贵州省贵阳市2019年中考数学真题试题（含解析）.doc

1 2019 年贵州省贵阳市中考数学试卷 一、选择题：以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅 笔在答题卡相应位置作答，每小题 3 分，共 30 分 1．（3 分）32 可表示为（　　） A．3×2 B．2×2×2 C．3×3 D．3+3 2．（3 分）如图是由 4 个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　） A． B． C． D． 3．（3 分）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（　　） A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式 C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式 4．（3 分）如图，菱形 ABCD 的周长是 4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线 AC 的长是 （　　） A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm2 5．（3 分）如图，在 3×3 的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰 1 个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分 的图形是轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 7．（3 分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国 APP”在一天中各项目学习时间的统 计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判 断中，正确的是（　　） A．甲比乙大 B．甲比乙小 C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较 8．（3 分）数轴上点 A，B，M 表示的数分别是 a，2a，9，点 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值 是（　　）3 A．3 B．4.5 C．6 D．18 9．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 AB 于点 B 和 点 D，再分别以点 B，D 为圆心，大于 BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M，作射线 CM 交 AB 于点 E．若 AE＝2，BE＝1，则 EC 的长度是（　　） A．2 B．3 C． D． 10．（3 分）在平面直角坐标系内，已知点 A（﹣1，0），点 B（1，1）都在直线 y＝ x+ 上， 若抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（　　） A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜ 或 a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 二、填空题：每小题 4 分，共 20 分。 11．（4 分）若分式 的值为 0，则 x 的值是　 　． 12．（4 分）在平面直角坐标系内，一次函数 y＝k1x+b1 与 y＝k2x+b2 的图象如图所示，则关 于 x，y 的方程组 的解是　 　．4 13．（4 分）一个袋中装有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意 摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 m 与 n 的关系是　 　． 14．（4 分）如图，用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草， 若 OA＝2，则四叶幸运草的周长是　 　． 15．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，∠DCA＝30°，点 F 是对角线 AC 上的一个动点， 连接 DF，以 DF 为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，点 E 的运动路径长是　 　． 三、解答题：本大题 10 小题，共 100 分. 16．（8 分）如图是一个长为 a，宽为 b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为 1，且底边 在矩形对边上的平行四边形． （1）用含字母 a，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积； （2）当 a＝3，b＝2 时，求矩形中空白部分的面积．5 17．（10 分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁 毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁 毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级 20 名学 生在 5 月份测评的成绩，数据如下： 收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88 （1）根据上述数据，将下列表格补充完整． 整理、描述数据： 成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2 1 　 　3 2 1 　 　2 1 数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表 平均数 众数 中位数 93 　 　 91 得出结论： （2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前 50%的学生为“良好”等次，你认为“良 好”等次的测评成绩至少定为　 　分． 数据应用： （3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前 30%的学生“禁毒小卫士”荣誉 称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由． 18．（10 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 BD． （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）若 DA＝DB＝2，cosA＝ ，求点 B 到点 E 的距离． 19．（10 分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某 校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一 名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生 被录用的机会相等6 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是　 　： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和 一名历史本科生的概率． 20．（10 分）某文具店最近有 A，B 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一 周 A 款销售数量是 15 本，B 款销售数量是 10 本，销售总价是 230 元；第二周 A 款销售数 量是 20 本，B 款销售数量是 10 本，销售总价是 280 元． （1）求 A，B 两款毕业纪念册的销售单价； （2）若某班准备用不超过 529 元购买这两种款式的毕业纪念册共 60 本，求最多能够买 多少本 A 款毕业纪念册． 21．（8 分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 OP 为下 水管道口直径，OB 为可绕转轴 O 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可 排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀 门的直径 OB＝OP＝100cm，OA 为检修时阀门开启的位置，且 OA＝OB． （1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围； （2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 OB 位置时，在点 A 处测得俯角∠CAB＝ 67.5°，若此时点 B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留 小数点后一位） （ ＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝ 0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41） 22．（10 分）如图，已知一次函数 y＝﹣2x+8 的图象与坐标轴交于 A，B 两点，并与反比例 函数 y＝ 的图象相切于点 C． （1）切点 C 的坐标是　 　； （2）若点 M 为线段 BC 的中点，将一次函数 y＝﹣2x+8 的图象向左平移 m（m＞0）个单位7 后，点 C 和点 M 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 y＝ 的图象上时，求 k 的 值． 23．（10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 是⊙O 上一点，连接 OP，点 A 关于 OP 的对 称点 C 恰好落在⊙O 上． （1）求证：OP∥BC； （2）过点 C 作⊙O 的切线 CD，交 AP 的延长线于点 D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的 直径． 24．（12 分）如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， 且关于直线 x＝1 对称，点 A 的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，若点 P 在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15°，求线段 CP 的长度； （3）当 a≤x≤a+1 时，二次函数 y＝x2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值． 25．（12 分）（1）数学理解：如图①，△ABC 是等腰直角三角形，过斜边 AB 的中点 D 作正方8 形 DECF，分别交 BC，AC 于点 E，F，求 AB，BE，AF 之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC 内，找一点 D，过点 D 作正方形 DECF，分别 交 BC，AC 于点 E，F，若 AB＝BE+AF，求∠ADB 的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 ED，FD，交 AB 于点 M，N，求 MN， AM，BN 的数量关系．9 2019 年贵州省贵阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用 2B 铅 笔在答题卡相应位置作答，每小题 3 分，共 30 分 1．（3 分）32 可表示为（　　） A．3×2 B．2×2×2 C．3×3 D．3+3 【分析】直接利用有理数乘方的意义分析得出答案． 【解答】解：32 可表示为：3×3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了有理数的乘方，正确把握有理数的乘方定义是解题关键． 2．（3 分）如图是由 4 个相同的小立方体搭成的几何体，则它的主视图是（　　） A． B． C． D． 【分析】主视图有 2 列，每列小正方形数目分别为 1，2． 【解答】解：如图所示：它的主视图是： ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．10 3．（3 分）选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是（　　） A．运用多项式乘多项式法则 B．运用平方差公式 C．运用单项式乘多项式法则 D．运用完全平方公式 【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 【解答】解：选择计算（﹣4xy2+3x2y）（4xy2+3x2y）的最佳方法是：运用平方差公式． 故选：B． 【点评】此题主要考查了多项式乘法，正确应用公式是解题关键． 4．（3 分）如图，菱形 ABCD 的周长是 4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线 AC 的长是 （　　） A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm 【分析】由于四边形ABCD 是菱形，AC 是对角线，根据∠ABC＝60°，而 AB＝BC，易证△ BAC 是等边三角形，从而可求 AC 的长． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，AC 是对角线， ∴AB＝BC＝CD＝AD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵菱形 ABCD 的周长是 4cm， ∴AB＝BC＝AC＝1cm． 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角， 解题的关键是证明△ABC 是等边三角形． 5．（3 分）如图，在 3×3 的正方形网格中，有三个小正方形己经涂成灰色，若再任意涂灰 111 个白色的小正方形（每个白色的小正方形被涂成灰色的可能性相同），使新构成灰色部分 的图形是轴对称图形的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【解答】解：如图所示：当 1，2 两个分别涂成灰色，新构成灰色部分的图形是轴对称图 形， 故新构成灰色部分的图形是轴对称图形的概率是： ＝ ． 故选：D． 【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关 键． 6．（3 分）如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，连接 BD．则∠CBD 的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】根据正六边形的内角和求得∠BCD，然后根据等腰三角形的性质即可得到结 论． 【解答】解：∵在正六边形 ABCDEF 中，∠BCD＝ ＝120°，BC＝CD， ∴∠CBD＝ （180°﹣120°）＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查的是正多边形和圆、等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟记多边12 形的内角和是解题的关键． 7．（3 分）如图，下面是甲乙两位党员使用“学习强国 APP”在一天中各项目学习时间的统 计图，根据统计图对两人各自学习“文章”的时间占一天总学习时间的百分比作出的判 断中，正确的是（　　） A．甲比乙大 B．甲比乙小 C．甲和乙一样大 D．甲和乙无法比较 【分析】由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是 20%，再由条形统计图求出 甲党员学习文章的百分比，进行比较即可． 【解答】解：由扇形统计图可知，乙党员学习文章时间的百分比是 20%， 由条形统计图求出甲党员学习文章的百分比是 15÷（15+30+10+5）＝25%， 所以甲党员的百分比比乙党员的百分比大． 故选：A． 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统 计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据； 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 8．（3 分）数轴上点 A，B，M 表示的数分别是 a，2a，9，点 M 为线段 AB 的中点，则 a 的值 是（　　） A．3 B．4.5 C．6 D．18 【分析】根据题意列方程即可得到结论． 【解答】解：∵数轴上点 A，B，M 表示的数分别是 a，2a，9，点 M 为线段 AB 的中点， ∴9﹣a＝2a﹣9，13 解得：a＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了两点间的距离：两点间的连线段长叫这两点间的距离．也考查了数 轴． 9．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以点 C 为圆心，CB 长为半径画弧，交 AB 于点 B 和 点 D，再分别以点 B，D 为圆心，大于 BD 长为半径画弧，两弧相交于点 M，作射线 CM 交 AB 于点 E．若 AE＝2，BE＝1，则 EC 的长度是（　　） A．2 B．3 C． D． 【分析】利用基本作图得到 CE⊥AB，再根据等腰三角形的性质得到 AC＝3，然后利用勾 股定理计算 CE 的长． 【解答】解：由作法得 CE⊥AB，则∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在 Rt△ACE 中，CE＝ ＝ ． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段； 作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知 直线的垂线）． 10．（3 分）在平面直角坐标系内，已知点 A（﹣1，0），点 B（1，1）都在直线 y＝ x+ 上， 若抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段 AB 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（　　）14 A．a≤﹣2 B．a＜ C．1≤a＜ 或 a≤﹣2 D．﹣2≤a＜ 【分析】分 a＞0，a＜0 两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求 a 的取值范围． 【解答】解：∵抛物线 y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段 AB 有两个不同的交点， ∴令 x+ ＝ax2﹣x+1，则 2ax2﹣3x+1＝0 ∴△＝9﹣8a＞0 ∴a＜ ①当 a＜0 时， 解得：a≤﹣2 ∴a≤﹣2 ②当 a＞0 时， 解得：a≥1 ∴1≤a＜ 综上所述：1≤a＜ 或 a≤﹣2 故选：C． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函 数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 二、填空题：每小题 4 分，共 20 分。 11．（4 分）若分式 的值为 0，则 x 的值是　2　． 【分析】直接利用分式为零的条件分析得出答案．15 【解答】解：∵分式 的值为 0， ∴x2﹣2x＝0，且 x≠0， 解得：x＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键． 12．（4 分）在平面直角坐标系内，一次函数 y＝k1x+b1 与 y＝k2x+b2 的图象如图所示，则关 于 x，y 的方程组 的解是　 　． 【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【解答】解：∵一次函数 y＝k1x+b1 与 y＝k2x+b2 的图象的交点坐标为（2，1）， ∴关于 x，y 的方程组 的解是 ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次 函数图象的交点坐标． 13．（4 分）一个袋中装有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意 摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么 m 与 n 的关系是　m+n＝ 10　． 【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案． 【解答】解：∵一个袋中装有 m 个红球，10 个黄球，n 个白球，摸到黄球的概率与不是 黄球的概率相同， ∴m 与 n 的关系是：m+n＝10． 故答案为：m+n＝10．16 【点评】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键． 14．（4 分）如图，用等分圆的方法，在半径为 OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草， 若 OA＝2，则四叶幸运草的周长是　8π　． 【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为 4 个半圆的弧长＝2 个圆的周长，由圆的周长 公式即可得出结果． 【解答】解：由题意得：四叶幸运草的周长为 4 个半圆的弧长＝2 个圆的周长， ∴四叶幸运草的周长＝2×2π×2＝8π； 故答案为：8π． 【点评】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸 运草的周长＝2 个圆的周长是解题的关键． 15．（4 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，∠DCA＝30°，点 F 是对角线 AC 上的一个动点， 连接 DF，以 DF 为斜边作∠DFE＝30°的直角三角形 DEF，使点 E 和点 A 位于 DF 两侧，点 F 从点 A 到点 C 的运动过程中，点 E 的运动路径长是　 　． 【分析】当F 与 A 点重合时和 F 与 C 重合时，根据 E 的位置，可知 E 的运动路径是 EE'的 长；由已知条件可以推导出△DEE'是直角三角形，且∠DEE'＝30°，在 Rt△ADE'中，求 出 DE'＝ 即可求解． 【解答】解：E 的运动路径是 EE'的长； ∵AB＝4，∠DCA＝30°， ∴BC＝ ， 当 F 与 A 点重合时， 在 Rt△ADE'中，AD＝ ，∠DAE'＝30°，∠ADE'＝60°，17 ∴DE'＝ ，∠CDE'＝30°， 当 F 与 C 重合时，∠EDC＝60°， ∴∠EDE'＝90°，∠DEE'＝30°， 在 Rt△DEE'中，EE'＝ ； 故答案为 ． 【点评】本题考查点的轨迹；能够根据E 点的运动情况，分析出 E 点的运动轨迹是线段， 在 30 度角的直角三角形中求解是关键． 三、解答题：本大题 10 小题，共 100 分. 16．（8 分）如图是一个长为 a，宽为 b 的矩形，两个阴影图形都是一对底边长为 1，且底边 在矩形对边上的平行四边形． （1）用含字母 a，b 的代数式表示矩形中空白部分的面积； （2）当 a＝3，b＝2 时，求矩形中空白部分的面积． 【分析】（1）空白区域面积＝矩形面积﹣两个阴影平行四边形面积+中间重叠平行四边形 面积； （2）将 a＝3，b＝2 代入（1）中即可； 【解答】解：（1）S＝ab﹣a﹣b+1；18 （2）当 a＝3，b＝2 时，S＝6﹣3﹣2+1＝2； 【点评】本题考查阴影部分面积，平行四边形面积，代数式求值；能够准确求出阴影部 分面积是解题的关键． 17．（10 分）为了提高学生对毒品危害性的认识，我市相关部门每个月都要对学生进行“禁 毒知识应知应会”测评．为了激发学生的积极性，某校对达到一定成绩的学生授予“禁 毒小卫士”的荣誉称号．为了确定一个适当的奖励目标，该校随机选取了七年级 20 名学 生在 5 月份测评的成绩，数据如下： 收集数据：90 91 89 96 90 98 90 97 91 98 99 97 91 88 90 97 95 90 95 88 （1）根据上述数据，将下列表格补充完整． 整理、描述数据： 成绩/分 88 89 90 91 95 96 97 98 99 学生人数 2 1 　5　 3 2 1 　3　 2 1 数据分析：样本数据的平均数、众数和中位数如下表 平均数 众数 中位数 93 　90　 91 得出结论： （2）根据所给数据，如果该校想确定七年级前 50%的学生为“良好”等次，你认为“良 好”等次的测评成绩至少定为　91　分． 数据应用： （3）根据数据分析，该校决定在七年级授予测评成绩前 30%的学生“禁毒小卫士”荣誉 称号，请估计评选该荣誉称号的最低分数，并说明理由． 【分析】（1）由题意即可得出结果； （2）由 20×50%＝10，结合题意即可得出结论； （3）由 20×30%＝6，即可得出结论． 【解答】解：（1）由题意得：90 分的有 5 个；97 分的有 3 个； 出现次数最多的是 90 分， ∴众数是 90 分； 故答案为：5；3；90；19 （2）20×50%＝10， 如果该校想确定七年级前 50%的学生为“良好”等次，则“良好”等次的测评成绩至少定 为 91 分； 故答案为：91； （3）估计评选该荣誉称号的最低分数为 97 分；理由如下： ∵20×30%＝6， ∴估计评选该荣誉称号的最低分数为 97 分． 【点评】本题考查了众数、中位数、用样本估计总体等知识；熟练掌握众数、中位数、 用样本估计总体是解题的关键． 18．（10 分）如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 BD． （1）求证：四边形 BCED 是平行四边形； （2）若 DA＝DB＝2，cosA＝ ，求点 B 到点 E 的距离． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，等量代换得到 DE＝BC，DE∥ BC，于是得到四边形 BCED 是平行四边形； （2）连接 BE，根据已知条件得到 AD＝BD＝DE＝2，根据直角三角形的判定定理得到∠ABE ＝90°，AE＝4，解直角三角形即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵DE＝AD， ∴DE＝BC，DE∥BC， ∴四边形 BCED 是平行四边形； （2）解：连接 BE， ∵DA＝DB＝2，DE＝AD， ∴AD＝BD＝DE＝2， ∴∠ABE＝90°，AE＝4， ∵cosA＝ ，20 ∴AB＝1， ∴BE＝ ＝ ． 【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，直角三角形的判定和性质，三角函数的 定义，证得∠ABE＝90°是解题的关键． 19．（10 分）为落实立德树人的根本任务，加强思改、历史学科教师的专业化队伍建设．某 校计划从前来应聘的思政专业（一名研究生，一名本科生）、历史专业（一名研究生、一 名本科生）的高校毕业生中选聘教师，在政治思想审核合格的条件下，假设每位毕业生 被录用的机会相等 （1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是　 　： （2）若从中录用两人，请用列表或画树状图的方法，求恰好选到的是一名思政研究生和 一名历史本科生的概率． 【分析】（1）由概率公式即可得出结果； （2）设思政专业的一名研究生为 A、一名本科生为 B，历史专业的一名研究生为 C、一名 本科生为 D，画树状图可知：共有 12 个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和 一名历史本科生的结果有 2 个，即可得出结果． 【解答】解：（1）若从中只录用一人，恰好选到思政专业毕业生的概率是 ＝ ； 故答案为： ； （2）设思政专业的一名研究生为 A、一名本科生为 B，历史专业的一名研究生为 C、一名 本科生为 D， 画树状图如图： 共有 12 个等可能的结果，恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的结果有 2 个， ∴恰好选到的是一名思政研究生和一名历史本科生的概率为 ＝ ． 【点评】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意画出树状图是解题的关21 键． 20．（10 分）某文具店最近有 A，B 两款毕业纪念册比较畅销，近两周的销售情况是：第一 周 A 款销售数量是 15 本，B 款销售数量是 10 本，销售总价是 230 元；第二周 A 款销售数 量是 20 本，B 款销售数量是 10 本，销售总价是 280 元． （1）求 A，B 两款毕业纪念册的销售单价； （2）若某班准备用不超过 529 元购买这两种款式的毕业纪念册共 60 本，求最多能够买 多少本 A 款毕业纪念册． 【分析】（1）直接利用第一周A 款销售数量是 15 本，B 款销售数量是 10 本，销售总价是 230 元；第二周 A 款销售数量是 20 本，B 款销售数量是 10 本，销售总价是 280 元，分别 得出方程求出答案； （2）利用不超过 529 元购买这两种款式的毕业纪念册共 60 本，得出不等式求出答案． 【解答】解：（1）设 A 款毕业纪念册的销售为 x 元，B 款毕业纪念册的销售为 y 元，根 据题意可得： ， 解得： ， 答：A 款毕业纪念册的销售为 10 元，B 款毕业纪念册的销售为 8 元； （2）设能够买 a 本 A 款毕业纪念册，则购买 B 款毕业纪念册（60﹣a）本，根据题意可 得： 10a+8（60﹣a）≤529， 解得：a≤24.5， 则最多能够买 24 本 A 款毕业纪念册． 【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出 等量关系是解题关键． 21．（8 分）如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图，图中 OP 为下 水管道口直径，OB 为可绕转轴 O 自由转动的阀门．平时阀门被管道中排出的水冲开，可 排出城市污水；当河水上涨时，阀门会因河水压迫而关闭，以防河水倒灌入城中．若阀 门的直径 OB＝OP＝100cm，OA 为检修时阀门开启的位置，且 OA＝OB． （1）直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围；22 （2）为了观测水位，当下水道的水冲开阀门到达 OB 位置时，在点 A 处测得俯角∠CAB＝ 67.5°，若此时点 B 恰好与下水道的水平面齐平，求此时下水道内水的深度．（结果保留 小数点后一位） （ ＝1.41，sin67.5°＝0.92，cos67.5°＝0.38，tan67.5°＝2.41，sin22.5°＝ 0.38，cos22.5°＝0.92，tan22.5°＝0.41） 【分析】（1）根据题意即可得到结论； （2）根据余角的定义得到∠BAO＝22.5°，根据等腰三角形的性质得到∠BAO＝∠ABO＝ 22.5°，由三角形的外角的性质得到∠BOP＝45°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中∠POB 的取值范围为：90° ≤∠POB≤0°； （2）如图，∵∠CAB＝67.5°， ∴∠BAO＝22.5°， ∵OA＝OB， ∴∠BAO＝∠ABO＝22.5°， ∴∠BOP＝45°， ∵OB＝100， ∴OE＝ OB＝50 ， ∴PE＝OP﹣OE＝100﹣50 ≈29.5cm， 答：此时下水道内水的深度约为 29.5cm．23 【点评】此题考查了考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三 角形．注意方程思想与数形结合思想的应用． 22．（10 分）如图，已知一次函数 y＝﹣2x+8 的图象与坐标轴交于 A，B 两点，并与反比例 函数 y＝ 的图象相切于点 C． （1）切点 C 的坐标是　（2，4）　； （2）若点 M 为线段 BC 的中点，将一次函数 y＝﹣2x+8 的图象向左平移 m（m＞0）个单位 后，点 C 和点 M 平移后的对应点同时落在另一个反比例函数 y＝ 的图象上时，求 k 的 值． 【分析】（1）将一次函数解析式与反比例函数解析式组成方程组，求解即可； （2）先求出点 M 坐标，再求出点 C 和点 M 平移后的对应点的坐标，列出方程可求 m 和 k 的值． 【解答】解：（1）∵一次函数 y＝﹣2x+8 的图象与反比例函数 y＝ 的图象相切于点 C ∴﹣2x+8＝ ∴x＝2， ∴点 C 坐标为（2，4） 故答案为：（2，4）； （2）∵一次函数 y＝﹣2x+8 的图象与坐标轴交于 A，B 两点，24 ∴点 B（4，0） ∵点 M 为线段 BC 的中点， ∴点 M（3，2） ∴点 C 和点 M 平移后的对应点坐标分别为（2﹣m，4），（3﹣m，2） ∴k＝4（2﹣m）＝2（3﹣m） ∴m＝1 ∴k＝4 【点评】本题是反比例函数与一次函数的综合题，一次函数的性质和反比例函数的性质， 由点的坐标在函数图象上列等式可解决问题． 23．（10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 P 是⊙O 上一点，连接 OP，点 A 关于 OP 的对 称点 C 恰好落在⊙O 上． （1）求证：OP∥BC； （2）过点 C 作⊙O 的切线 CD，交 AP 的延长线于点 D．如果∠D＝90°，DP＝1，求⊙O 的 直径． 【分析】（1）由题意可知 ＝ ，根据同弧所对的圆心角相等得到∠AOP＝∠POC＝ ∠ AOC，再根据同弧所对的圆心角和圆周角的关系得出∠ABC＝ ∠AOC，利用同位角相等两 直线平行，可得出 PO 与 BC 平行； （2）由 CD 为圆 O 的切线，利用切线的性质得到 OC 垂直于 CD，又 AD 垂直于 CD，利用平 面内垂直于同一条直线的两直线平行得到 OC 与 AD 平行，根据两直线平行内错角相等得 到∠APO＝∠COP，由∠AOP＝∠COP，等量代换可得出∠APO＝∠AOP，再由 OA＝OP，利用 等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形 AOP 三内角相等，确定出三角形 AOP 为等边三角形，根据等边三角形的内角为 60°得到∠AOP 为 60°，由 OP 平行于 BC， 利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC＝∠AOP＝60°，再由 OB＝OC，得到三角形 OBC 为等边三角形，可得出∠COB 为 60°，利用平角的定义得到∠POC 也为 60°，再加上 OP＝25 OC，可得出三角形 POC 为等边三角形，得到内角∠OCP 为 60°，可求出∠PCD 为 30°， 在直角三角形 PCD 中，利用 30°所对的直角边等于斜边的一半可得出 PD 为 PC 的一半， 而 PC 等于圆的半径 OP 等于直径 AB 的一半，可得出 PD 为 AB 的四分之一，即 AB＝4PD＝ 4． 【解答】（1）证明：∵A 关于 OP 的对称点 C 恰好落在⊙O 上． ∴ ＝ ∴∠AOP＝∠COP， ∴∠AOP＝ ∠AOC， 又∵∠ABC＝ ∠AOC， ∴∠AOP＝∠ABC， ∴PO∥BC； （2）解：连接 PC， ∵CD 为圆 O 的切线， ∴OC⊥CD，又 AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠APO＝∠COP， ∵∠AOP＝∠COP， ∴∠APO＝∠AOP， ∴OA＝AP， ∵OA＝OP， ∴△APO 为等边三角形， ∴∠AOP＝60°， 又∵OP∥BC， ∴∠OBC＝∠AOP＝60°，又 OC＝OB， ∴△BCO 为等边三角形， ∴∠COB＝60°， ∴∠POC＝180°﹣（∠AOP+∠COB）＝60°，又 OP＝OC， ∴△POC 也为等边三角形，26 ∴∠PCO＝60°，PC＝OP＝OC， 又∵∠OCD＝90°， ∴∠PCD＝30°， 在 Rt△PCD 中，PD＝ PC， 又∵PC＝OP＝ AB， ∴PD＝ AB， ∴AB＝4PD＝4． 【点评】此题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，含 30°直角三角形的性质， 轴对称的性质，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握性质及判定是解本题 的关键． 24．（12 分）如图，二次函数 y＝x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C， 且关于直线 x＝1 对称，点 A 的坐标为（﹣1，0）． （1）求二次函数的表达式； （2）连接 BC，若点 P 在 y 轴上时，BP 和 BC 的夹角为 15°，求线段 CP 的长度； （3）当 a≤x≤a+1 时，二次函数 y＝x2+bx+c 的最小值为 2a，求 a 的值． 【分析】（1）先根据题意得出点B 的坐标，再利用待定系数法求解可得； （2）分点 P 在点 C 上方和下方两种情况，先求出∠OBP 的度数，再利用三角函数求出 OP27 的长，从而得出答案； （3）分对称轴 x＝1 在 a 到 a+1 范围的右侧、中间和左侧三种情况，结合二次函数的性 质求解可得． 【解答】解：（1）∵点 A（﹣1，0）与点 B 关于直线 x＝1 对称， ∴点 B 的坐标为（3，0）， 代入 y＝x2+bx+c，得： ， 解得 ， 所以二次函数的表达式为 y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图所示： 由抛物线解析式知 C（0，﹣3）， 则 OB＝OC＝3， ∴∠OBC＝45°， 若点 P 在点 C 上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°， ∴OP＝OBtan∠OBP＝3× ＝ ， ∴CP＝3﹣ ； 若点 P 在点 C 下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°， ∴OP′＝OBtan∠OBP′＝3× ＝3 ， ∴CP＝3 ﹣3； 综上，CP 的长为 3﹣ 或 3 ﹣3；28 （3）若 a+1＜1，即 a＜0， 则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a， 解得 a＝1﹣ （正值舍去）； 若 a＜1＜a+1，即 0＜a＜1， 则函数的最小值为 1﹣2﹣3＝2a， 解得：a＝﹣2（舍去）； 若 a＞1， 则函数的最小值为 a2﹣2a﹣3＝2a， 解得 a＝2+ （负值舍去）； 综上，a 的值为 1﹣ 或 2+ ． 【点评】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、三 角函数的运用、二次函数的图象与性质及分类讨论思想的运用． 25．（12 分）（1）数学理解：如图①，△ABC 是等腰直角三角形，过斜边 AB 的中点 D 作正方 形 DECF，分别交 BC，AC 于点 E，F，求 AB，BE，AF 之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC 内，找一点 D，过点 D 作正方形 DECF，分别 交 BC，AC 于点 E，F，若 AB＝BE+AF，求∠ADB 的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长 ED，FD，交 AB 于点 M，N，求 MN， AM，BN 的数量关系． 【分析】数学理解： （1）由等腰直角三角形的性质可得 AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝ AC，由正方形的 性质可得 DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求 AF＝DF＝CE，即可得 AB＝ （AF+BE）； 问题解决： （2）延长 AC，使 FM＝BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得 DM＝DB，通过△ADM≌△ADB， 可得∠DAC＝∠DAB＝ ∠CAB，∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ADB29 的度数； 联系拓广： （3）由正方形的性质可得 DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝ ∠ABD，可得 AM＝MD，DN＝NB，即可求 MN，AM，BN 的数量关系． 【解答】解： 数学理解： （1）AB＝ （AF+BE） 理由如下：∵△ABC 是等腰直角三角形 ∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，AB＝ AC6 ∵四边形 DECF 是正方形 ∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90° ∴∠A＝∠ADF＝45° ∴AF＝DF＝CE ∴AF+BE＝BC＝AC ∴AB＝ （AF+BE） 问题解决： （2）如图，延长 AC，使 FM＝BE，连接 DM， ∵四边形 DECF 是正方形 ∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90° ∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED ∴△DFM≌△DEB（SAS） ∴DM＝DB30 ∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE， ∴AM＝AB，且 DM＝DB，AD＝AD ∴△ADM≌△ADB（SSS） ∴∠DAC＝∠DAB＝ ∠CAB 同理可得：∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90° ∴∠DAB+∠ABD＝ （∠CAB+∠CBA）＝45° ∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135° 联系拓广： （3）∵四边形 DECF 是正方形 ∴DE∥AC，DF∥BC ∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90° ∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD ∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD ∴AM＝MD，DN＝NB 在 Rt∠DMN 中，MN2＝MD2+DN2， ∴MN2＝AM2+NB2， 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形 的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．