湖北省荆门市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

‎2019年湖北省荆门市中考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的 ‎1．﹣的倒数的平方是（　　）‎ A．2 B． C．﹣2 D．﹣‎ ‎【分析】根据倒数，平方的定义以及二次根式的性质化简即可．‎ ‎【解答】解：﹣的倒数的平方为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了倒数的定义、平方的定义以及二次根式的性质，是基础题，熟记概念是解题的关键 ‎2．已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000秒，用科学记数法表示31536000正确的是（　　）‎ A．3.1536×106 B．3.1536×107 ‎ C．31.536×106 D．0.31536×108‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：将31536000用科学记数法表示为3.1536×107．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3．已知实数x，y满足方程组则x2﹣2y2的值为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3‎ ‎【分析】首先解方程组，求出x、y的值，然后代入所求代数式即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎①+②×2，得5x＝5，解得x＝1，‎ 把x＝1代入②得，1+y＝2，解得y＝1，‎ 22‎ ‎∴x2﹣2y2＝12﹣2×12＝1﹣2＝﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了二元一次方程组解的定义．以及解二元一次方程组的基本方法．正确解关于x、y的方程组是关键．‎ ‎4．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是 ‎（　　）‎ A．95° B．100° C．105° D．110°‎ ‎【分析】根据题意求出∠2、∠4，根据对顶角的性质、三角形的外角性质计算即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，∠2＝45°，∠4＝90°﹣30°＝60°，‎ ‎∴∠3＝∠2＝45°，‎ 由三角形的外角性质可知，∠1＝∠3+∠4＝105°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．‎ ‎5．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，再解方程﹣x2+4x﹣4＝0得抛物线与x轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断．‎ 22‎ ‎【解答】解：当x＝0时，y＝﹣x2+4x﹣4＝﹣4，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣4），‎ 当y＝0时，﹣x2+4x﹣4＝0，解得x1＝x2＝2，抛物线与x轴的交点坐标为（2，0），‎ 所以抛物线与坐标轴有2个交点．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．‎ ‎6．不等式组的解集为（　　）‎ A．﹣＜x＜0 B．﹣＜x≤0 C．﹣≤x＜0 D．﹣≤x≤0‎ ‎【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．‎ ‎【解答】解：，‎ 解①得：x≥﹣，‎ 解②得x＜0，‎ 则不等式组的解集为﹣≤x＜0．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了解一元一次不等式组，根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，‎ ‎7．投掷一枚质地均匀的骰子两次，向上一面的点数依次记为a，b．那么方程x2+ax+b＝0有解的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的结果数，然后根据概率公式求解．‎ ‎【解答】解：画树状图为：‎ 22‎ 共有36种等可能的结果数，其中使a2﹣4b≥0，即a2≥4b的有19种，‎ ‎∴方程x2+ax+b＝0有解的概率是，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．‎ ‎8．欣欣服装店某天用相同的价格a（a＞0）卖出了两件服装，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是（　　）‎ A．盈利 B．亏损 ‎ C．不盈不亏 D．与售价a有关 ‎【分析】设第一件衣服的进价为x元，依题意得：x（1+20%）＝a，设第二件衣服的进价为y元，依题意得：y（1﹣20%）＝a，得出x（1+20%）＝y（1﹣20%），整理得：3x＝2y，则两件衣服总的盈亏就可求出．‎ ‎【解答】解：设第一件衣服的进价为x元，‎ 依题意得：x（1+20%）＝a，‎ 设第二件衣服的进价为y元，‎ 依题意得：y（1﹣20%）＝a，‎ ‎∴x（1+20%）＝y（1﹣20%），‎ 整理得：3x＝2y，‎ 该服装店卖出这两件服装的盈利情况为：0.2x﹣0.2y＝0.2x﹣0.3x＝﹣0.1x，‎ 即赔了0.1x元，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意，列方程求出两件衣服的进价故选，进而求出总盈亏．‎ ‎9．如果函数y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b 22‎ 应满足的条件是（　　）‎ A．k≥0且b≤0 B．k＞0且b≤0 C．k≥0且b＜0 D．k＞0且b＜0‎ ‎【分析】结合题意，分k＝0和k＞0两种情况讨论，即可求解；‎ ‎【解答】解：∵y＝kx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，‎ 当k＝0，b＜0时成立；‎ 当k＞0，b≤0时成立；‎ 综上所述，k≥0，b≤0；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查函数图象及性质；正确理解题意中给的函数确定k＝0和k≠0有两种情况是解题的关键．‎ ‎10．如图，Rt△OCB的斜边在y轴上，OC＝，含30°角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限，将Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，则B点的对应点B′的坐标是 ‎（　　）‎ A．（，﹣1） B．（1，﹣） C．（2，0） D．（，0）‎ ‎【分析】如图，利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC＝1，再利用旋转的性质得到OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，然后利用第四象限点的坐标特征写出点B′的坐标．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 在Rt△OCB中，∵∠BOC＝30°，‎ ‎∴BC＝OC＝×＝1，‎ ‎∵Rt△OCB绕原点顺时针旋转120°后得到△OC′B'，‎ ‎∴OC′＝OC＝，B′C′＝BC＝1，∠B′C′O＝∠BCO＝90°，‎ ‎∴点B′的坐标为（，﹣1）．‎ 故选：A．‎ 22‎ ‎【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．‎ ‎11．下列运算不正确的是（　　）‎ A．xy+x﹣y﹣1＝（x﹣1）（y+1） ‎ B．x2+y2+z2+xy+yz+zx＝（x+y+z）2 ‎ C．（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3 ‎ D．（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3‎ ‎【分析】根据分组分解法因式分解、多项式乘多项式的法则进行计算，判断即可．‎ ‎【解答】解：xy+x﹣y﹣1＝x（y+1）﹣（y+1）＝（x﹣1）（y+1），A正确，不符合题意；‎ x2+y2+z2+xy+yz+zx＝ [（x+y）2+（x+z）2+（y+z）2]，B错误，符合题意；‎ ‎（x+y）（x2﹣xy+y2）＝x3+y3，C正确，不符合题意；‎ ‎（x﹣y）3＝x3﹣3x2y+3xy2﹣y3，D正确，不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查的是因式分解、多项式乘多项式，掌握它们的一般步骤、运算法则是解题的关键．‎ ‎12．如图，△ABC内心为I，连接AI并延长交△ABC的外接圆于D，则线段DI与DB的关系是（　　）‎ A．DI＝DB B．DI＞DB C．DI＜DB D．不确定 ‎【分析】连接BI，如图，根据三角形内心的性质得∠1＝∠2，∠5＝∠‎ 22‎ ‎6，再根据圆周角定理得到∠3＝∠1，然后利用三角形外角性质和角度的代换证明∠4＝∠DBI，从而可判断DI＝DB．‎ ‎【解答】解：连接BI，如图，‎ ‎∵△ABC内心为I，‎ ‎∴∠1＝∠2，∠5＝∠6，‎ ‎∵∠3＝∠1，‎ ‎∴∠3＝∠2，‎ ‎∵∠4＝∠2+∠6＝∠3+∠5，‎ 即∠4＝∠DBI，‎ ‎∴DI＝DB．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆和圆周角定理．‎ 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。‎ ‎13．计算+|sin30°﹣π0|+＝　1﹣　．‎ ‎【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、立方根的性质分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：原式＝2﹣+1﹣﹣‎ ‎＝1﹣．‎ 故答案为：1﹣．‎ ‎【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．‎ ‎14．已知x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，则k的值为　1　．‎ 22‎ ‎【分析】根据根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△＞0，可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而即可确定k值，此题得解．‎ ‎【解答】解：∵x1，x2是关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个实数根，‎ ‎∴x1+x2＝﹣（3k+1），x1x2＝2k2+1．‎ ‎∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝8k2，‎ ‎∴2k2+1+3k+1+1＝8k2，‎ 整理，得：2k2﹣k﹣1＝0，‎ 解得：k1＝﹣，k2＝1．‎ ‎∵关于x的方程x2+（3k+1）x+2k2+1＝0的两个不相等实数根，‎ ‎∴△＝（3k+1）2﹣4×1×（2k2+1）＞0，‎ 解得：k＜﹣3﹣2或k＞﹣3+2，‎ ‎∴k＝1．‎ 故答案为：1．‎ ‎【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，利用根与系数的关系结合（x1﹣1）（x2﹣1）＝8k2，求出k值是解题的关键．‎ ‎15．如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM＝2MA，若AB＝3，那么点N的横坐标为　　．‎ ‎【分析】根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．‎ ‎【解答】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，‎ ‎∵△AOB是等边三角形，‎ 22‎ ‎∴AB＝OA＝OB＝3，∠AOB＝60°‎ ‎∵又OM＝2MA，‎ ‎∴OM＝2，MA＝1，‎ 在Rt△MOD中，‎ OD＝OM＝1，MD＝，‎ ‎∴M（1，）；‎ ‎∴反比例函数的关系式为：y＝‎ 在Rt△MOD中，‎ OC＝OA＝，AC＝，‎ ‎∴A（，），‎ 设直线AB的关系式为y＝kx+b，把A（，），B（3，0）代入得：‎ ‎ 解得：k＝﹣，b＝，‎ ‎∴y＝x+；‎ 由题意得： 解得：x＝，‎ ‎∵x＞，‎ ‎∴x＝，‎ 故点N的横坐标为：‎ ‎【点评】考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的x的值．‎ 22‎ ‎16．如图，等边三角形ABC的边长为2，以A为圆心，1为半径作圆分别交AB，AC边于D，E，再以点C为圆心，CD长为半径作圆交BC边于F，连接E，F，那么图中阴影部分的面积为　+﹣　．‎ ‎【分析】过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，根据等边三角形的性质得到AM＝BC＝×2＝，求得EN＝AM＝，根据三角形的面积和扇形的面积公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：过A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N，‎ ‎∵等边三角形ABC的边长为2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，‎ ‎∴AM＝BC＝×2＝，‎ ‎∵AD＝AE＝1，‎ ‎∴AD＝BD，AE＝CE，‎ ‎∴EN＝AM＝，‎ ‎∴图中阴影部分的面积＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF）＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣）＝+﹣，‎ 故答案为： +﹣．‎ ‎【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎17．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的顶点为P，且抛物线经过点A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）（1＜m＜3，n＜0），下列结论：‎ 22‎ ‎①abc＞0，‎ ‎②3a+c＜0，‎ ‎③a（m﹣1）+2b＞0，‎ ‎④a＝﹣1时，存在点P使△PAB为直角三角形．‎ 其中正确结论的序号为　②③　．‎ ‎【分析】由已知可以确定a＜0，b＞0，c＝b﹣a＞0；‎ ‎①abc＜0；‎ ‎②当x＝3时，y＜0，即9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0；‎ ‎③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0；‎ ‎④a＝﹣1时，P（，b+1+），则△PAB为等腰直角三角形，b+1+＝+1，求出k＝﹣2不合题意；‎ ‎【解答】解：将A（﹣1，0），B（m，0），C（﹣2，n）代入解析式y＝ax2+bx+c，‎ ‎∴对称轴x＝，‎ ‎∴﹣＝m﹣1，‎ ‎∵1＜m＜3，‎ ‎∴ab＜0，‎ ‎∵n＜0，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∴b＞0，‎ ‎∵a﹣b+c＝0，‎ ‎∴c＝b﹣a＞0‎ ‎①abc＜0；错误；‎ ‎②当x＝3时，y＜0，‎ ‎∴9a+3b+c＝9a+3（a+c）+c＝12a+4c＝4（3a+c）＜0，②正确；‎ ‎③a（m﹣1）+2b＝﹣b+2b＝b＞0，③正确；‎ ‎④a＝﹣1时，y＝﹣x2+bx+c，‎ ‎∴P（，b+1+），‎ 若△PAB为直角三角形，则△PAB为等腰直角三角形，‎ 22‎ ‎∴AP的直线解析式的k＝1，‎ ‎∴b+1+＝+1，‎ ‎∴b＝﹣2，‎ ‎∵b＞0，‎ ‎∴不存在点P使△PAB为直角三角形．‎ ‎④错误；‎ 故答案为②③；‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象及性质；能够熟练掌握二次函数的图象，根据给出的点判断函数系数a，b，c的取值情况是解题的关键．‎ 三、解答题：共69分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（8分）先化简，再求值：（）2•﹣÷，其中a＝，b＝．‎ ‎【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a、b的值代入进行计算即可．‎ ‎【解答】解：原式＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 当a＝，b＝时，‎ 原式＝．‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．‎ ‎19．（9分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．‎ ‎（1）求平行四边形ABCD的面积；‎ ‎（2）求证：BD⊥BC．‎ 22‎ ‎【分析】（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，设BE＝x，由勾股定理列出关于x的方程，解方程求出平行四边形的高，进而即可求出其面积；‎ ‎（2）利用全等三角形的判定与性质得出AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝，从而求出BD的长，在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直．‎ ‎【解答】解：（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：‎ 设BE＝x，CE＝h 在Rt△CEB中：x2+h2＝9①‎ 在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②‎ 联立①②解得：x＝，h＝‎ ‎∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；‎ ‎（2）作DF⊥AB，垂足为F ‎∴∠DFA＝∠CEB＝90°‎ ‎∵平行四边形ABCD ‎∴AD＝BC，AD∥BC ‎∴∠DAF＝∠CBE 又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC ‎∴△ADF≌△BCE（AAS）‎ ‎∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝‎ 在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16‎ ‎∴BD＝4‎ ‎∵BC＝3，DC＝5‎ ‎∴CD2＝DB2+BC2‎ ‎∴BD⊥BC．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．‎ 22‎ ‎20．（10分）高尔基说：“书，是人类进步的阶梯．”阅读可以丰富知识、拓展视野、充实生活等诸多益处．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的情况，并绘制出如下统计图，其中条形统计图因为破损丢失了阅读5册书数的数据．‎ ‎（1）求条形图中丢失的数据，并写出阅读书册数的众数和中位数；‎ ‎（2）根据随机抽查的这个结果，请估计该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数；‎ ‎（3）若学校又补查了部分同学的课外阅读情况，得知这部分同学中课外阅读最少的是6册，将补查的情况与之前的数据合并后发现中位数并没有改变，试求最多补查了多少人？‎ ‎【分析】（1）设阅读5册书的人数为x，由统计中的信息列式计算即可；‎ ‎（2）该校1200名学生数×课外阅读5册书的学生人数占抽查了学生的百分比即可得到结论；‎ ‎（3）设补查了y人，根据题意列不等式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）设阅读5册书的人数为x，由统计图可知：＝30%，‎ ‎∴x＝14，‎ ‎∴条形图中丢失的数据是14，阅读书册数的众数是5，中位数是5；‎ ‎（2）该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数为1200×＝420（人），‎ 答：该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数是420人；‎ ‎（3）设补查了y人，‎ 根据题意得，12+6+y＜8+14，‎ ‎∴y＜4，‎ ‎∴最多补查了3人．‎ ‎【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎21．（10分）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．‎ 22‎ ‎（1）求证：＝2R；‎ ‎（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝，求BC的长及sinC的值．‎ ‎【分析】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，于是得到∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，根据三角函数的定义即可得到结论；‎ ‎（2）由＝2R，同理可得： ＝2R，于是得到2R＝＝2，即可得到BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，如图2，过C作CE⊥AB于E，解直角三角形即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，‎ 则∠CD＝90°，∠ABC＝∠ADC，‎ ‎∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝，‎ ‎∴＝2R；‎ ‎（2）∵＝2R，‎ 同理可得： ＝2R，‎ ‎∴2R＝＝2，‎ ‎∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝，‎ 如图2，过C作CE⊥AB于E，‎ ‎∴BE＝BC•cosB＝cos60°＝，AE＝AC•cos45°＝，‎ ‎∴AB＝AE+BE＝，‎ ‎∵AB＝AR•sinC，‎ ‎∴sinC＝＝．‎ 22‎ ‎【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎22．（10分）如图，为了测量一栋楼的高度OE，小明同学先在操场上A处放一面镜子，向后退到B处，恰好在镜子中看到楼的顶部E；再将镜子放到C处，然后后退到D处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E（O，A，B，C，D在同一条直线上），测得AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度BF，DG为1.6m，试确定楼的高度OE．‎ ‎【分析】设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，连接GF并延长交OE于点H，根据GF∥AC得到△MAC∽△MFG，利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可．‎ ‎【解答】‎ 解：设E关于O的对称点为M，由光的反射定律知，延长GC、FA相交于点M，‎ 连接GF并延长交OE于点H，‎ ‎∵GF∥AC，‎ ‎∴△MAC∽△MFG，‎ 22‎ ‎∴，‎ 即：，‎ ‎∴，‎ ‎∴OE＝32，‎ 答：楼的高度OE为32米．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．‎ ‎23．（10分）为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m（元/公斤）与第x天之间满足m＝（x为正整数），销售量n（公斤）与第x天之间的函数关系如图所示：‎ 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元．‎ ‎（1）求销售量n与第x天之间的函数关系式；‎ ‎（2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式；（日销售利润＝日销售额﹣日维护费）‎ ‎（3）求日销售利润y的最大值及相应的x．‎ 22‎ ‎【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．‎ ‎（1）依据题意利用待定系数法易求得销售量n与第x天之间的函数关系式，‎ ‎（2）然后根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润y与第x天之间的函数关系式，‎ ‎（3）再依据函数的增减性求得最大利润．‎ ‎【解答】解：‎ ‎（1）当1≤x≤10时，设n＝kx+b，由图知可知 ‎，解得 ‎∴n＝2x+10‎ 同理得，当10＜x≤30时，n＝﹣1.4x+44‎ ‎∴销售量n与第x天之间的函数关系式：n＝‎ ‎（2）∵y＝mn﹣80‎ ‎∴y＝‎ 整理得，y＝‎ ‎（3）当1≤x≤10时，‎ ‎∵y＝6x2+60x+70的对称轴x＝＝＝﹣5‎ ‎∴此时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大 ‎∴x＝10时，y取最大值，则y10＝1270‎ 当10＜x＜15时 ‎∵y＝﹣4.2x2+111x+580的对称轴是x＝﹣＝＝≈13.2＜13.5‎ ‎∴x在x＝13时，y取得最大值，此时y＝1313.2‎ 当15≤x≤30时 ‎∵y＝1.4x2﹣149x+3220的对称轴为x＝＝＞30‎ ‎∴此时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小 22‎ ‎∴x＝15时，y取最大值，y的最大值是y15＝1300‎ 综上，草莓销售第13天时，日销售利润y最大，最大值是1313.2元 ‎【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x＝时取得．‎ ‎24．（12分）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；‎ ‎（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）‎ ‎【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，故可设其顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1，再把点C（0，3）代入即求得a的值，进而得到抛物线解析式．‎ ‎（2）把抛物线解析式与直线y＝x﹣1联立方程组，解方程组求得点A、B坐标，画出抛物线和直线草图．由图可知，△QAB、△MAB、△NAB以AB为公共底时，高相等才有面积相等．假设M、N在直线AB上方的抛物线上，只要MN∥AB，根据平行线间距离处处相等，则一定有S△MAB＝S△NAB＝S；当点Q在直线AB下方且只有唯一的点Q满足S△QAB＝S，则Q到AB距离取最大值．过点Q分别作y轴平行线QC，作直线AB垂线QD，易证△CDQ为等腰直角三角形，故CQ取得最大值时，DQ也最大．设点Q横坐标为t，用t表示CQ的长并配方求得最大值，进而求得DQ最大值，再用S＝S△QAB＝AB•DQ求得S的值．‎ ‎（3）由∠APB＝90°，根据勾股定理有AP2+BP2＝AB2，设点P横坐标为p，根据两点间距离公式用p表示AP2、BP2，列得关于p的一元四次方程．化简并对式子进行因式分解，由1＜p＜4可进行两次约公因式达到降次效果，最终得到关于p的一元二次方程，求得的解有一个满足p的范围，即存在满足的点P．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1）‎ ‎∴顶点式为y＝a（x﹣2）2﹣1‎ 22‎ ‎∵抛物线经过点C（0，3）‎ ‎∴4a﹣1＝3‎ 解得：a＝1‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1＝x2﹣4x+3‎ ‎（2） 解得：，‎ ‎∴A（1，0），B（4，3）‎ ‎∴AB＝‎ 设直线y＝x﹣1与y轴交于点E，则E（0，﹣1）‎ ‎∴OA＝OE＝1‎ ‎∴∠AEO＝45°‎ ‎∵S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S ‎∴点Q、M、N到直线AB的距离相等 如图，假设点M、N在直线AB上方，点Q在直线AB下方 ‎∴MN∥AB时，总有S△MAB＝S△NAB＝S 要使只有一个点Q在直线AB下方满足S△QAB＝S，则Q到AB距离必须最大 过点Q作QC∥y轴交AB于点C，QD⊥AB于点D ‎∴∠CDQ＝90°，∠DCQ＝∠AEO＝45°‎ ‎∴△CDQ是等腰直角三角形 ‎∴DQ＝CQ 设Q（t，t2﹣4t+3）（1＜t＜4），则C（t，t﹣1）‎ ‎∴CQ＝t﹣1﹣（t2﹣4t+3）＝﹣t2+5t﹣4＝﹣（t﹣）2+‎ ‎∴t＝时，CQ最大值为 ‎∴DQ最大值为 ‎∴S＝S△QAB＝AB•DQ＝‎ ‎（3）存在点P满足∠APB＝90°．‎ 22‎ ‎∵∠APB＝90°，AB＝3‎ ‎∴AP2+BP2＝AB2‎ 设P（p，p2﹣4p+3）（1＜p＜4）‎ ‎∴AP2＝（p﹣1）2+（p2﹣4p+3）2＝p4﹣8p3+23p2﹣26p+10，BP2＝（p﹣4）2+（p2﹣4p+3﹣3）2＝p4﹣8p3+17p2﹣8p+16‎ ‎∴p4﹣8p3+23p2﹣26p+10+p4﹣8p3+17p2﹣8p+16＝（3）2‎ 整理得：p4﹣8p3+20p2﹣17p+4＝0‎ p2（p2﹣8p+16）+4p2﹣17p+4＝0‎ p2（p﹣4）2+（4p﹣1）（p﹣4）＝0‎ ‎（p﹣4）[p2（p﹣4）+（4p﹣1）]＝0‎ ‎∵p＜4‎ ‎∴p﹣4≠0‎ ‎∴p2（p﹣4）+（4p﹣1）＝0‎ 展开得：p3﹣4p2+4p﹣1＝0‎ ‎（p3﹣1）﹣（4p2﹣4p）＝0‎ ‎（p﹣1）（p2+p+1）﹣4p（p﹣1）＝0‎ ‎（p﹣1）（p2+p+1﹣4p）＝0‎ ‎∵p＞1‎ ‎∴p﹣1≠0‎ ‎∴p2+p+1﹣4p＝0‎ 解得：p1＝，p2＝（舍去）‎ ‎∴点P横坐标为时，满足∠APB＝90°．‎ ‎【点评】‎ 22‎ 本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数最值，一元二次方程的解法，平行线间距离处处相等，勾股定理，因式分解．第（2）题的解题关键是理解题意并转化为求线段最值问题；第（3）题的解题关键是列得关于p的一元四次方程后要有技巧地进行因式分解，通过约去公因式达到降次的效果再解方程．‎ 22‎