河南省2019年中考数学真题试题.doc

‎2019 年河南省普通高中招生考试数学试题 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．‎ 1. - 1 的绝对值是（ ）‎ ‎2‎ 22‎ A. - 1‎ ‎2‎ ‎B. 1‎ ‎2‎ ‎C．2 D． -2‎ 22‎ 2. 成人每天维生素 D 的摄入量约为 0.0000046 克，数据“0.0000046”用科学记数法表示 22‎ 为（ ）‎ A． 46´10-7‎ ‎‎ B． 4.6´10-7‎ ‎‎ C． 4.6´10-6‎ ‎‎ D． 0.46´10-5‎ 22‎ ‎3．如图， AB∥CD ，∠B = 75°，∠E = 27° ，则∠D 的度数为（ ）‎ 22‎ A． 45° B． 48° C． 50° D． 58° 4. 下列计算正确的是（ ）‎ A． 2a + 3a = 6a C． ( x - y)2 = x2 - y2‎ ‎‎ D C E B A B．(-3a)2 = 6a2‎ ‎2‎ ‎2‎ D．3 2 - = 2‎ 22‎ 5. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②． 关于平移前后几何体的三视图， 下列说法正确的是（ ） A．主视图相同 B．左视图相同C．俯视图相同 D．三种视图都不相同 正面 图① 图②‎ 6. 一元二次方程(x +1)(x -1) = 2x + 3 的根的情况是（ ）‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 22‎ C．只有一个实数根 D．没有实数根 4. 某超市销售 A，B，C，D 四种矿泉水，它们的单价依次是 5 元、3 元、2 元、1 元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（ ）‎ A．1.95 元 B．2.15 元 C．2.25 元 D．2.75 元 A B 10％‎ ‎15％‎ D ‎20％‎ C ‎55％‎ 5. 已知抛物线 y = -x2 + bx + 4 经过(-2 ，n)和(4 ，n) 两点，则 n 的值为（ ）‎ 22‎ A. -2‎ ‎B. -4‎ ‎C．2 D．4‎ 22‎ 6. 如图，在四边形 ABCD 中， AD∥BC ，∠D = 90° ， AD = 4 ， BC = 3，分别以点 A，C 为圆心，大于 1 AC 长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于 ‎2‎ 点 O．若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为（ ）‎ ‎2‎ ‎10‎ A． 2 B．4 C．3 D．‎ E F O A D B C 7. 如图，在△OAB 中，顶点 O (0 ，0)，A (-3 ，4) ，B (3 ，4) ．将△OAB 与正方形 ABCD 组成的图形绕点 O 顺时针旋转，每次旋转90° ，则第 70 次旋转结束时，点 D 的坐标为 ‎（ ）‎ 22‎ 22‎ A． (10 ，3) ‎B． (-3 ，10) ‎C． (10 ，- 3) ‎D． (3 ，-10) 22‎ y D C A B O x 二、 填空题（每小题 3 分，共 15 分）‎ ‎11.计算： - 2-1 = ．‎ ìï x £ -1‎ 22‎ 12. 不等式组í 2‎ ïî-x + 7 > 4‎ ‎的解集是 ．‎ 22‎ 13. 现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出 1 个球，摸出的两个球颜色相同的概率是 ．‎ 14. 如图，在扇形 AOB 中， ÐAOB =120° ，半径OC 交弦 AB 于点 D ，且OC ^ OA．若 22‎ ‎3‎ OA = 2‎ ‎，则阴影部分的面积为 ．‎ 22‎ C A D B O 22‎ 12. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 1，BC = a ，点 E 在边 BC 上，且 BE = 3 a ．连接 AE ，‎ ‎5‎ 将△ABE 沿着 AE 折叠，若点 B 的对应点 B ' 落在矩形 ABCD 的边上，则a 的值为 ‎ ．‎ 22‎ B'‎ E A D B C ¸ x2 - 2x ‎，其中 x = ‎3 ．‎ 三、解答题（本大题共 8 个小题，满分 75 分）‎ 22‎ ‎16．（8 分）先化简，再求值：‎ x +1 -1‎ ( x - 2‎ ‎) x2 - 4x + 4‎ 22‎ ‎17．（9 分）如图，在△ABC 中， BA = BC ， ÐABC = 90°，以 AB 为直径的半圆O 交 AC 于点 D ，点 E 是弧 BD 上不与点 B 、D 重合的任意一点，连接 AE 交 BD 于点 F，连接BE 并延长交 AC 于点 G．‎ 22‎ （1） 求证： △ADF≌△BDG ；‎ （2） 填空：‎ ‎①若 AB = 4 ，且点 E 是弧 BD 的中点，则 DF 的长为 ；‎ ‎②取弧 AE 的中点 H，当ÐEAB 的度数为 时，四边形 OBEH 为菱形．‎ C G D E F A O B ‎18．（9 分）某校为了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况，从七、八年 级各随机抽取 50 名学生进行测试，并对成绩（百分制）进行整理、描述和分析，部分信息如下：‎ a. 七年级成绩频数分布直方图：‎ 22‎ 频数 ‎15 15‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎8 8‎ ‎6‎ 22‎ ‎0 50 60‎ ‎‎ ‎70 80‎ ‎‎ ‎90 100‎ ‎‎ 成绩/分 22‎ a. 七年级成绩在70 £ x < 80 这一组的是：‎ ‎70 72 74 75 76 76 77 77 77 78 79‎ b. 七、八年级成绩的平均数、中位数如下：‎ 年级 平均数 中位数 七 ‎76.9‎ m 八 ‎79.2‎ ‎79.5‎ 根据以上信息，回答下列问题：‎ （1） 在这次测试中，七年级在 80 分以上（含 80 分）的有 人；‎ （2） 表中 m 的值为 ；‎ （3） 在这次测试中，七年级学生甲与八年级学生乙的成绩都是 78 分，请判断两位学生在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由；‎ （4） 该校七年级学生有 400 人，假设全部参加此次测试，请估计七年级成绩超过平均 数 76.9 分的人数．‎ ‎19．（9 分）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像 DE 在高 55m 的小山 EC 上，在 A 处测得塑像底部 E 的仰角为34° ， 再沿 AC 方向前进 21m 到达 B 处，测得塑像顶部 D 的仰角为60° ，求炎帝塑像 DE 的高度．（精确到 1m．参考数据：sin 34°» 0.56 ，cos34°» 0.83 ，tan 34°» 0.67 ， 3 » 1.73）‎ 22‎ D E 22‎ ‎60°‎ C ‎34°‎ B A 22‎ ‎20．（9 分）学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品．已知购买 3 个 A 奖品和 2‎ 个 B 奖品共需 120 元；购买 5 个 A 奖品和 4 个 B 奖品共需 210 元．‎ （1） 求 A，B 两种奖品的单价；‎ 22‎ （1） 学校准备购买 A，B 两种奖品共 30 个，且 A 奖品的数量不少于 B ‎奖品数量的1 ．请 ‎3‎ 22‎ 设计出最省钱的方案，并说明理由．‎ 22‎ ‎21．（10 分）模具厂计划生产面积为 4，周长为 m 的矩形模具．对于 m 的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：‎ （1） 建立函数模型 设矩形相邻两边的长分别为 x，y．由矩形的面积为 4，得 xy = 4 ，即 y = 4 ；由周长为 x 22‎ m，得 ‎2( x + y) = m ，即 ‎y = -x + m ．满足要求的( x ，y) 应是两个函数图象在第 ‎2‎ 22‎ 象限内交点的坐标．‎ （2） 画出函数图象 函数 y = 4 ( x > 0)的图象如图所示，而函数 y = -x + m 的图象可由直线 y = -x 平移得 x 2‎ 到．请在同一直角坐标系中直接画出直线 y = -x ．‎ 22‎ y ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎–‎ ‎1 O ‎–1‎ ‎–2‎ ‎–3‎ ‎–4‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9 x ‎2 –‎ ‎3 –‎ ‎4 –‎ ‎0)‎ ‎(x>‎ ‎= x y ‎4‎ （1） 平移直线 y = -x ，观察函数图象 ‎①当直线平移到与函数 y = 4 ( x > 0)的图象有唯一交点(2 ，2) 时，周长 m 的值为 ；‎ x ‎②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长 m 的取值范围．‎ （2） 得出结论 若能生产出面积为 4 的矩形模具，则周长 m 的取值范围为 ．‎ 22‎ ‎22．（10 分）在△ABC 中，CA = CB ，ÐACB = a ．点 P 是平面内不与点 A，C 重合的任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转a 得到线段 DP，连接 AD，BD，CP．‎ （1） 观察猜想 22‎ 22‎ 如图 1，当a = 60° 时， BD 的值是 CP ‎‎ ‎，直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角 22‎ 的度数是 ．‎ （1） 类比探究 22‎ 如图 2，当 ‎a = 90° 时，请写出 BD 的值及直线 BD 与直线 CP 相交所成的较小角的度数，‎ CP 22‎ 并就图 2 的情形说明理由．‎ （2） 解决问题 当a = 90° 时，若点 E，F 分别是 CA，CB 的中点，点 P 在直线 EF 上，请直接写出点 C，P，D 在同一直线上时 AD 的值．‎ CP 22‎ C P D C A B P D A B ‎C ‎ E F A B 22‎ 图 1 图 2 备用图 22‎ ‎23．（11 分）如图，抛物线 y = ax2 + 1 x + c 交x 轴于A，B 两点，交y 轴于点C，直线 y = - 1 x - 2‎ ‎2 2‎ 经过点 A，C．‎ （1） 求抛物线的解析式．‎ （2） 点 P 是抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线，交直线 AC 于点 M，设点 P 的横坐标为 m．‎ ‎①当△PCM 是直角三角形时，求点 P 的坐标；‎ ‎②作点 B 关于点 C 的对称点 B¢，则平面内存在直线 l，使点 M，B， B¢到该直线的距离都相等．当点 P 在 y 轴右侧的抛物线上，且与点 B 不重合时，请直接写出直线 l： y = kx + b 的解析式．（k，b 可用含 m 的式子表示）‎ y A M O B x P C y A O B x C 备用图 22‎ 22‎ 一、选择题 ‎2019 年河南省普通高中招生考试数学 参考答案 22‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B C B D C A C B A D 二、填空题 ‎11． 3‎ ‎2‎ ‎12． x £ -2‎ ‎13． 4‎ ‎9‎ ‎14． 3 + p ‎15． 5 或 5 ‎ ‎3 3‎ 三、解答题 ‎16. 解：原式= x +1- x + 2 ¸ x(x - 2)‎ x - 2 (x - 2)2‎ 22‎ = 3 ‎ x - 2‎ = 3‎ x ‎(x - 2)2‎ x(x - 2)‎ 22‎ 22‎ 当 x = ‎3 时，原式= 3 =‎ ‎3‎ ‎3‎ 22‎ ‎17．（1）证明：‎ AB 是 O 的直径 \ÐADB = 90° \ÐADB = ÐBDG = 90° BA = BC 22‎ \点 D 是 AC 的中点 22‎ ÐABC = 90° \ AD = BD ÐDAF 又 = ÐDBG \△ADF≌△BDG （ASA）‎ ‎2‎ ‎（2） 4 - 2‎ ‎（3） 30‎ ‎18．（1）23‎ ‎（2）77.5‎ ‎（3）学生甲的成绩排名更靠前，理由如下：‎ 学生甲的成绩大于七年级成绩的中位数，学生乙的成绩小于八年级成绩的中位数 \学生甲的成绩排名更靠前 ‎（4） 400´ 5+15+8 =224 （人）‎ ‎50‎ 答：七年级成绩超过平均数 76.9 分的有 224 人．‎ ‎19．解: 由题意可得 AB = 21m ，EC = 55m ，ÐEAC = 34°， ÐDBC = 60° 设炎帝塑像 DE 的高度是 x m，则 DC = (x + 55)m ‎60°‎ ‎34°‎ D 在Rt△ACE 中， tan ÐEAC = EC = 55 ‎ AC AC E \ AC= 55 » 82.09 m tan ÐEAC \BC = AC - AB=61.09m C B A 在Rt△BCD 中， tan ÐCBD = CD BC \CD = BC × tanÐCBD = 61.09 tan 60° »105.69m 即 x + 5 »105.69‎ 所以 x » 51‎ 答：设炎帝塑像 DE 的高度为 51m．‎ 22‎ ‎20．（1）解：设 A 种奖品的单价为 x 元，B 种奖品的单价为 y 元 í ì3x + 2 y = 120‎ î5x + 4 y = 210‎ ìx = 30‎ î 解得： í y = 15‎ 答：设 A 种奖品的单价为 30 元，B 种奖品的单价为 15 元．‎ ‎（2）设 A 种奖品为 a 个，B 种奖品为(30 - a) 个，总费用为 W ìïa ³ 1（30 - a）‎ í 3 解得： 7.5 £ a £ 30‎ ïî30 - a ³ 0‎ 所以总费用W =30a +15(30 - a) =15a + 450‎ ‎15 > 0‎ \ W 随a 的增大而增大又 a 为正整数 \当a = 8 时，W 最小 此时 B 为30 -8 = 22 （个）‎ 答：最省钱的购买方案为：A 种奖品 8 个，B 种奖品 22 个．‎ ‎21．（1）一 ‎（2）‎ 22‎ y ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ y= (x>0)‎ ‎4‎ x ‎–4 –3 –2 –1 O ‎–1‎ ‎–2‎ ‎–3‎ ‎–4‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8 9 x y= x 22‎ ‎（3）①8 ②0 个交点时， 0 < m < 8‎ ‎（4） m ³ 8‎ ‎22．解：（1）1； 60° ‎；2 个交点的时， m > 8‎ 22‎ ‎2‎ ‎（2） BD = ，直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45° CP 理由如下：假设 BD 与 CP 相交于点 M，AC 与 BD 交于点 N，‎ D M N C 22‎ P A B 由题意可知， △PAD 是等腰直角三角形 \ÐDAP = 45° ， PA = 2‎ AD 2‎ CA = CB ， ÐACB = a = 90° \ △ACB 是等腰直角三角形 22‎ \ÐCAB = 45° ， AC = 2‎ AB 2‎ ÐCAP = ÐPAD +ÐCAD = 45° +ÐCAD ， ÐBAD = ÐBAC +ÐCAD = 45° +ÐCAD \ÐPAC = ÐDAB 又 PA = AC = 2‎ AD AB 2‎ \△APC∽△ADB 22‎ \ BD = AB = CP AC ‎2 ， ÐPCA = ÐABD 22‎ ÐANB = ÐDNC \ÐCMN = ÐCAB = 45° 即直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45° ．‎ ‎2‎ 综上所述， BD = ，直线 BD 与 CP 相交所成的角度是45° ．‎ CP ‎2‎ ‎2‎ ‎（3） 2 + 或2 - ‎23．解：（1）由直线 y = - 1 x - 2 ，可得 A（ -4 ，0），C（0， -2 ）‎ ‎2‎ 二次函数经过 A、C 两点，‎ íc = -2‎ \ ì16a - 2 + c = 0‎ î ìïa = 1‎ 解得： í 4‎ ïîc = -2‎ \ 抛物线的解析式为 y = 1 x2 + 1 x - 2‎ ‎4 2‎ ‎（2）① 由题意可知，M 点处不可能是直角，所以分两种情况：‎ ‎（ i ）若ÐMPC = 90° 时，则有： 1 x2 + 1 x - 2 = -2‎ ‎4 2‎ 解得： x1 = 0 （舍去）， x2 = -2‎ 22‎ \ 点 P 坐标为（ -2 ， -2 ）‎ ‎（ ii ）若ÐMCP = 90° ，则有CP ^ CM \kCP = 2‎ 由点 C（0， -2 ）可得直线 CP 的解析式： y = 2x - 2‎ \2x - 2 = 1 x2 + 1 x - 2‎ ‎4 2‎ 解得： x1 = 0 （舍去）， x2 = 6‎ \ x = 6 时， y = 2x - 2 = 10‎ \ 点 P 坐标为（6，10）‎ 综上所述，点 P 坐标为（6，10）或（ -2 ， -2 ）．‎ ‎② y = x - 3 m - 2 或 y = -m - 4 x - 2 或 y = -m + 4 x - 2 ．‎ ‎4 2m - 4 2m + 4‎ 22‎