山东淄博市2019年中考数学真题(有解析)
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资料简介
‎2019年山东省淄博市中考数学试卷(A卷)‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(4分)比﹣2小1的数是(  )‎ A.﹣3 B.﹣1 C.1 D.3‎ ‎2.(4分)国产科幻电影《流浪地球》上映17日,票房收入突破40亿元人民币,将40亿用科学记数法表示为(  )‎ A.40×108 B.4×109 C.4×1010 D.0.4×1010‎ ‎3.(4分)下列几何体中,其主视图、左视图和俯视图完全相同的是(  )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.(4分)如图,小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处,则∠ABC等于(  )‎ A.130° B.120° C.110° D.100°‎ ‎5.(4分)解分式方程=﹣2时,去分母变形正确的是(  )‎ A.﹣1+x=﹣1﹣2(x﹣2) B.1﹣x=1﹣2(x﹣2) ‎ C.﹣1+x=1+2(2﹣x) D.1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2)‎ ‎6.(4分)与下面科学计算器的按键顺序:‎ 对应的计算任务是(  )‎ A.0.6×+124 B.0.6×+124 ‎ 15‎ C.0.6×5÷6+412 D.0.6×+412‎ ‎7.(4分)如图,矩形内有两个相邻的正方形,其面积分别为2和8,则图中阴影部分的面积为(  )‎ A. B.2 C.2 D.6‎ ‎8.(4分)如图,在△ABC中,AC=2,BC=4,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B.若△ADC的面积为a,则△ABD的面积为(  )‎ A.2a B.a C.3a D.a ‎9.(4分)若x1+x2=3,x12+x22=5,则以x1,x2为根的一元二次方程是(  )‎ A.x2﹣3x+2=0 B.x2+3x﹣2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2﹣3x﹣2=0‎ 二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.请直接填写最后结果.‎ ‎10.(4分)单项式a3b2的次数是   .‎ ‎11.(4分)分解因式:x3+5x2+6x.‎ ‎12.(4分)如图,在正方形网格中,格点△ABC绕某点顺时针旋转角α(0<α<180°)得到格点△A1B1C1,点A与点A1,点B与点B1,点C与点C1是对应点,则α=   度.‎ ‎13.(4分)某校欲从初三级部3名女生,2名男生中任选两名学生代表学校参加全市举办的“中国梦•青春梦“演讲比赛,则恰好选中一男一女的概率是   .‎ 15‎ ‎14.(4分)如图,在以A为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC中,将B角折起,使点B落在AC边上的点D(不与点A,C重合)处,折痕是EF.‎ 如图1,当CD=AC时,tanα1=;‎ 如图2,当CD=AC时,tanα2=;‎ 如图3,当CD=AC时,tanα3=;‎ ‎……‎ 依此类推,当CD=AC(n为正整数)时,tanαn=   .‎ 三、解答题:本大题共7个小题,共52分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.(5分)解不等式 ‎16.(5分)已知,在如图所示的“风筝”图案中,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC.求证:∠E=∠C.‎ ‎17.(8分)文明交流互鉴是推动人类文明进步和世界和平发展的重要动力.2019年5月“亚洲文明对话大会”在北京成功举办,引起了世界人民的极大关注.某市一研究机构为了了解10~60岁年龄段市民对本次大会的关注程度,随机选取了100名年龄在该范围内的市民进行了调查,并将收集到的数据制成了尚不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图,如下所示:‎ 组别 年龄段 频数(人数)‎ 第1组 ‎10≤x<20‎ ‎5‎ 15‎ 第2组 ‎20≤x<30‎ a 第3组 ‎30≤x<40‎ ‎35‎ 第4组 ‎40≤x<50‎ ‎20‎ 第5组 ‎50≤x<60‎ ‎15‎ ‎(1)请直接写出a=   ,m=   ,第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是   度.‎ ‎(2)请补全上面的频数分布直方图;‎ ‎(3)假设该市现有10~60岁的市民300万人,问40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有多少?‎ ‎18.(8分)“一带一路”促进了中欧贸易的发展,我市某机电公司生产的A,B两种产品在欧洲市场热销.今年第一季度这两种产品的销售总额为2060万元,总利润为1020万元(利润=售价﹣成本).其每件产品的成本和售价信息如下表:‎ A B 成本(单位:万元/件)‎ ‎2‎ ‎4‎ 售价(单位:万元/件)‎ ‎5‎ ‎7‎ 问该公司这两种产品的销售件数分别是多少?‎ ‎19.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上,以AE为直径的⊙O经过点D.‎ ‎(1)求证:①BC是⊙O的切线;‎ ‎②CD2=CE•CA;‎ ‎(2)若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积.‎ 15‎ ‎20.(9分)如图1,正方形ABDE和BCFG的边AB,BC在同一条直线上,且AB=2BC,取EF的中点M,连接MD,MG,MB.‎ ‎(1)试证明DM⊥MG,并求的值.‎ ‎(2)如图2,将图1中的正方形变为菱形,设∠EAB=2α(0<α<90°),其它条件不变,问(1)中的值有变化吗?若有变化,求出该值(用含α的式子表示);若无变化,说明理由.‎ ‎21.(9分)如图,顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.‎ ‎(1)求这条抛物线对应的函数表达式;‎ ‎(2)问在y轴上是否存在一点P,使得△PAM为直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.‎ ‎(3)若在第一象限的抛物线下方有一动点D,满足DA=OA,过D作DG⊥x轴于点G,设△ADG的内心为I,试求CI的最小值.‎ 15‎ 15‎ ‎2019年山东省淄博市中考数学试卷(A卷)‎ 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.【解答】解:﹣2﹣1=﹣(1+2)=﹣3.‎ 故选:A.‎ ‎2.【解答】解:40亿用科学记数法表示为:4×109,‎ 故选:B.‎ ‎3.【解答】解:A、圆柱的主视图和左视图都是矩形,但俯视图也是一个圆形,不符合题意;‎ B、三棱柱的主视图和左视图、俯视图都不相同,不符合题意;‎ C、长方体的主视图和左视图是相同的,都为一个长方形,但是俯视图是一个不一样的长方形,不符合题意;‎ D、球的三视图都是大小相同的圆,符合题意.‎ 故选:D.‎ ‎4.【解答】解:如图:‎ ‎∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿东偏南20方向行走至点C处,‎ ‎∴∠DAB=40°,∠CBF=20°,‎ ‎∵向北方向线是平行的,即AD∥BE,‎ ‎∴∠ABE=∠DAB=40°,‎ ‎∵∠EBF=90°,‎ ‎∴∠EBC=90°﹣20°=70°,‎ ‎∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=40°+70°=110°,‎ 故选:C.‎ 15‎ ‎5.【解答】解:去分母得:1﹣x=﹣1﹣2(x﹣2),‎ 故选:D.‎ ‎6.【解答】解:与下面科学计算器的按键顺序对应的计算任务是0.6×+124,‎ 故选:B.‎ ‎7.【解答】解:由题意可得,‎ 大正方形的边长为=2,小正方形的边长为,‎ ‎∴图中阴影部分的面积为:×(2﹣)=2,‎ 故选:B.‎ ‎8.【解答】解:∵∠CAD=∠B,∠ACD=∠BCA,‎ ‎∴△ACD∽△BCA,‎ ‎∴=()2,即=,‎ 解得,△BCA的面积为4a,‎ ‎∴△ABD的面积为:4a﹣a=3a,‎ 故选:C.‎ ‎9.【解答】解:∵x12+x22=5,‎ ‎∴(x1+x2)2﹣2x1x2=5,‎ 而x1+x2=3,‎ ‎∴9﹣2x1x2=5,‎ ‎∴x1x2=2,‎ ‎∴以x1,x2为根的一元二次方程为x2﹣3x+2=0.‎ 故选:A.‎ 二、填空题:本大题共5个小题,每小题4分,共20分.请直接填写最后结果.‎ ‎10.【解答】解:单项式a3b2的次数是3+2=5.‎ 故答案为5.‎ ‎11.【解答】解:x3+5x2+6x,‎ ‎=x(x2+5x+6),‎ ‎=x(x+2)(x+3).‎ ‎12.【解答】解:如图,‎ 15‎ 连接CC1,AA1,作CC1,AA1的垂直平分线交于点E,连接AE,A1E ‎∵CC1,AA1的垂直平分线交于点E,‎ ‎∴点E是旋转中心,‎ ‎∵∠AEA1=90°‎ ‎∴旋转角α=90°‎ 故答案为:90‎ ‎13.【解答】解:画树状图为:‎ 共20种等可能的结果数,其中选中一男一女的结果数为12,‎ ‎∴恰好选中一男一女的概率是=,‎ 故答案为:.‎ ‎14.【解答】解:观察可知,正切值的分子是3,5,7,9,…,2n+1,‎ 分母与勾股数有关系,分别是勾股数3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,2n+1,,中的中间一个.‎ ‎∴tanαn==.‎ 故答案为:.‎ 三、解答题:本大题共7个小题,共52分.解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15.【解答】解:将不等式两边同乘以2得,‎ x﹣5+2>2x﹣6‎ 解得x<3.‎ 15‎ ‎16.【解答】证明:∵∠BAE=∠DAC ‎∴∠BAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE ‎∴∠CAB=∠EAD,且AB=AD,AC=AE ‎∴△ABC≌△ADE(SAS)‎ ‎∴∠C=∠E ‎17.【解答】解:(1)a=100﹣5﹣35﹣20﹣15=25,‎ m%=(20÷100)×100%=20%,‎ 第3组人数在扇形统计图中所对应的圆心角是:360°×=126°,‎ 故答案为:25,20,126;‎ ‎(2)由(1)值,20≤x<30有25人,‎ 补全的频数分布直方图如右图所示;‎ ‎(3)300×=60(万人),‎ 答:40~50岁年龄段的关注本次大会的人数约有60万人.‎ ‎18.【解答】解:设A,B两种产品的销售件数分别为x件、y件;‎ 由题意得:,‎ 解得:;‎ 答:A,B两种产品的销售件数分别为160件、180件.‎ ‎19.【解答】解:(1)①连接OD,‎ 15‎ ‎∵AD是∠BAC的平分线,∴∠DAB=∠DAO,‎ ‎∵OD=OA,∴∠DAO=∠ODA,‎ ‎∴∠DAO=∠ADO,‎ ‎∴DO∥AB,而∠B=90°,‎ ‎∴∠ODB=90°,‎ ‎∴BC是⊙O的切线;‎ ‎②连接DE,‎ ‎∵BC是⊙O的切线,∴∠CDE=∠DAC,‎ ‎∠C=∠C,∴△CDE∽△CAD,‎ ‎∴CD2=CE•CA;‎ ‎(2)连接DE、OE,设圆的半径为R,‎ ‎∵点F是劣弧AD的中点,∴是OF是DA中垂线,‎ ‎∴DF=AF,∴∠FDA=∠FAD,‎ ‎∵DO∥AB,∴∠PDA=∠DAF,‎ ‎∴∠ADO=∠DAO=∠FDA=∠FAD,‎ ‎∴AF=DF=OA=OD,‎ ‎∴△OFD、△OFA是等边三角形,‎ ‎∴∠C=30°,‎ ‎∴OD=OC=(OE+EC),而OE=OD,‎ ‎∴CE=OE=R=3,‎ S阴影=S扇形DFO=×π×32=.‎ ‎20.【解答】(1)证明:如图1中,延长DM交FG的延长线于H.‎ 15‎ ‎∵四边形ABCD,四边形BCFG都是正方形,‎ ‎∴DE∥AC∥GF,‎ ‎∴∠EDM=∠FHM,‎ ‎∵∠EMD=∠FMH,EM=FM,‎ ‎∴△EDM≌△FHM(AAS),‎ ‎∴DE=FH,DM=MH,‎ ‎∵DE=2FG,BG=DG,‎ ‎∴HG=DG,‎ ‎∵∠DGH=∠BGF=90°,MH=DM,‎ ‎∴GM⊥DM,DM=MG,‎ 连接EB,BF,设BC=a,则AB=2a,BE=2a,BF=a,‎ ‎∵∠EBD=∠DBF=45°,‎ ‎∴∠EBF=90°,‎ ‎∴EF==a,‎ ‎∵EM=MF,‎ ‎∴BM=EF=a,‎ ‎∵HM=DM,GH=FG,‎ ‎∴MG=DF=a,‎ ‎∴==.‎ ‎(2)解:(1)中的值有变化.‎ 15‎ 理由:如图2中,连接BE,AD交于点O,连接OG,CG,BF,CG交BF于O′.‎ ‎∵DO=OA,DG=GB,‎ ‎∴GO∥AB,OG=AB,‎ ‎∵GF∥AC,‎ ‎∴O,G,F共线,‎ ‎∵FG=AB,‎ ‎∴OF=AB=DF,‎ ‎∵DF∥AC,AC∥OF,‎ ‎∴DE∥OF,‎ ‎∴OD与EF互相平分,‎ ‎∵EM=MF,‎ ‎∴点M在直线AD上,‎ ‎∵GD=GB=GO=GF,‎ ‎∴四边形OBFD是矩形,‎ ‎∴∠OBF=∠ODF=∠BOD=90°,‎ ‎∵OM=MD,OG=GF,‎ ‎∴MG=DF,设BC=m,则AB=2m,‎ 易知BE=2OB=2•2m•sinα=4msinα,BF=2BO°=2m•cosα,DF=OB=2m•sinα,‎ ‎∵BM=EF==,GM=DF=m•sinα,‎ ‎∴==.‎ ‎21.【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+3过点A(3,0),B(﹣1,0)‎ ‎∴ 解得:‎ 15‎ ‎∴这条抛物线对应的函数表达式为y=﹣x2+2x+3‎ ‎(2)在y轴上存在点P,使得△PAM为直角三角形.‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4‎ ‎∴顶点M(1,4)‎ ‎∴AM2=(3﹣1)2+42=20‎ 设点P坐标为(0,p)‎ ‎∴AP2=32+p2=9+p2,MP2=12+(4﹣p)2=17﹣8p+p2‎ ‎①若∠PAM=90°,则AM2+AP2=MP2‎ ‎∴20+9+p2=17﹣8p+p2‎ 解得:p=﹣‎ ‎∴P(0,﹣)‎ ‎②若∠APM=90°,则AP2+MP2=AM2‎ ‎∴9+p2+17﹣8p+p2=20‎ 解得:p1=1,p2=3‎ ‎∴P(0,1)或(0,3)‎ ‎③若∠AMP=90°,则AM2+MP2=AP2‎ ‎∴20+17﹣8p+p2=9+p2‎ 解得:p=‎ ‎∴P(0,)‎ 综上所述,点P坐标为(0,﹣)或(0,1)或(0,3)或(0,)时,△PAM为直角三角形.‎ ‎(3)如图,过点I作IE⊥x轴于点E,IF⊥AD于点F,IH⊥DG于点H ‎∵DG⊥x轴于点G ‎∴∠HGE=∠IEG=∠IHG=90°‎ ‎∴四边形IEGH是矩形 ‎∵点I为△ADG的内心 15‎ ‎∴IE=IF=IH,AE=AF,DF=DH,EG=HG ‎∴矩形IEGH是正方形 设点I坐标为(m,n)‎ ‎∴OE=m,HG=GE=IE=n ‎∴AF=AE=OA﹣OE=3﹣m ‎∴AG=GE+AE=n+3﹣m ‎∵DA=OA=3‎ ‎∴DH=DF=DA﹣AF=3﹣(3﹣m)=m ‎∴DG=DH+HG=m+n ‎∵DG2+AG2=DA2‎ ‎∴(m+n)2+(n+3﹣m)2=32‎ ‎∴化简得:m2﹣3m+n2+3n=0‎ 配方得:(m﹣)2+(n+)2=‎ ‎∴点I(m,n)与定点Q(,﹣)的距离为 ‎∴点I在以点Q(,﹣)为圆心,半径为的圆在第一象限的弧上运动 ‎∴当点I在线段CQ上时,CI最小 ‎∵CQ=‎ ‎∴CI=CQ﹣IQ=‎ ‎∴CI最小值为.‎ 15‎

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