对“一线三等角”问题的探究与思考.pdf

对“一线三等角”问题的探究与思考江苏省常州市中天实验学校陈粤初中数学中直线的关系分为相交和平行，其中相交还包括垂直这一特殊的位置关系，无论是在生活中还是几何的学习中，平行和垂直都占有重要地位。特别是垂直条件在今后的解析几何与立体几何中的应用非常广泛，既是传统考试重点又是难点，于是需在初中数学的学习中打下坚实的基础。本文就垂直条件的处理策略做一些总结。初中几何题中，“一线三等角”的基本图形出现得很多，下面笔者结合例题谈谈这类问题的一些处理策略。我们由浅入深，先从讲授三角形全等章节时的例题入手。探究1：如图，直线胛经过正方形ABCD的顶点D，AE上EF于E，CF上EF于F，试说明：AE=DFo解：‘．‘正方形ABCD中，AD=DC，LADC=900．’．￡CDF+[ADE=90。．三)AE+￡ADE=90。．。．厶DAE=厶CDF又。．‘￡DFC=／A肋=90。7．△ADE圣△DCF即AE=DFo评析：此题解决过程中有一个利用三个直角推导出一对相等角(LDAE：￡CDF)的过程，同理也可得到LADE=￡DCF，我们可将此总结为“三直角转等角”。同样，我们可以在拥有类似的等角和两个直角(AE上朋于E，CF上EF于，)时，逆推回LADC为900，总结为“借助等角转直角”，如题1。此外“三直角转等角”还可推广为“三等角转等角”，如题2，此为题外话。题1：如图，在正方形ABCD中，若点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，试判断DE与CF的数量及位置关系，并说明理由；解：在正方形A丑cD中，AD=DC，AE=DF，[鲋D=￡f’DC，所以AEAD鳖AFDC，故DE=CF，7．厶EDA=LFCD．又‘．‘￡DCf'+￡DFC=900，．’．￡AED+￡ADE=900．鄹DELcFo题2：女11图所示，已知AABC是等边三角形，点D、曰、C、E在同一条直线上，且LDAE=120。,说明：AABD"AECA。解‘．‘AABC是等边三角形，．’．￡ABC=LACB=￡BAC=600，．’．￡D+￡DAB=600，￡E+￡CAE=600．·54·砖数外学司·教学研究ADBC‘．’￡DAE=1200．．’．￡上M曰+￡EAC=600．．‘．／D=￡CA昱，l-E=￡DA8，．‘．△A肋一AECA。探究2：如图①，直线Z过正方形ABCD的顶点B，A，C两顶点在直线Z同侧，过点A，C分别作AE_L直线Z，凹上直线Z。(1)试说明：E聘4E+cF；(2)如图②，当A，c两顶点在直线Z两侧时，其它条件不变，猜想EF，AE，CF满足什么数量关系(直接写出答案，不必说明理由)。A图①图②评析：此题是例1的变题，(1)可以按照例l的思路说明到全等，再通过线段之间的转换得到结论。(2)与(1)的区别在于直线Z是否切割正方形，当直线Z如(2)中穿过正方形后，“三直角转等角”的方法仍旧可行，于是解题思路化异为同，可谓异曲同工之妙。探究3：如图，已知直线f。∥f2∥f3∥f4，相邻两条平行直线间的距离都是l，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上。则正方形ABCD的面积是。 至；变}耍解法1解法2评析：可受探究1、2的启发，将正方形ABCD通过“补”或“割”的方法，得到验证勾股定理的赵爽“弦图”或毕达哥拉斯“勾股图”来解决问题。如解法l中，易知以正方形ABCD为斜边的四个直角三角形全等，AABFv,ABCH錾△CDG錾ADAE，因为相邻两条平行直线间的距离都是l，则AE=GD=I，ED=Gc-2，于是EG=1，所以构建赵爽“弦图”，用面积法可得：正方形ABCD的面积等于4个全等直角三角形面积加上中间小正方形的面积S=5，或也可在Rt△A脚I中，由勾股定理求得斜边AD=-、／丁，于是正方形ABCD面积为5。解法2的思路类似。此题还可衍生出一系列变题，如条件四条平行线间的距离可变为不等，正方形ABCD可变为长方形等等。本文不再一一 万方数据例举，读者可参考《试题与研究》2012年2月刊，《对一道中考题的探究与反思》。针对以上几题的探究，如果到此结束，那么在课堂上教师所讲的内容，学生一定都听懂了，但只学会了解题，学与此、止于此，学生的创新能力是得不到培养的。其实，在解决了类似的几题之后，有些能力高的学生已经将如下基本图形作为他们知识建构的起点，纳入了自己的知识体系中。基本图形1基本图形2基本图形3那么我们就可以引导学生做如下的解题策略总结。总结：若题设中含有垂直这个几何条件，往往可以过直角两边的任意一点向经过直角顶点的任意一条直线(如图中DE,DE在直角的外部，也可割破直角)作垂线，所得直角三角形相似(当AB=BC时，所得直角三角形全等)。从而把“垂直”这个几何条件转化为线段间的数量关系。其中值得一提的是基本图形3，是由基本图形2特殊化而来的，此时G、F共点，即为子母三角形。此时得到的相似更为丰富，ABGC—AAFBv、AABC。这一解题策略在中考题中常有体现：例1(2007潍坊)如图，已知平面直角坐标系菇铆中，点A(m，6)，B(n，1)为两动点，其中O