四川省遂宁市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

‎2019年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）‎ ‎1．（4分）﹣|﹣|的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．± D．2‎ ‎2．（4分）下列等式成立的是（　　）‎ A．2+＝2 B．（a2b3）2＝a4b6 ‎ C．（2a2+a）÷a＝2a D．5x2y﹣2x2y＝3‎ ‎3．（4分）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为﹣2的面与其对面上的数字 之积是（　　）‎ A．﹣12 B．0 C．﹣8 D．﹣10‎ ‎4．（4分）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（　　）‎ A．100 ‎ B．被抽取的100名学生家长 ‎ C．被抽取的100名学生家长的意见 ‎ D．全校学生家长的意见 ‎5．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，则a的值为（　　）‎ A．0 B．±1 C．1 D．﹣1‎ ‎6．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，⊙O的半径r＝4，则阴影部分的面积为（　　）‎ 17‎ A．4π﹣8 B．2π C．4π D．8π﹣8‎ ‎7．（4分）如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于点E，连接BE，‎ 若▱ABCD的周长为28，则△ABE的周长为（　　）‎ A．28 B．24 C．21 D．14‎ ‎8．（4分）关于x的方程﹣1＝的解为正数，则k的取值范围是（　　）‎ A．k＞﹣4 B．k＜4 C．k＞﹣4且k≠4 D．k＜4且k≠﹣4‎ ‎9．（4分）二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（　　）‎ A．a＝4 ‎ B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8） ‎ C．当x＝﹣1时，b＞﹣5 ‎ D．当x＞3时，y随x的增大而增大 ‎10．（4分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，△BPC是等边三角形，连接DP并延长交CB的延长线于点H，连接BD交PC于点Q，下列结论：‎ ‎①∠BPD＝135°；②△BDP∽△HDB；③DQ：BQ＝1：2；④S△BDP＝．‎ 其中正确的有（　　）‎ 17‎ A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11．（4分）2018年10月24日，我国又一项世界级工程﹣﹣港珠澳大桥正式建成通车，它全长55000米，用科学记数法表示为　 　米．‎ ‎12．（4分）若关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为　 　．‎ ‎13．（4分）某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为92分、85分、90分，综合成绩笔试占40%，试讲占40%，面试占20%，则该名教师的综合成绩为　 　分．‎ ‎14．（4分）阅读材料：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，b叫这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似．‎ 例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝（4+6）+（1﹣2）i＝10﹣i；‎ ‎（2﹣i）（3+i）＝6﹣3i+2i﹣i2＝6﹣i﹣（﹣1）＝7﹣i；‎ ‎（4+i）（4﹣i）＝16﹣i2＝16﹣（﹣1）＝17；‎ ‎（2+i）2＝4+4i+i2＝4+4i﹣1＝3+4i 根据以上信息，完成下面计算：‎ ‎（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝　 　．‎ ‎15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O落在坐标原点，点A、点C分别位于x轴，y轴的正半轴，G为线段OA上一点，将△OCG沿CG翻折，O点恰好落在对角线AC上的点P处，反比例函数y＝经过点B．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（0，3）、G、A三点，则该二次函数的解析式为　 　．（填一般式）‎ 17‎ 三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）‎ ‎16．（7分）计算：（﹣1）2019+（﹣2）﹣2+（3.14﹣π）0﹣4cos30°+|2﹣|‎ ‎17．（7分）解不等式组：，把它的解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．‎ ‎18．（7分）先化简，再求值：÷﹣，其中a，b满足（a﹣2）2+＝0．‎ ‎19．（9分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE＝BC，连接AE交CD于点F，点F是CD的中点．求证：‎ ‎（1）△ADF≌△ECF．‎ ‎（2）四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎20．（9分）汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）‎ 17‎ ‎21．（9分）仙桃是遂宁市某地的特色时令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元购进一批仙桃，很快售完；老板又用3700元购进第二批仙桃，所购件数是第一批的倍，但进价比第一批每件多了5元．‎ ‎（1）第一批仙桃每件进价是多少元？‎ ‎（2）老板以每件225元的价格销售第二批仙桃，售出80%后，为了尽快售完，剩下的决定打折促销．要使得第二批仙桃的销售利润不少于440元，剩余的仙桃每件售价至少打几折？（利润＝售价﹣进价）‎ ‎22．（10分）我市某校为了让学生的课余生活丰富多彩，开展了以下课外活动：‎ 代号 活动类型 A 经典诵读与写作 B 数学兴趣与培优 C 英语阅读与写作 D 艺体类 E 其他 为了解学生的选择情况，现从该校随机抽取了部分学生进行问卷调查（参与问卷调查的每名学生只能选择其中一项），并根据调查得到的数据绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息回答下列问题（要求写出简要的解答过程）．‎ ‎（1）此次共调查了　 　名学生．‎ ‎（2）将条形统计图补充完整．‎ ‎（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为　 　．‎ ‎（4）若该校共有2000名学生，请估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有多少人？‎ ‎（5）学校将从喜欢“A”类活动的学生中选取4位同学（其中女生2名，男生2名）参加校园“金话筒”朗诵初赛，并最终确定两名同学参加决赛，请用列表或画树状图的方法，求出刚好一男一女参加决赛的概率．‎ 17‎ ‎23．（10分）如图，一次函数y＝x﹣3的图象与反比例函数y═（k≠0）的图象交于点A与点B（a，﹣4）．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若△POC的面积为3，求出点P的坐标．‎ ‎24．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，延长AD至点F，使DF＝2OD，连接FC并延长交过点A的切线于点G，且满足AG∥BC，连接OC，若cos∠BAC＝，BC＝6．‎ ‎（1）求证：∠COD＝∠BAC；‎ ‎（2）求⊙O的半径OC；‎ ‎（3）求证：CF是⊙O的切线．‎ ‎25．（12分）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B 17‎ 在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．‎ ‎（1）求该二次函数的关系式．‎ ‎（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：‎ ‎①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．‎ ‎②求证：∠BNM＝∠ONM．‎ 17‎ ‎2019年四川省遂宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）‎ ‎1．【解答】解：﹣|﹣|＝﹣．‎ 故选：B．‎ ‎2．【解答】解：A、2+，无法计算，故此选项错误；‎ B、（a2b3）2＝a4b6，正确；‎ C、（2a2+a）÷a＝2a+1，故此选项错误；‎ D、故5x2y﹣2x2y＝3x2y，此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎3．【解答】解：数字为﹣2的面的对面上的数字是6，其积为﹣2×6＝﹣12．‎ 故选：A．‎ ‎4．【解答】解：某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，‎ 这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见．‎ 故选：C．‎ ‎5．【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+a2﹣1＝0有一个根为x＝0，‎ ‎∴a2﹣1＝0，a﹣1≠0，‎ 则a的值为：a＝﹣1．‎ 故选：D．‎ ‎6．【解答】解：∵∠A＝45°，‎ ‎∴∠BOC＝2∠A＝90°，‎ ‎∴阴影部分的面积＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×4×4＝4π﹣8，‎ 故选：A．‎ ‎7．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC，‎ ‎∵平行四边形的周长为28，‎ 17‎ ‎∴AB+AD＝14‎ ‎∵OE⊥BD，‎ ‎∴OE是线段BD的中垂线，‎ ‎∴BE＝ED，‎ ‎∴△ABE的周长＝AB+BE+AE＝AB+AD＝14，‎ 故选：D．‎ ‎8．【解答】解：分式方程去分母得：k﹣（2x﹣4）＝2x，‎ 解得：x＝，‎ 根据题意得：＞0，且≠2，‎ 解得：k＞﹣4，且k≠4．‎ 故选：C．‎ ‎9．【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣ax+b ‎∴对称轴为直线x＝＝2‎ ‎∴a＝4，故A选项正确；‎ 当b＝﹣4时，y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8‎ ‎∴顶点的坐标为（2，﹣8），故B选项正确；‎ 当x＝﹣1时，由图象知此时y＜0‎ 即1+4+b＜0‎ ‎∴b＜﹣5，故C选项不正确；‎ ‎∵对称轴为直线x＝2且图象开口向上 ‎∴当x＞3时，y随x的增大而增大，故D选项正确；‎ 故选：C．‎ ‎10．【解答】解：∵△PBC是等边三角形，四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠PCB＝∠CPB＝60°，∠PCD＝30°，BC＝PC＝CD，‎ ‎∴∠CPD＝∠CDP＝75°，‎ 则∠BPD＝∠BPC+∠CPD＝135°，故①正确；‎ ‎∵∠CBD＝∠CDB＝45°，‎ ‎∴∠DBP＝∠DPB＝135°，‎ 又∵∠PDB＝∠BDH，‎ 17‎ ‎∴△BDP∽△HDB，故②正确；‎ 如图，过点Q作QE⊥CD于E，‎ 设QE＝DE＝x，则QD＝x，CQ＝2QE＝2x，‎ ‎∴CE＝x，‎ 由CE+DE＝CD知x+x＝1，‎ 解得x＝，‎ ‎∴QD＝x＝，‎ ‎∵BD＝，‎ ‎∴BQ＝BD﹣DQ＝﹣＝，‎ 则DQ：BQ＝：≠1：2，故③错误；‎ ‎∵∠CDP＝75°，∠CDQ＝45°，‎ ‎∴∠PDQ＝30°，‎ 又∵∠CPD＝75°，‎ ‎∴∠DPQ＝∠DQP＝75°，‎ ‎∴DP＝DQ＝，‎ ‎∴S△BDP＝BD•PDsin∠BDP＝×××＝，故④正确；‎ 故选：D．‎ 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）‎ ‎11．【解答】解：55000＝5.5×104，‎ 故答案为5.5×104．‎ ‎12．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△＞0，‎ 即4﹣4k＞0，‎ k＜1．‎ 17‎ 故答案为：k＜1．‎ ‎13．【解答】解：由题意，则该名教师的综合成绩为：‎ ‎92×40%+85×40%+90×20%‎ ‎＝36.8+34+18‎ ‎＝88.8‎ 故答案为：88.8‎ ‎14．【解答】解：（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝2﹣i+4i﹣2i2+4+i2﹣4i ‎＝6﹣i﹣i2‎ ‎＝6﹣i+1‎ ‎＝7﹣i．‎ 故答案为：7﹣i．‎ ‎15．【解答】解：点C（0，3），反比例函数y＝经过点B，则点B（4，3），‎ 则OC＝3，OA＝4，‎ ‎∴AC＝5，‎ 设OG＝PG＝x，则GA＝4﹣x，PA＝AC﹣CP＝AC﹣OC＝5﹣3＝2，‎ 由勾股定理得：（4﹣x）2＝4+x2，‎ 解得：x＝，故点G（，0），‎ 将点C、G、A坐标代入二次函数表达式得：，解得：，‎ 故答案为：y＝x2﹣x+3．‎ 三、计算或解答题（本大题共10小题，满分90分）‎ ‎16．【解答】解：原式＝﹣1++1﹣4×+2﹣2‎ ‎＝﹣1++1﹣2+2﹣2‎ ‎＝﹣．‎ ‎17．【解答】解：‎ 17‎ 解不等式①，x＞﹣3，‎ 解不等式②，x≤2，‎ ‎∴﹣3＜x≤2，‎ 解集在数轴上表示如下：‎ ‎∴x的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．‎ ‎18．【解答】解：原式＝﹣‎ ‎＝﹣‎ ‎＝﹣，‎ ‎∵a，b满足（a﹣2）2+＝0，‎ ‎∴a﹣2＝0，b+1＝0，‎ a＝2，b＝﹣1，‎ 原式＝＝﹣1．‎ ‎19．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAF＝∠E，‎ ‎∵点F是CD的中点，‎ ‎∴DF＝CF，‎ 在△ADF与△ECF中，，‎ ‎∴△ADF≌△ECF（AAS）；‎ ‎（2）∵△ADF≌△ECF，‎ ‎∴AD＝EC，‎ ‎∵CE＝BC，‎ ‎∴AD＝BC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ ‎20．【解答】解：过A 作AH⊥BC于H，过E作EH⊥BC于G，‎ 17‎ 则四边形EGHA是矩形，‎ ‎∴EG＝AH，GH＝AE＝2，‎ ‎∵AB＝30×30＝900cm＝9米，‎ ‎∵斜坡AB的坡度i＝1：1，‎ ‎∴AH＝BH＝，‎ ‎∴BG＝BH﹣HG＝，‎ ‎∵斜坡EF的坡度i＝1：，‎ ‎∴FG＝，‎ ‎∴BF＝FG﹣BG＝﹣，‎ ‎∴S梯形ABFE＝（2+﹣）×＝，‎ ‎∴共需土石为×200＝50（81﹣81+36）立方米．‎ ‎21．【解答】解：（1）设第一批仙桃每件进价x元，则×＝，‎ 解得 x＝180．‎ 经检验，x＝180是原方程的根．‎ 答：第一批仙桃每件进价为180元；‎ ‎（2）设剩余的仙桃每件售价打y折．‎ 则：×225×80%+×225×（1﹣80%）×0.1y﹣3700≥440，‎ 解得 y≥6．‎ 答：剩余的仙桃每件售价至少打6折．‎ ‎22．【解答】解：（1）此次调查的总人数为40÷20%＝200（人），‎ 故答案为：200；‎ ‎（2）D类型人数为200×25%＝50（人），‎ B类型人数为200﹣（40+30+50+20）＝60（人），‎ 17‎ 补全图形如下：‎ ‎（3）“数学兴趣与培优”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝108°，‎ 故答案为：108°；‎ ‎（4）估计该校喜欢A、B、C三类活动的学生共有2000×＝1300（人）；‎ ‎（5）画树状图如下：‎ ‎，‎ 由树状图知，共有12种等可能结果，其中一男一女的有8种结果，‎ ‎∴刚好一男一女参加决赛的概率＝．‎ ‎23．【解答】解：（1）将B（a，﹣4）代入一次函数y＝x﹣3中得：a＝﹣1‎ ‎∴B（﹣1，﹣4）‎ 将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═（k≠0）中得：k＝4‎ ‎∴反比例函数的表达式为y＝；‎ ‎（2）如图：‎ 设点P的坐标为（m，）（m＞0），则C（m，m﹣3）‎ 17‎ ‎∴PC＝|﹣（m﹣3）|，点O到直线PC的距离为m ‎∴△POC的面积＝m×|﹣（m﹣3）|＝3‎ 解得：m＝5或﹣2或1或2‎ ‎∵点P不与点A重合，且A（4，1）‎ ‎∴m≠4‎ 又∵m＞0‎ ‎∴m＝5或1或2‎ ‎∴点P的坐标为（5，）或（1，4）或（2，2）．‎ ‎24．【解答】解：（1）∵AG是⊙O的切线，AD是⊙O的直径，‎ ‎∴∠GAF＝90°，‎ ‎∵AG∥BC，‎ ‎∴AE⊥BC，‎ ‎∴CE＝BE，‎ ‎∴∠BAC＝2∠EAC，‎ ‎∵∠COE＝2∠CAE，‎ ‎∴∠COD＝∠BAC；‎ ‎（2）∵∠COD＝∠BAC，‎ ‎∴cos∠BAC＝cos∠COE＝＝，‎ ‎∴设OE＝x，OC＝3x，‎ ‎∵BC＝6，‎ ‎∴CE＝3，‎ ‎∵CE⊥AD，‎ ‎∴OE2+CE2＝OC2，‎ ‎∴x2+32＝9x2，‎ ‎∴x＝（负值舍去），‎ ‎∴OC＝3x＝，‎ ‎∴⊙O的半径OC为；‎ 17‎ ‎（3）∵DF＝2OD，‎ ‎∴OF＝3OD＝3OC，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠COE＝∠FOC，‎ ‎∴△COE∽△FOE，‎ ‎∴∠OCF＝∠DEC＝90°，‎ ‎∴CF是⊙O的切线．‎ ‎25．【解答】解：（1）∵二次函数顶点为P（3，3）‎ ‎∴设顶点式y＝a（x﹣3）2+3‎ ‎∵二次函数图象过点A（6，0）‎ ‎∴（6﹣3）2a+3＝0，解得：a＝﹣‎ ‎∴二次函数的关系式为y＝﹣（x﹣3）2+3＝﹣x2+2x ‎（2）设B（b，﹣b2+2b）（b＞3）‎ ‎∴直线OB解析式为：y＝（﹣b+2）x ‎∵OB交对称轴l于点M ‎∴当xM＝3时，yM＝（﹣b+2）×3＝﹣b+6‎ ‎∴M（3，﹣b+6）‎ ‎∵点M、N关于点P对称 ‎∴NP＝MP＝3﹣（﹣b+6）＝b﹣3，‎ ‎∴yN＝3+b﹣3＝b，即N（3，b）‎ ‎①∵OP＝MN ‎∴OP＝MP ‎∴＝b﹣3‎ 解得：b＝3+3‎ ‎∴﹣b2+2b＝﹣×（3+3）2+2×（3+3）＝﹣3‎ ‎∴B（3+3，﹣3），N（3，3+3）‎ 17‎ ‎∴OB2＝（3+3）2+（﹣3）2＝36+18，ON2＝32+（3+3）2＝36+18，BN2＝（3+3﹣3）2+（﹣3﹣3﹣3）2＝72+36‎ ‎∴OB＝ON，OB2+ON2＝BN2‎ ‎∴△NOB是等腰直角三角形，此时点B坐标为（3+3，﹣3）．‎ ‎②证明：如图，设直线BN与x轴交于点D ‎∵B（b，﹣b2+2b）、N（3，b）‎ 设直线BN解析式为y＝kx+d ‎∴ 解得：‎ ‎∴直线BN：y＝﹣bx+2b 当y＝0时，﹣bx+2b＝0，解得：x＝6‎ ‎∴D（6，0）‎ ‎∵C（3，0），NC⊥x轴 ‎∴NC垂直平分OD ‎∴ND＝NO ‎∴∠BNM＝∠ONM 17‎