交点的直角坐标为，.
（2）不妨设，点的极坐标分别为
所以
所以的最大值.
23．解：（1）
存在，使得 ，
（2）由知:的最大值为1
当且仅当时取“=”
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