广东省2019年中考数学押题卷二（含解析）.docx

‎2019年广东省中考数学押题卷二 一． 选择题（30分）‎ ‎1．﹣2019的相反数是（　　）‎ A．2019 B． C．﹣ D．﹣2019‎ ‎2．据统计，截止2019年2月，我市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．42.1×105 B．4.21×105 C．4.21×106 D．4.21×107‎ ‎3．下列运算结果，正确的是（　　）‎ A．x+2x＝2x2 B．（x﹣1）2＝x2﹣1 ‎ C．（﹣x2）3＝﹣x5 D．12x3÷4x2＝3x ‎4.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球摸到绿球的概率为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎6.．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，则∠ECD的度数为（　　）‎ A．120° B．100° C．60° D．20°‎ ‎7.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：‎ 成绩（m）‎ ‎1.55‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.80‎ 人数 ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的众数与中位数为（　　）‎ A．1.55m，1.65m B．1.65m，1，70m ‎ C．1.70m，1.65m D．1.80m，1.55m ‎8.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（　　）‎ A．2B．4C．6D．8‎ ‎9．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＝4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分贝为（0，3）、（1，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，若点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ 一． 填空题（24分）‎ ‎11．分解因式：x2﹣4x＝　 　．‎ ‎12.下列各式是按新定义的已知“△”运算得到的，观察下列等式：‎ ‎2△5＝2×3+5＝11，2△（﹣1）＝2×3+（﹣1）＝5，‎ ‎6△3＝6×3+3＝21，4△（﹣3）＝4×3+（﹣3）＝9……‎ 根据这个定义，计算（﹣2018）△2018的结果为　 　‎ ‎13.有下列平面图形：①线段；②等腰直角三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有　 　．（填序号）‎ ‎14.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是　 　‎ ‎15．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是　 　．‎ ‎16.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a的值是　 　．‎ 一． 解答题（18分）‎ ‎17．计算：（﹣π）0﹣6tan30°+（）﹣2+|1﹣|‎ 18. 先化简，再求值：（ +）÷，其中x＝﹣1．‎ ‎19.如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．‎ ‎（1）用尺规作图法在△ABC内求作一点D，使点D到两点A、C的距离相等，又到边AC、BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）若△ACD的周长为18，求△BCD的面积．‎ 一． 解答题（21分）‎ ‎20．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图．‎ ‎（2）在图2扇形统计图中，m的值为　 　，表示“D等级”的扇形的圆心角为　 　度；‎ ‎（3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ ‎21.如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）‎ ‎（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；‎ ‎（2）求建筑物MN的高度．‎ ‎22.某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．‎ ‎（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？‎ ‎（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由．‎ 一． 解答题（27分）‎ ‎23.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，）．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式和m的值；‎ ‎（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．‎ ‎24.如图，在△ABC中，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为点E，延长DE交BC的延长线于点F，若∠A＝∠ABC ‎（1）求证：BD＝AD；‎ ‎（2）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）若⊙O的半径为6，sin∠F＝，求DE的长．‎ ‎25.如图，已知抛物线 y＝﹣x2+mx+4m 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）抛物线上是否存在点E，使△ABE的面积为15？若存在，请求出所有符合条件E 的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连结BD，动点P在线段BD上运动（不含端点B、D），连结CP，过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．试探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．‎ ‎2019年广东省中考数学押题卷二 一．选择题（30分）‎ ‎1．﹣2019的相反数是（　　）‎ A．2019 B． C．﹣ D．﹣2019‎ ‎【分析】直接利用相反数的定义进而得出答案．‎ ‎【解答】解：﹣2019的相反数是：2019．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．‎ ‎2．据统计，截止2019年2月，我市实际居住人口约4210000人，4210000这个数用科学记数法表示为（　　）‎ A．42.1×105 B．4.21×105 C．4.21×106 D．4.21×107‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将4210000用科学记数法表示为：4.21×106．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3．下列运算结果，正确的是（　　）‎ A．x+2x＝2x2 B．（x﹣1）2＝x2﹣1 ‎ C．（﹣x2）3＝﹣x5 D．12x3÷4x2＝3x ‎【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．‎ ‎【解答】解：A、原式＝3x，不符合题意；‎ B、原式＝x2﹣2x+1，不符合题意；‎ C、原式＝﹣x6，不符合题意；‎ D、原式＝3x，符合题意，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎4.将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．‎ ‎【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．‎ ‎5．在一个不透明的口袋中装有6个红球，2个绿球，这些球除颜色外无其他差别，从这个袋子中随机摸出一个球摸到绿球的概率为（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】先求出总的球的个数，再根据概率公式即可得出摸到绿球的概率．‎ ‎【解答】解：∵袋中装有6个红球，2个绿球，‎ ‎∴共有8个球，‎ ‎∴摸到绿球的概率为：＝；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．‎ ‎6.．如图，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE＝60°，则∠ECD的度数为（　　）‎ A．120° B．100° C．60° D．20°‎ ‎【分析】利用平行线的性质和邻补角互补作答．‎ ‎【解答】解：依题意得∠ABE+∠ABC＝180°，‎ ‎∴∠ABC＝120°，‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠ECD＝∠ABC＝120°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，即由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．‎ ‎7.在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：‎ 成绩（m）‎ ‎1.55‎ ‎1.60‎ ‎1.65‎ ‎1.70‎ ‎1.75‎ ‎1.80‎ 人数 ‎4‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎1‎ 则这些运动员成绩的众数与中位数为（　　）‎ A．1.55m，1.65m B．1.65m，1，70m ‎ C．1.70m，1.65m D．1.80m，1.55m ‎【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎【解答】解：∵1.70m出现了6次，出现的次数最多，‎ ‎∴这些运动员成绩的众数是1.70m；‎ 把这些数从小到大排列数从小到大排列，最中间的数是第10和11个数的平均数，‎ 则这组数据的中位数是：＝1.65m；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．‎ ‎8.如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为（　　）‎ A．2B．4C．6D．8‎ ‎【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得＝，即AC2＝AD•AB，由此即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠ACB，‎ ‎∴△ADC∽△ACB，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴AC2＝AD•AB＝2×8＝16，‎ ‎∵AC＞0，‎ ‎∴AC＝4，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎9．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＝4 B．k＞4 C．k≤4且k≠0 D．k≤4‎ ‎【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有实数根，‎ ‎∴，‎ 解得：k≤4且k≠0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．‎ ‎10.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分贝为（0，3）、（1，0），将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，若点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，则k的值为（　　）‎ A．3 B．4 C．6 D．8‎ ‎【分析】过C点作CH⊥x轴于H，如图，利用旋转的性质得BA＝BC，∠ABC＝90°，再证明△ABO≌△BCH得到CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，则C（4，1），然后把C点坐标代入y＝（x＞0）中可计算出k的值．‎ ‎【解答】解：过C点作CH⊥x轴于H，如图，‎ ‎∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BC，‎ ‎∴BA＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∵∠ABO+∠CBH＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，‎ ‎∴∠BAO＝∠CBH，‎ 在△ABO和△BCH中 ‎，‎ ‎∴△ABO≌△BCH，‎ ‎∴CH＝OB＝1，BH＝OA＝3，‎ ‎∴C（4，1），‎ ‎∵点C落在函数y＝（x＞0）的图象上，‎ ‎∴k＝4×1＝4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，‎ ‎90°，180°．也考查了三角形全等的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 二．填空题（24分）‎ ‎11．分解因式：x2﹣4x＝　 　．‎ ‎【分析】直接提取公因式x进而分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．‎ 故答案为：x（x﹣4）．‎ ‎【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．‎ ‎12.下列各式是按新定义的已知“△”运算得到的，观察下列等式：‎ ‎2△5＝2×3+5＝11，2△（﹣1）＝2×3+（﹣1）＝5，‎ ‎6△3＝6×3+3＝21，4△（﹣3）＝4×3+（﹣3）＝9……‎ 根据这个定义，计算（﹣2018）△2018的结果为　 　‎ ‎【分析】由已知等式知a△b＝3a+b，据此代入计算可得．‎ ‎【解答】解：根据题意知（﹣2018）△2018＝﹣2018×3+2018＝﹣4036，‎ 故答案为：﹣4036．‎ ‎【点评】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知等式得出a△b＝3a+b．‎ ‎13.有下列平面图形：①线段；②等腰直角三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有　 　．（填序号）‎ ‎【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合各项进行判断即可．‎ ‎【解答】解：①线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ ‎②等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ ‎③平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；‎ ‎④矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ ‎⑤正八边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．‎ ‎⑥圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ 故答案为：①④⑤⑥．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎14.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于F，连接CF，当△CDF为等腰三角形时，则BE的长是　 　‎ ‎【分析】过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解．‎ ‎【解答】解：①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，‎ 则CM∥AE，DM＝MF，‎ 延长CM交AD于点G，‎ ‎∴AG＝GD＝1，‎ ‎∵AG∥EC，AE∥CG，‎ ‎∴四边形AECG是平行四边形，‎ ‎∴CE＝AG＝1，‎ ‎∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形．‎ ‎②DF＝DC时，则DC＝DF＝1，‎ ‎∵DF⊥AE，AD＝2，‎ ‎∴∠DAE＝30°，‎ ‎∴∠AEB＝30°‎ 则BE＝‎ ‎∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；‎ ‎③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．‎ ‎∵AB＝1，BE＝x，‎ ‎∴AE＝，‎ AF＝，‎ ‎∵△ADF∽△EAB，‎ ‎∴＝，‎ ‎＝，‎ x2﹣4x+1＝0，‎ 解得：x＝2﹣或2+（舍弃），‎ ‎∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．‎ 综上，当BE＝1、3、2﹣时，△CDF是等腰三角形．‎ 故答案为：1或或2﹣．‎ ‎【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎15．如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为2，则图中阴影部分的面积是　 　．‎ ‎【分析】根据等边三角形性质及圆周角定理可得扇形对应的圆心角度数，再根据扇形面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ 根据圆周角定理可得∠BOC＝2∠A＝120°，‎ ‎∴阴影部分的面积是＝π，‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查扇形面积的计算和圆周角定理，根据等边三角形性质和圆周角定理求得圆心角度数是解题的关键．‎ ‎16.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，将正方形ABCD沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在双曲线在第一象限的分支上，则a的值是　 　．‎ ‎【分析】如图作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H，利用三角形全等，求出点C、点H坐标即可解决问题．‎ ‎【解答】解：如图，作CN⊥OB于N，DM⊥OA于M，CN与DM交于点F，CN交反比例函数于H．‎ ‎∵直线y＝﹣4x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，‎ ‎∴点B（0，4），点A（1，0），‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AB＝AD＝DC＝BC，∠BAD＝90°，‎ ‎∵∠BAO+∠ABO＝90°，∠BAO+∠DAM＝90°，‎ ‎∴∠ABO＝∠DAM，‎ 在△ABO和△DAM中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABO≌△DAM，‎ ‎∴AM＝BO＝4，DM＝AO＝1，‎ 同理可以得到：CF＝BN＝AO＝1，DF＝CN＝BO＝4，‎ ‎∴点F（5，5），C（4，5），D（5，1），‎ 设点D在双曲线y＝（k≠0）上，则k＝5，‎ ‎∴反比例函数为y＝，‎ ‎∴直线CN与反比例函数图象的交点H坐标为（1，5），‎ ‎∴正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，顶点C恰好落在双曲线y＝上时，a＝4﹣1＝3，‎ 故答案为3．‎ ‎【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，属于中考常考题型．‎ 三．解答题（18分）‎ ‎17．计算：（﹣π）0﹣6tan30°+（）﹣2+|1﹣|‎ ‎【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义化简即可得到结果．‎ ‎【解答】解：原式＝1﹣2+4+﹣1＝4﹣．‎ ‎【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ 18. 先化简，再求值：（ +）÷，其中x＝﹣1．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：当x＝﹣1时，‎ 原式＝×‎ ‎＝3x+2‎ ‎＝﹣1‎ ‎【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．‎ ‎19.如图，△ABC中，AC＝8，BC＝10，AC＞AB．‎ ‎（1）用尺规作图法在△ABC内求作一点D，使点D到两点A、C的距离相等，又到边AC、BC的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）；‎ ‎（2）若△ACD的周长为18，求△BCD的面积．‎ ‎【分析】（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于M，作∠ACB的平分线CK，交MN于点D，点D即为所求．‎ ‎（2）作DF⊥BC于F，连接AD，BD．利用角平分线的性质定理求出DF即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于M，作∠ACB的平分线CK，交MN于点D，点D即为所求．‎ ‎（2）作DF⊥BC于F，连接AD，BD．‎ ‎∵AC+CD+AD＝18，AC＝DA，AC＝8，‎ ‎∴CD＝5，CE＝4，‎ ‎∴DE＝＝3，‎ ‎∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥CB，‎ ‎∴DF＝DE＝3，‎ ‎∴S△BCD＝×BC×DF＝×10∴3＝15‎ ‎【点评】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ 四．解答题（21分）‎ ‎20．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：‎ ‎（1）求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图．‎ ‎（2）在图2扇形统计图中，m的值为　 　，表示“D等级”的扇形的圆心角为　 　度；‎ ‎（3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．‎ ‎【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，由各等级人数之和等于总人数求出B等级人数可补全条形图；‎ ‎（2）根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数，由C等级人数及总人数可求得m的值；‎ ‎（3）列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意得：3÷15%＝20（人），‎ ‎∴参赛学生共20人，‎ 则B等级人数20﹣（3+8+4）＝5人．‎ 补全条形图如下：‎ ‎（2）C等级的百分比为×100%＝40%，即m＝40，‎ 表示“D等级”的扇形的圆心角为360°×＝72°，‎ 故答案为：40，72．‎ ‎（3）列表如下：‎ 男 女 女 男 ‎（男，女）‎ ‎（男，女）‎ 女 ‎（女，男）‎ ‎（女，女）‎ 女 ‎（女，男）‎ ‎（女，女）‎ 所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，‎ 则P（恰好是一名男生和一名女生）＝＝．‎ ‎【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图以及列表法与树状图法，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键．‎ ‎21.如图所示，建筑物MN一侧有一斜坡AC，在斜坡坡脚A处测得建筑物顶部N的仰角为60°，当太阳光线与水平线夹角成45°时，建筑物MN的影子的一部分在水平地面上MA处，另一部分影子落在斜坡上AP处，已知点P的距水平地面AB的高度PD＝5米，斜坡AC的坡度为（即tan∠PAD＝），且M，A，D，B在同一条直线上．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号）‎ ‎（1）求此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长；‎ ‎（2）求建筑物MN的高度．‎ ‎【分析】（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．解直角三角形求出PA即可．‎ ‎（2）设NH＝PH＝x米，在Rt△AMN中，根据tan60°＝，可得MN＝AM，由此构建方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图，作PH⊥MN于H．则四边形PDMH是矩形．‎ ‎∵tan∠PAD＝＝，PD＝5，‎ ‎∴AD＝15，PA＝＝5（米），‎ ‎∴此时建筑物MN落在斜坡上的影子AP的长为5米．‎ ‎（2）∵∠NPH＝45°，∠PHN＝90°，‎ ‎∴∠PNH＝∠NPH＝45°，‎ ‎∴NH＝PH，设NH＝PH＝x米，则MN＝（x+5）米，AM＝（x﹣15）米，‎ 在Rt△AMN中，∵tan60°＝，‎ ‎∴MN＝AM，‎ ‎∴x＝5＝（x﹣15）‎ 解得x＝（10+25）（米），‎ ‎∴MN＝x+5＝（10+30）米．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数构建方程解决问题．‎ ‎22.某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元．‎ ‎（1）求一根A型跳绳和一根B型跳绳的售价各是多少元？‎ ‎（2）学校准备购进这两种型号的跳绳共50根，并且A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎【分析】（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，根据：“2根A型跳绳和1根B型跳绳共需56元，1根A型跳绳和2根B型跳绳共需82元”列方程组求解即可；‎ ‎（2）首先根据“A型跳绳的数量不多于B型跳绳数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型跳绳之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）设一根A型跳绳售价是x元，一根B型跳绳的售价是y元，‎ 根据题意，得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ 答：一根A型跳绳售价是10元，一根B型跳绳的售价是36元；‎ ‎（2）设购进A型跳绳m根，总费用为W元，‎ 根据题意，得：W＝10m+36（50﹣m）＝﹣26m+1800，‎ ‎∵﹣26＜0，‎ ‎∴W随m的增大而减小，‎ 又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，‎ 而m为正整数，‎ ‎∴当m＝37时，W最小＝﹣26×37+1800＝838，‎ 此时50﹣37＝13，‎ 答：当购买A型跳绳37只，B型跳绳13只时，最省钱．‎ ‎【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．‎ 五．解答题（27分）‎ ‎23.如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为BC边上的点，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点D（m，2）和AB边上的点E（3，）．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式和m的值；‎ ‎（2）将矩形OABC的进行折叠，使点O于点D重合，折痕分别与x轴、y轴正半轴交于点F，G，求折痕FG所在直线的函数关系式．‎ ‎【分析】（1）由点E的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，再由点B在反比例函数图象上，代入即可求出m值；‎ ‎（2）设OG＝x，利用勾股定理即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x值，从而得出点G的坐标．再过点F作FH⊥CB于点H，由此可得出△GCD∽△DHF，根据相似三角形的性质即可求出线段DF的长度，从而得出点F的坐标，结合点G、F的坐标利用待定系数法即可求出结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象经过点E（3，），‎ ‎∴k＝3×＝2，‎ ‎∴反比例函数的表达式为y＝．‎ 又∵点D（m，2）在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴2m＝2，解得：m＝1．‎ ‎（2）设OG＝x，则CG＝OC﹣OG＝2﹣x，‎ ‎∵点D（1，2），‎ ‎∴CD＝1．‎ 在Rt△CDG中，∠DCG＝90°，CG＝2﹣x，CD＝1，DG＝OG＝x，‎ ‎∴CD2+CG2＝DG2，即1+（2﹣x）2＝x2，‎ 解得：x＝，‎ ‎∴点G（0，）．‎ 过点F作FH⊥CB于点H，如图所示．‎ 由折叠的特性可知：∠GDF＝∠GOF＝90°，OG＝DG，OF＝DF．‎ ‎∵∠CGD+∠CDG＝90°，∠CDG+∠HDF＝90°，‎ ‎∴∠CGD＝∠HDF，‎ ‎∵∠DCG＝∠FHD＝90°，‎ ‎∴△GCD∽△DHF，‎ ‎∴＝2，‎ ‎∴DF＝2GD＝，‎ ‎∴点F的坐标为（，0）．‎ 设折痕FG所在直线的函数关系式为y＝ax+b，‎ ‎∴有，解得：．‎ ‎∴折痕FG所在直线的函数关系式为y＝﹣x+．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）分别求出点G、F的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．‎ ‎24.如图，在△ABC中，BC为⊙O的直径，AB交⊙O于点D，DE⊥AC，垂足为点E，延长DE交BC的延长线于点F，若∠A＝∠ABC ‎（1）求证：BD＝AD；‎ ‎（2）求证：DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）若⊙O的半径为6，sin∠F＝，求DE的长．‎ ‎【分析】（1）根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；‎ ‎（2）根据等腰三角形的性质得到∠DCO＝∠CDO，求得∠CDO＝∠ADE，于是得到结论；‎ ‎（3）根据三角函数的定义得到OF＝10，CF＝10﹣6＝4，DF＝＝8，根据相似三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，‎ ‎∴∠BDC＝90°，‎ 即CD⊥AB，‎ ‎∵∠A＝∠ABC，‎ ‎∴AC＝BC，‎ ‎∴BD＝AD；‎ ‎（2）证明：∵∠A＝∠B，∠AED＝∠BDC＝90°，‎ ‎∴∠ADE＝∠DCO，‎ ‎∵OC＝OD，‎ ‎∴∠DCO＝∠CDO，‎ ‎∴∠CDO＝∠ADE，‎ ‎∵∠ADE+∠CDE＝90°，‎ ‎∴∠CDO+∠CDE＝90°，‎ ‎∴∠ODF＝90°，‎ ‎∴DF是⊙O的切线；‎ ‎（3）在Rt△DOF中，∵sin∠F＝＝，‎ ‎∴OF＝10，CF＝10﹣6＝4，DF＝＝8，‎ ‎∵∠DEA＝∠ODF＝90°，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴△CEF∽△ODF，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴＝，‎ 解得：DE＝4.8．‎ ‎【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．‎ ‎25.如图，已知抛物线 y＝﹣x2+mx+4m 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，8）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）抛物线上是否存在点E，使△ABE的面积为15？若存在，请求出所有符合条件E的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）连结BD，动点P在线段BD上运动（不含端点B、D），连结CP，过点P作x轴的垂线，垂足为H，设OH的长度为t，四边形PCOH的面积为S．试探究：四边形PCOH的面积S有无最大值？如果有，请求出这个最大值；如果没有，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）只需把点C的坐标代入抛物线的解析式，就可求出抛物线的解析式，然后用配方法就可求出顶点D的坐标；‎ ‎（2）可先求出A、B两点的坐标，得到AB的值，根据△ABE的面积可求出点E的纵坐标，代入抛物线的解析式，就可求出点E的坐标；‎ ‎（3）可先求出DB的解析式，从而得到PH（用t的代数式表示），然后用t的代数式表示出梯形PCOH的面积，再运用配方法就可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵点C（0，8）在抛物线y＝﹣x2+mx+4m 上，‎ ‎∴4m＝8，‎ ‎∴m＝2，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8．‎ ‎∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，‎ ‎∴顶点D的坐标为（1，9）；‎ ‎（2）令y＝0，则﹣x2+2x+8＝0，‎ 解得：x1＝4，x2＝﹣2，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（4，0），‎ ‎∴OA＝2，OB＝4，AB＝6．‎ ‎∵S△ABE＝×AB×|yE|＝3|yE|＝15，‎ ‎∴yE＝±5．‎ 当yE＝5时，﹣x2+2x+8＝5，‎ 解得：x3＝3，x4＝﹣1．‎ 当yE＝﹣5时，﹣x2+2x+8＝﹣5，‎ 解得：x5＝1+，x6＝1﹣．‎ ‎∴点E的坐标为（3，5），（﹣1，5），（1+，﹣5），（1﹣，﹣5）；‎ ‎（3）设DB的解析式为y＝kx+b，‎ 则有，‎ 解得：，‎ ‎∴DB的解析式为y＝﹣3x+12．‎ ‎∵OH＝t，‎ ‎∴P（t，﹣3t+12），PH＝﹣3t+12，‎ ‎∴S＝（8﹣3t+12）t＝﹣t2+10t＝﹣（t﹣）2+．‎ ‎∵1＜t＜4，‎ ‎∴当t＝时，S最大＝．‎ ‎【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线及直线的解析式、解一元二次方程等知识，运用配方法是解决本题的关键，需要注意的是点E到x轴的距离为|yE|，而不是yE．‎